ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຊຸດເລຂາຄະນິດ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຊຸດເລຂາຄະນິດ

ລຳດັບເລຂາຄະນິດແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນຄະນິດສາດທີ່ມັກສອນໃນໂຮງຮຽນມັດທະຍົມຕອນປາຍ. ລຳດັບເຫຼົ່ານີ້ປະກອບດ້ວຍຊຸດຕົວເລກ, ເຊິ່ງແຕ່ລະຕົວເລກແມ່ນຜົນຄູນຂອງຕົວເລກກ່ອນໜ້ານີ້ໂດຍຄ່າຄົງທີ່ທີ່ຮູ້ຈັກກັນໃນນາມ "ອັດຕາສ່ວນ". ບົດຄວາມນີ້ຈະກວມເອົາບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບລຳດັບເລຂາຄະນິດ, ໂດຍຫວັງວ່າຈະຊ່ວຍໃຫ້ຜູ້ອ່ານເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດນີ້ໄດ້ດີຂຶ້ນ.

ເຂົ້າໃຈຊຸດເລຂາຄະນິດ

ລຳດັບເລຂາຄະນິດແມ່ນລຳດັບຂອງຕົວເລກທີ່ສ້າງຂຶ້ນໂດຍການຄູນຕົວເລກທຳອິດ (a) ດ້ວຍອັດຕາສ່ວນຄົງທີ່ (r). ໂດຍທົ່ວໄປ, ຮູບແບບທົ່ວໄປຂອງລຳດັບເລຂາຄະນິດແມ່ນ:

\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]

ທີ່ນີ້:

- “a” ແມ່ນພະຍາງທຳອິດຂອງລຳດັບ.
- “r” ແມ່ນອັດຕາສ່ວນຂອງໜຶ່ງພະຍາງຕໍ່ພະຍາງກ່ອນໜ້ານີ້.
- “n” ແມ່ນພະຍາງໂຕທີ n ໃນລຳດັບ.

Contoh Soal ແລະ Pembahasan

ລອງມາສົນທະນາບັນຫາຕົວຢ່າງບາງຢ່າງເພື່ອເຂົ້າໃຈເພີ່ມເຕີມກ່ຽວກັບລຳດັບເລຂາຄະນິດ.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1

ຄຳຖາມ:
ໃຫ້ລຳດັບເລຂາຄະນິດທີ່ມີພົດທຳອິດ (a) ເປັນ 3 ແລະອັດຕາສ່ວນ (r) ເປັນ 2. ຈົ່ງກຳນົດ:

1. ພົດຕົວທີ 5 ຂອງລຳດັບ.
2. ຜົນບວກຂອງ 6 ພົດທຳອິດຂອງລຳດັບ.

ເປບບາຮາຊານ:

1. ພົດຕົວທີ 5 (U5) ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດສຳລັບພົດຕົວທີ n ຂອງລຳດັບເລຂາຄະນິດ ຄື:

\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]

ແທນຄ່າ a = 3, r = 2, ແລະ n = 5 ໃສ່ໃນສູດ:

\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]

ສະນັ້ນ, ພົດຕົວທີ 5 ຂອງລຳດັບແມ່ນ 48.

2. ຜົນບວກຂອງ 6 ພົດທຳອິດ (S6) ຂອງລຳດັບເລຂາຄະນິດສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດສຳລັບຜົນບວກຂອງ n ພົດທຳອິດ, ຄື:

\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]

ແທນຄ່າ a = 3, r = 2, ແລະ n = 6 ໃສ່ໃນສູດ:

\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \ຊ້າຍ ( \frac{64 – 1}{1} \ຂວາ) \]
\[ S_6 = 3 \ຊ້າຍ ( 63 \ຂວາ) \]
\[ S_6 = 189 \]

ສະນັ້ນ, ຜົນບວກຂອງ 6 ພົດທຳອິດຂອງລຳດັບແມ່ນ 189.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2

ຄຳຖາມ:
ລຳດັບເລຂາຄະນິດມີພົດທີ 3 ຂອງ 27 ແລະພົດທີ 5 ຂອງ 243. ຈົ່ງກຳນົດຄ່າຂອງພົດທຳອິດ (a) ແລະອັດຕາສ່ວນ (r).

ເປບບາຮາຊານ:

ໃຫ້ U3 = 27 ແລະ U5 = 243. ການໃຊ້ສູດສຳລັບພົດທີ n ຂອງລຳດັບເລຂາຄະນິດ:

\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]

ສຳລັບ U3:

\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]

ສຳລັບ U5:

\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]

ການປຽບທຽບສົມຜົນ (1) ແລະ (2) ເພື່ອກຳຈັດ a:

\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ ຫຼື } r = -3 \]

ແທນຄ່າຂອງ r ເຂົ້າໃນສົມຜົນ (1):

ຖ້າ \( r = 3 \):

\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ ກ = 3 \]

ຖ້າ \( r = -3 \):

\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ ກ = 3 \]

ສະນັ້ນ, ພົດທຳອິດ (a) ແມ່ນ 3, ແລະ ອັດຕາສ່ວນ (r) ສາມາດເປັນ 3 ຫຼື -3.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3

ຄຳຖາມ:
ຈົ່ງຊອກຫາຜົນບວກອະນັນຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດຕໍ່ໄປນີ້ ຖ້າພົດທຳອິດ (a) ແມ່ນ 8 ແລະອັດຕາສ່ວນ (r) ແມ່ນ 1/2.

ເປບບາຮາຊານ:

ຜົນບວກອະນັນຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດ:

\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]

ແທນຄ່າ a = 8 ແລະ r = 1/2 ໃສ່ໃນສູດ:

\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \ຄູນ 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]

ສະນັ້ນ, ຜົນບວກອະນັນຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດແມ່ນ 16.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 4

ຄຳຖາມ:
ລຳດັບເລຂາຄະນິດມີພະຍາງທີ 2 ຂອງ 12 ແລະ ພະຍາງທີ 4 ຂອງ 108. ຈົ່ງກຳນົດອັດຕາສ່ວນ ແລະ ພະຍາງທຳອິດຂອງລຳດັບ.

ເປບບາຮາຊານ:

ໃຫ້ \( U_2 = 12 \) ແລະ \( U_4 = 108 \). ໂດຍໃຊ້ສູດສຳລັບພົດທີ n ຂອງລຳດັບເລຂາຄະນິດ:

ສຳລັບ \( U_2 \):

\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]

ສຳລັບ \( U_4 \):

\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]

ການປຽບທຽບສົມຜົນ (1) ແລະ (2) ເພື່ອກຳຈັດ a:

\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ ຫຼື } r = -3 \]

ແທນຄ່າຂອງ r ເຂົ້າໃນສົມຜົນ (1):

ຖ້າ \( r = 3 \):

\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ ກ = 4 \]

ຖ້າ \( r = -3 \):

\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ ກ = -4 \]

ສະນັ້ນ, ພົດທຳອິດ (a) ສາມາດເປັນ 4 ຫຼື -4, ແລະ ອັດຕາສ່ວນ (r) ສາມາດເປັນ 3 ຫຼື -3.

ສະຫຼຸບ

ລຳດັບເລຂາຄະນິດແມ່ນແນວຄວາມຄິດທາງຄະນິດສາດທີ່ສຳຄັນທີ່ຖືກນຳໃຊ້ເລື້ອຍໆໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈພື້ນຖານ ແລະ ການຝຶກຝົນທັກສະການແກ້ໄຂບັນຫາ, ພວກເຮົາຫວັງວ່າຈະສາມາດມີຄວາມຊຳນານໃນການເຂົ້າໃຈ ແລະ ນຳໃຊ້ແນວຄວາມຄິດດັ່ງກ່າວຫຼາຍຂຶ້ນ. ບົດຄວາມນີ້ປະກອບມີບັນຫາຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຫຼາຍຢ່າງເພື່ອຊ່ວຍໃຫ້ຜູ້ອ່ານຮຽນຮູ້ ແລະ ເຂົ້າໃຈລຳດັບເລຂາຄະນິດຢ່າງເລິກເຊິ່ງກວ່າເກົ່າ. ພວກເຮົາຫວັງວ່າສິ່ງນີ້ຈະເປັນປະໂຫຍດ!