פונדאַמענטאַלע טעאָרעם פון קאַלקולוס

פונדאַמענטאַלע טעאָרעם פון קאַלקולוס

קאַלקולוס ווערט אָפט פֿאַרשטאַנען ווי אַ "שפּראַך" צו דערקלערן ענדערונג און אַקומולאַציע. פֿון איין זײַט שטודירן מיר דעריוואַטיוון צו מעסטן די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון אַ פֿונקציע. פֿון דער אַנדערער זײַט שטודירן מיר אינטעגראַלן צו רעכענען אַקומולאַציע, ווי צום בייַשפּיל די שטח אונטער אַ קורווע אָדער די גאַנצע "קאָנטיניואַס סומע" פֿון אַ קוואַנטיטעט. דער פֿונדאַמענטאַלער טעאָרעם פֿון קאַלקולוס (FTC) איז אַ הויפּט בריק וואָס פֿאַרבינדט די צוויי געדאַנקען: עס שטעלט זיך אַרויס אַז דיפֿערענציאַציע און אינטעגראַציע זענען נישט צוויי באַזונדערע טעמעס, נאָר צוויי קעגנזײַטיקע אָפּעראַציעס. דער טעאָרעם איז וואָס מאַכט קאַלקולוס אַזוי שטאַרק אין וויסנשאַפֿט, אינזשעניריע, עקאָנאָמיק און פֿיל אַנדערע פֿעלדער.

איבערבליק: ענדערונגען און אָנקלייַבונג

שטעלט זיך פאר א קאר וואס פארט אויף א גאס. די קאר'ס גיכקייט איז די ראטע פון ​​ענדערונג פון פאזיציע איבער צייט, בשעת די פארפארענע דיסטאנץ איז די אקומולאציע פון ​​"געשווינדיקייט" איבער צייט. אין מאטעמאטישע טערמינען, אויב \(v(t)\) איז די גיכקייט, דעמאלט קען די פארפארענע דיסטאנץ פון צייט \(a\) ביז \(b\) אויסגעדריקט ווערן דורך דעם אינטעגראל.
\[
\int_a^bv(t)\, dt.
\]
דערווייל, אויב \(s(t)\) איז פאזיציע, דאן איז שנעלקייט די דעריוואטיוו:
\[
v(t) = s'(t).
\]
דער פונדאַמענטאַלער טעאָרעם פון קאַלקולוס זאָגט אַז די צוויי אָפּעראַציעס זענען ענג פֿאַרבונדן: דער אינטעגראַל פֿון דער דעריוואַטיוו גיט צוריק די נעץ ענדערונג אין דער פֿונקציע, און דער דעריוואַטיוו פֿון דעם באַשטימטן אינטעגראַל גיט צוריק די אָריגינעלע פֿונקציע. די באַציִונג מאַכט... שטח חשבון, דיסטאַנץ, מאַסע, ענערגיע, און פילע אַנדערע זאַכן ווערן פיל מער סיסטעמאַטיש.

שנעלע פאראויסזעצונג: וואָס זענען באַשטימטע אינטעגראַלן און דעריוואַטיוון?

איידער מיר גייען אריין אין דער דערקלערונג פון דער טעארעם, זענען דא צוויי וויכטיגע קאנצעפטן:

1. דעריוואַטיוו \(f'(x)\): מעסט דעם שיפּוע פֿון דעם גראַף אָדער די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון \(f(x)\) ווען \(x\) ענדערט זיך אַ ביסל. אינטואיטיוו, אויב \(f(x)\) באַשרײַבט די פּאָזיציע, דאַן באַשרײַבט \(f'(x)\) די גיכקייט.

2. באַשטימטער אינטעגראַל \(\int_a^bf(x)\,dx\): מעסט די אַקומולאַציע פון ​​\(f\) אויף דעם אינטערוואַל \([a,b]\). געאָמעטריש, ווערט עס אָפט דעפינירט ווי דער געצייכנטער שטח (פּאָזיטיווע שטח העכער דער \(x\)-אַקס, נעגאַטיווע שטח אונטער דער \(x\)-אַקס)) אונטער דער קורווע \(y=f(x)\) פון \(x=a\) ביז \(x=b\).

דער באשטימטער אינטעגראל ווערט פארמאל דעפינירט דורך דעם גרענעץ פון דער רימאן סומע, דאס הייסט, אפראקסעמירן דעם שטח דורך קליינע רעכטעקן, און דערנאך נעמען דעם גרענעץ ווען די ברייט פון די רעכטעקן גייט צו נול.

דערקלערונג פון דעם פונדאַמענטאַלן טעאָרעם פון קאַלקולוס (טייל 1)

TFK טייל 1 זאגט: אויב \(f\) איז קאנטינעווער אויף \([a,b]\), דעמאלט דעפינירן מיר א נייע פונקציע.
\[
F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,
\]
דעמאָלט קען מען אָפּלייענען \(F\) אויף \((a,b)\) און
\[
פֿ'(x)=f(x).
\]

די באַדייטונג איז זייער וויכטיק: דער אינטעגראַל "קאָנסטרויִרט" פֿון \(f\) גיט די אַנטידעריוואַטיווע פֿונקציע פֿון \(f\). מיט אַנדערע ווערטער, דער אַקומולאַציע פּראָצעס ביזן פּונקט \(x\) ווען דיפערענצירט וועט צוריקקומען צום אַקומולאַציע קורס אין יענעם פּונקט.

אינטואיציע טייל 1
באַמערקט די קליינע ענדערונג אין \(F(x)\) ווען \(x\) ווערט געוואקסן מיט אַ קליינע מאָס \(Deltax\):
\[
F(x+Δx)-F(x) = \int_a^{x+Δx} f(t)\,dt – \int_a^xf(t)\,dt = \int_x^{x+Δx} f(t)\,dt.
\]
אויב Δx איז קליין, איז דער אינטעגראל בערך גלייך צו Δx. אַזוי,
\[
\frac{F(x + Δx) - F(x)}{Δx} \aprox f(x).
\]
ווען Δx איז גלייך צו 0, ווערט די אַפּראָקסימאַציע פּינקטלעך, אַזוי אַז F(x) = f(x)).

פּשוט בייַשפּיל
לאָמיר זאָגן \(f(t)=2t\). דעפיניר
\[
F(x)=\int_0^x²t\,dt.
\]
מיר ווייסן אז \(\int 2t\,dt = t^2\), ממילא \(F(x)=x^2\). די דעריוואטיוו איז \(F'(x)=2x\), וואס איז צוריק צו \(f(x)\). דאס אילוסטרירט טייל 1 קאנקרעט.

דערקלערונג פון דעם פונדאַמענטאַלן טעאָרעם פון קאַלקולוס (טייל 2)

TFK טייל 2 זאגט: אויב \(f\) איז קאנטינעווער אויף \([a,b]\) און \(F\) איז אן אנטי-דעריוואטיוו פון \(f\) (ד.ה. \(F'(x)=f(x)\)), דאן
\[
\int_a^bf(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]

דאָס איז די מערסט אָפט גענוצטע פֿאָרעם פֿון דער טעאָרעם אין אינטעגראַל קאַלקולאַציע. עס זאָגט אַז צו רעכענען אַ באַשטימטן אינטעגראַל, דאַרפֿן מיר מער נישט אָנווענדן דעם גרענעץ פֿון דער רימאַן סומע גלייך; פשוט געפֿינען דעם אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(F\), און דערנאָך אָפּשאַצן עס ביי די אויבערשטע און אונטערשטע גרענעצן.

קאַלקולאַציע בייַשפּיל
צייל:
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx.
\]
דער אַנטידעריוואַטיוו איז
\[
F(x)=\frac{x^3}{3}+x.
\]
אַזוי:
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx = \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-\left(\frac{1^3}{3}+1\right)
= \left(9+3\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)
=12-\frac{4}{3}=\frac{32}{3}.
\]
אָן TFK, וואָלטן מיר געדאַרפט דעפינירן דעם אינטעגראַל ווי דער גרענעץ פון דער סומע שטח פון רעכטעק און רעכענען די גרענעץ—איז פיל לענגער.

פארוואס רופט מען עס "פונדאַמענטאַל"?

די טעאָרעם איז יסודותדיק ווייל:

1. פֿאַראייניקן צוויי הויפּט קאָנצעפּטן פֿון קאַלקולוס: דעריוואַטיוו (ענדערונג) און אינטעגראַל (אַקיומיאַליישאַן).
2. גיט א פראקטישע מעטאד: באשטימטע אינטעגראלן קענען אויסגערעכנט ווערן ניצנדיק אנטי-דעריוואטיוון.
3. ליגט אונטער פילע אנווענדונגען: פיזיק (ארבעט און ענערגיע), סטאטיסטיק (פארשפרייטונג און געלעגנהייט), עקאנאמיק (טאטאלע קאסטן קעגן גרעניץ-קאסטן), ביאלאגיע (באפעלקערונג-וואוקס), א.א.וו.

קאָנצעפּטועל, ווערט קאַלקולוס אַ קאָכערענט געצייַג: מיר קענען מיט גרינגקייט באַשטימען צווישן "ראַטע" און "טאָטאַל" מאָדעלן.

אָפט דערשייַנענדיקע אַפּליקאַציעס

1. דיסטאַנץ פֿון גיכקייט
אויב \(v(t)\) איז די גיכקייט, דעמאָלט איז די נעץ דיספּלייסמאַנט:
\[
s(b)-s(a)=\int_a^bv(t)\,dt.
\]
דאָס איז גלייך פֿון TFK טייל 2 אויב \(v(t)=s'(t)\). אויב \(v(t)\) איז מאַנטשמאָל נעגאַטיוו, גיט דער אינטעגראַל די נעץ פֿאַרשייבונג; פֿאַר דער גאַנצער דיסטאַנץ ווערט עס געוויינטלעך אויסגערעכנט ווי \(\int_a^b |v(t)|\,dt\).

2. אקומולאציע פון ​​דער ראטע פון ​​ענדערונג
אויב אַ טאַנק ווערט אָנגעפֿילט מיט אַ גיכקייט פֿון − ליטער/מינוט, דאַן איז דער וואָלומען וואָס קומט אַרײַן בעת ​​דעם אינטערוואַל − [a,b] − \int_a^br(t), dt). אויב עס זענען דאָ ביידע אַן אַרײַנפֿלוס און אַן אַרויספֿלוס גיכקייט, דאַן איז די נעץ ענדערונג אין וואָלומען דער אינטעגראַל פֿון (אַרײַנפֿלוס − אַרויספֿלוס).

3. מיטל-ווערט טעאָרעם פֿאַר אינטעגראַלן
פֿון TFK, קומען פֿאָר פֿאַרשידענע קאָנסעקווענצן, ווי צום בייַשפּיל דער דורכשניטלעכער ווערט פֿון דער פֿונקציע:
\[
f_{\text{avg}}=\frac{1}{ba}\int_a^bf(x)\,dx.
\]
דאָס איז וויכטיק אין דאַטן אַנאַליז און מאָדעלינג.

וויכטיקע הערות: תּנאים און באַדינגונגען

TFK פארלאנגט בכלל קאנטינעואיטעט פון דער פונקציע \(f\) אויף דעם אינטערוואַל אין פראגע כדי איר אויסדרוק זאל זיין גלאט. אין ווייטערדיגע שטודיעס, קען מען דעם טעארעם פארברייטערן צו פונקציעס וואס זענען נישט דוקא קאנטינעואיטעט (למשל, פונקציעס וואס זענען רימאַניש אדער לעבעג אינטעגרירבאר אונטער געוויסע באדינגונגען), אבער פאר עלעמענטארע קאלקולוס, איז די קאנטינעואיטעט אנהאם סטאנדארט.

דערצו, באשטימטע אינטעגראלן גיבן ארויס געצייכנטע שטחים, נישט שטענדיק "ריינע געאמעטרישע שטחים". אויב דער גראף איז אונטער דער x-אקס, איז דער אינטעגראל נעגאטיוו. פאר געאמעטרישע שטחים, ווערן געווענליך גענוצט אבסאלוטע ווערטן אדער אינטערוואל צעשיידונגען.

קלאָוזינג

דער פונדאַמענטאַלער טעאָרעם פון קאַלקולוס איז דער קערן וואָס פֿאַראייניקט די דעריוואַטיוו און דעם אינטעגראַל. טייל 1 האָט געוויזן אַז די אַקומולאַציע פֿון אַ קאָנטינויִערלעכער פֿונקציע, ווען דיפֿערענצירט, קערט זיך צוריק צו דער אָריגינעלער פֿונקציע. טייל 2 האָט געוויזן אַ שנעלן וועג צו רעכענען באַשטימטע אינטעגראַלן: פשוט געפֿינען דעם אַנטידעריוואַטיוו און אָפּשאַצן דעם חילוק ביי די גרענעצן. מיט דעם טעאָרעם ווערט קאַלקולוס נישט נאָר אַ זאַמלונג פֿון מאַטעמאַטישע טעכניקן, נאָר אַן עלעגאַנטער ראַם פֿאַר פֿאַרשטיין די וועלט: ווי זאַכן טוישן זיך איבער צייט, און ווי די ענדערונגען אַקומולירן זיך צו אַ סך־הכּל.

אויב איר וועט שפּעטער שטודירן אינטעגראַציע מעטאָדן, דיפערענציאַל גלייכונגען, אדער פיזישע מאָדעלן, וועט איר ווייטער זען TFK ארבעטן הינטער די קוליסן - ווי די "בריק" וואָס מאַכט קאַלקולוס אַזאַ אַ שטאַרק געצייַג.