कार्य-यांत्रिक ऊर्जा सिद्धांत – समस्याएं और समाधान

1. एक 2 किलोग्राम का डिब्बा 10 मीटर/सेकंड के मंदन से विराम अवस्था में आ जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है ^। विस्थापन का परिमाण क्या है?

ज्ञात ;

द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 10 मीटर/सेकंड

अंतिम वेग (v _t ) = 0 मीटर/सेकंड

गतिज घर्षण गुणांक ( _μk ) = 0.2

भार (w) = मिलीग्राम = (1 किलोग्राम)(10 मीटर/सेकंड² ⁾ = 10 किलोग्राम मीटर/सेकंड² ⁼ 10 नाइट्रोजन

विस्थापन का परिमाण (d) ज्ञात करना है।

समाधान:

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा सिद्धांत :

W _nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = ½ m (v _t ² – v _o ² ) + mgh

W _nc = वस्तु पर कार्य करने वाले गैर-संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य

ΔEK = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

ΔEP = स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन

m = द्रव्यमान

v = वेग

g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

h = ऊँचाई में परिवर्तन

ऊंचाई में परिवर्तन h = 0 अतः ΔEP = 0

W _nc = ΔEK

गैर-रूढ़िवादी बल द्वारा किया गया कार्य:

डब्ल्यू _एनसी = -एफ _सी डी = - μ _के एन डी = - μ _के डब्ल्यूडी = - μ _के एमजीडी

डब्ल्यू _एनसी = -(0.2)(2)(10)(एस)

डब्ल्यू _एनसी = – (4)(2)

माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि गतिज घर्षण बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत है।

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (2)(0 – 10 ² ) = 0 – 100 = -100

विस्थापन का परिमाण:

W _nc = ΔEK

– 4 s = – 100

s = -100/-4

एस = 25 मी

[आईआरपी]

2. एक ब्लॉक झुके हुए तल पर नीचे की ओर सरकता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण g = 10 ms⁻² ^है । ब्लॉक के जमीन पर टकराने पर उसका अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

ज्ञात :

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = 6 मीटर

अंतिम ऊँचाई (h _t ) = 0 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0

गतिज घर्षण गुणांक ( _μk ) = 0.4

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

cos θ = 8/10

भार का ऊर्ध्वाधर घटक = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

सामान्य बल = N = w _y = 8 मीटर

गतिज घर्षण बल = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

वांछित : अंतिम वेग (v _t )

समाधान:

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा सिद्धांत:

W _nc = Δ EM

W _nc = Δ EK + Δ EP

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वी_o²) = 1/2 मीटर (v_t² - 0) = 1/2 एमवी_t²

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

गतिज घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य:

W _nc = – f _k s = – ( 3.2 m)(10) = – 32 m

माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि गतिज घर्षण बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत है।

अंतिम वेग (v _t ):

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 32 मीटर = 1/2 एमवी _टी ² – 60 मीटर

– 32 मीटर = मीटर (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

[आईआरपी]

3. एक ब्लॉक एक खुरदुरे झुके हुए तल पर नीचे की ओर सरकता है। प्रारंभिक वेग 0 m/s है और अंतिम वेग 10 ms⁻¹ ^है । यदि गतिज घर्षण बल 2 N है और गुरुत्वाकर्षण त्वरण g = 10 ms⁻² है ^, तो ऊँचाई (h) क्या है?

ज्ञात :

द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0 (ब्लॉक विराम अवस्था में)

अंतिम वेग (v _t ) = 10 ms ^-1

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = h

अंतिम ऊँचाई (h _t ) = 0

गतिज घर्षण बल (f _k ) = 2 N

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

आवश्यकता है: ऊँचाई (h)

समाधान:

गतिज घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य:

W _nc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि गतिज घर्षण बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत है।

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वी_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100) = 50

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा सिद्धांत:

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 घंटे

10 घंटे = 50 + 30

10 एच = 80

h = 80/10

एच = 8 मीटर

4यदि कोई ब्लॉक लगभग झुके हुए तल पर नीचे की ओर गति करता है, तो...
ए. ब्लॉक पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन से अधिक है।
बी. यांत्रिक ऊर्जा बढ़ती है
C. गतिज ऊर्जा और उसकी स्थितिज ऊर्जा की मात्रा कम हो जाती है।
D. घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
उपाय

A गलत है

किसी वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य, वस्तु की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

B गलत है

यदि झुका हुआ तल चिकना है, तो ब्लॉक की यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। जब ब्लॉक झुके हुए तल के शीर्ष पर होता है और गति में नहीं होता, तो उसकी यांत्रिक ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है। ब्लॉक अभी भी स्थिर अवस्था में है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा शून्य है। झुके हुए तल पर नीचे की ओर गति करते समय, ब्लॉक की ऊंचाई कम हो जाती है, जिससे गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा भी कम हो जाती है। गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, इसलिए यह कम हो जाती है। यद्यपि गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

यदि झुका हुआ तल खुरदरा हो, तो घर्षण बल द्वारा किए गए ऋणात्मक कार्य के कारण ब्लॉक की यांत्रिक ऊर्जा कम हो जाती है। घर्षण बल एक अपसंरक्षी बल है। किसी वस्तु पर अपसंरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य उस वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा को कम कर देता है।

C सही है

झुका हुआ तल खुरदरा है, इसलिए घर्षण बल ब्लॉक की गति को बाधित करता है। घर्षण बल एक संरक्षी बल नहीं है। कार्य-यांत्रिक ऊर्जा प्रमेय कहता है कि संरक्षी बल न होने के कारण (उदाहरण के लिए घर्षण बल) किया गया कार्य यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। इस प्रक्रिया में, यांत्रिक ऊर्जा घटती है।

ब्लॉक की यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा।

डी गलत है।

किसी वस्तु पर घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, न कि वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के। यह सत्य है कि घर्षण बल वस्तु की गति को बाधित करता है, जिससे वस्तु की गति और गतिज ऊर्जा दोनों कम हो जाती हैं। लेकिन ध्यान दें कि वस्तु की गतिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा से प्राप्त होती है। अतः यह कहना सत्य है कि घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है (यांत्रिक ऊर्जा में कमी आती है)।

सही जवाब सी है।

5. एक खुरदरी सतह पर रखी वस्तु पर प्रहार किया जाता है जिससे वह 3 सेकंड तक चलती है और फिर रुक जाती है। यदि वस्तु का ज्ञात द्रव्यमान 10 ग्राम है, तो वस्तु और सतह के बीच घर्षण बल 2 किलोडाइन है। घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य का निर्धारण कीजिए।

ए. 0.18 जे

बी. -0.18 जे

सी. 0.36 जे

डी. -0.36 जे

ज्ञात :

समय अंतराल (t) = 3 सेकंड

अंतिम गति (v _t ) = 0 मीटर/सेकंड (वस्तु स्थिर अवस्था में है)

वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 10 ग्राम = 10/1000 किलोग्राम = 1/100 किलोग्राम = 0.01 किलोग्राम

घर्षण बल (F) = 2 किलोडाइन = 2 x 10 ³ डायन

ज्ञात करना है: घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य (W)।

समाधान:

बल की इकाइयों का रूपांतरण:

1 न्यूटन = 1 x ^10⁵ डाइन

1 डाइन = 1 / 10⁵ ^{न्यूटन} = 1 x 10⁻⁵ ^{न्यूटन} = ^10⁻⁵ न्यूटन

घर्षण बल (F) = 2 x 10³ ^डाइन = 2 x 10³ ^x 10⁻⁵ ^{न्यूटन} = 2 x ^10⁻² न्यूटन = 2/100 न्यूटन = 0.02 न्यूटन

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा प्रमेय यह बताता है कि किसी वस्तु पर गैर-संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

यदि कोई वस्तु झुके हुए तल पर गति करती है, तो यांत्रिक ऊर्जा (ME) = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE) + गतिज ऊर्जा (KE)। लेकिन यदि वस्तु क्षैतिज तल पर गति करती है और ऊँचाई में कोई परिवर्तन नहीं होता है, तो यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा होती है। क्षैतिज तल पर, गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है क्योंकि ऊँचाई में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

घर्षण बल एक गैर-संरक्षी बल है। घर्षण बल आमतौर पर वस्तु की गति और गतिज ऊर्जा को कम करता है। इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि घर्षण बल द्वारा किसी वस्तु पर किया गया कार्य यांत्रिक ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होता है।

गणितीय रूप से:

कार्य (W) = यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन (ΔEM)

F s = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v _t ² – v _o ² )

F s = mg (0) + ½ m (0 ² – v _o ² )

F s = 0 + ½ m (– (v _o ² ))

F s = – ½ mv _o ² ———— समीकरण 1

विवरण: F = घर्षण बल, d = विस्थापन, m = द्रव्यमान, v _o = प्रारंभिक गति

विस्थापन (d) और प्रारंभिक गति (v _o ) अभी ज्ञात नहीं हैं क्योंकि पहले v _{o या d की गणना करनी होगी। v o} या d ज्ञात होने के बाद घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य की गणना किसी एक समीकरण का उपयोग करके की जाएगी ।

असमान रेखीय गति में विस्थापन (d) का समीकरण:

v _t ² = v _o ² + 2 (-a) s

अंतिम गति (v _t ) = 0 और त्वरण (a) ऋणात्मक है क्योंकि वस्तु मंद हो रही है (वस्तु की गति कम हो रही है)।

0 = वी_o² – 2 विज्ञापन

v_o² = 2 विज्ञापन

d = v _o ² / 2 a ———— समीकरण 2

समीकरण 2 में d को समीकरण 1 में d से बदलें:

F d = – ½ mv _o ²

F (v _o ² /2a) = – ½ mv _o ²

(F/2a) v _o ² = – ½ mv _o ²

F/2a = – ½ मीटर

एफ = (2)(ए)(-1/2)(मी)

एफ = – (ए)(एम)

a = – (F / m)

a = – 0.02 न्यूटन / 0.01 किलोग्राम

a = – 2 न्यूटन/किलोग्राम

a = – 2 m/ ^s²

असमान रेखीय गति में प्रारंभिक गति (v _{o ) की गणना करने का समीकरण:}

v _t = v _o + at —–> अंतिम गति (v _t ) = 0, त्वरण (a) = 2 m/s² ^, समय अंतराल (t) = 3 सेकंड

0 = v _o + (-2)(3)

0 = v _o – 6

v _o = 6 मीटर/सेकंड

घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य (W):

डब्ल्यू = - ½ एमवी _ओ ² = -1/2 (0.01)(6 ² ) = -1/2 (0.01)(36)

डब्ल्यू = -1/2 (0.36)

W = – 0.18 जूल

घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक चिह्न के साथ दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ है कि कार्य वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा को कम करता है।

यदि d ज्ञात हो तो कार्य की गणना W = F d समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है ।

सही जवाब बी है।

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