טראַפּעזאָידאַל מעטאָד אין אינטעגראַלן
אין אנגעווענדטער מאטעמאטיק, טרעפן מיר אָפט דעם פּראָבלעם פון רעכענען דעם שטח אונטער אַ קורווע. טעאָרעטיש, קען מען דאָס לייזן מיט באַשטימטע אינטעגראַלן. אָבער, אין פּראַקטיק, זענען נישט אַלע פונקציעס גרינג צו אינטעגרירן אַנאַליטיש. עטלעכע פונקציעס זענען קאָמפּליצירט, דאַטן זענען בלויז בנימצא אין טאַבולאַרער פאָרעם, אָדער מאָדעלן פעלן פּשוטע אַנטידעריוואַטיוון. אין סיטואַציעס ווי די, ווערן נומערישע מעטאָדן עסענציעל. איינע פון די מערסט באַקאַנטע און אָפט גענוצטע נומערישע מעטאָדן איז די טראַפּעזאָידאַל הערשן, אַן אַפּראָקסימאַציע טעכניק פֿאַר אינטעגראַלן וואָס צעטיילט דעם שטח אונטער אַ קורווע אין טראַפּעזאָידאַלע פֿאָרמען.
גרונט־קאָנצעפּט פֿון באַשטימטן אינטעגראַל
געאמעטריש, קען מען פארשטיין דעם באשטימטן אינטעגראל \(\int_a^bf(x)\,dx\) אלס דער שטח באגרענעצט דורך דער קורווע \(y=f(x)\), דער \(x\) אקס, און די ווערטיקאלע ליניעס \(x=a\) און \(x=b\). אויב \(f(x)\ge 0\), איז דער אינטעגראל א פאזיטיווער שטח. אויב די פונקציע האט נעגאטיווע ווערטן אויף א געוויסן אינטערוואל, גיט דער אינטעגראל א "געצייכנטן שטח".
דער הויפּט פּראָבלעם ערשט ווען:
1. די פונקציע \(f(x)\) האט נישט קיין אנטידעריוואטיוו וואס קען אויסגעדריקט ווערן דורך עלעמענטארע פונקציעס.
2. דער ווערט פון \(f(x)\) איז נאר באקאנט אין געוויסע פונקטן (עקספערימענטאלע דאטן).
3. סימבאָלישע קאַמפּיוטיישאַן איז נישט עפֿעקטיוו אָדער אוממעגלעך.
דאָ ווערט די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע גענוצט צו אַפּראָקסימירן דעם אינטעגראַל ווערט דורך נוצן די פונקציע ווערטן אין געוויסע פונקטן.
טראַפּעזאָידאַל מעטאָד געדאַנק
די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע הייבט זיך אָן מיט אַ פּשוטער געדאַנק: אַפּראָקסימירן אַ קורווע מיט אַ גלייכער ליניע ביי יעדן סוב-אינטערוואַל. בשעת די רימאַן סומע מעטאָדע ניצט פּערפּענדיקולאַרע זייטן און אַ רעכטעקיקן שטח, ניצט די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע צוויי ענדפּונקטן אויף דעם סוב-אינטערוואַל און פֿאַרבינדט זיי מיט אַ גלייכער ליניע. דער שטח אונטער דער גלייכער ליניע פֿאָרמירט אַ טראַפּעזאָיד, נישט אַ רעכטעק.
לאָמיר זאָגן מיר ווילן אויסרעכענען:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
מיר טיילן דעם אינטערוואַל \([a,b]\) אין \(n\) אונטער-אינטערוואַלן פון גלייכער לענג. די לענג פון יעדן אונטער-אינטערוואַל איז:
\[
ה=\frac{ba}{n}
\]
טיילן פונקטן:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;פונקטן,\;x_n=b
\]
מיט פונקציע ווערטן:
\[
f(x_0), f(x_1), ∫, f(x_n)
\]
אויף יעדן סובאינטערוואַל \([x_{i-1}, x_i]\), ווערט די שטח אונטער דער קורווע אַפּראָקסימירט דורך דער שטח פון דעם טראַפּעזאָיד:
\[
A_i \aprox \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
דערנאך באקומט מען די גאַנצע שטח (אינטעגראַלע אַפּראָקסימאַציע) דורך צולייגן אַלע טראַפּעזאָידן:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
אויב מען אָרדנט עס אָפּ, ווערט די פאָרמולע פֿון דער קאָמפּאַונד טראַפּעזאָידאַלער הערשן:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
באַמערק דעם קאָעפיציענט מוסטער: די ענדפונקטן \(x_0\) און \(x_n\) ווערן געמערט מיט 1, בשעת די פונקטן אין מיטן ווערן געמערט מיט 2.
פּשוטע חשבון בייַשפּיל
לאָמיר זאָגן מיר ווילן זיך צוגיין צו:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
אנאליטיש, איז דער אינטעגראל \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). אבער, מיר וועלן ניצן די טראַפּעזאָידאַל מעטאָדע מיט \(n=4\).
1. אינטערוואַל \([0,2]\), דעמאָלט:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. פונקציע ווערט:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
ניצט די קאָמפּאַונד טראַפּעזאָיד פאָרמולע:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
דער אַפּראָקסימאַטיווער רעזולטאַט פון 2,75 איז גאַנץ נאָענט צום גענויע ווערט פון 2,6667, מיט אַ טעות פון בערך 0,0833.
טעות אין טראַפּעזאָידאַל מעטאָד
די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע איז אַן אַפּראָקסימאַציע מעטאָדע, דאָס הייסט עס איז שטענדיק אַן אונטערשייד צווישן דעם אַפּראָקסימאַטיוון ווערט און דעם פאַקטישן אינטעגראַלן ווערט. די גרייס פון דעם טעות ווערט באַאיינפלוסט דורך:
1. נומער פון סוב-אינטערוואַלן \(n\): די גרעסערע \(n\), די קלענערע \(h\), און בכלל די מער גענוי די רעזולטאַטן.
2. קרומקייט פון דער פונקציע: אויב די פונקציע איז זייער קרומ (האט א גרויסע צווייטע דעריוואט), קען די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע זיין ווייניקער פּינקטלעך ווי העכערע אָרדענונג מעטאָדן.
פֿאַר גענוג גלאַטע פֿונקציעס (וואָס האָבן קאָנטינויִערלעכע צווייטע דעריוואַטיוון), קען מען אָפּשאַצן דעם טעות פֿון דער קאָמפּאַונד טראַפּעזאָידאַלער מעטאָדע:
\[
E_T = -\frac{(באַ)}{12}h^2f"(\xi)
\]
פֿאַר עטלעכע Σ צווישן Σ און Σ). פֿון דער פֿאָרמולע קען מען זען אַז דער טעות איז פּראָפּאָרציאָנעל צו Σ). דאָס הייסט, אויב מיר האַלבירן Σ (ד״ה, טאָפּלען די צאָל סוב-אינטערוואַלן), ווערט דער טעות פֿאַרקלענערט מיט בערך אַ פֿערטל.
מעלות פון דער טראַפּעזאָידאַלער מעטאָדע
די טראַפּעזאָידאַל מעטאָדע איז פאָלקס פֿאַר עטלעכע סיבות:
1. פּשוט און שנעל
די חשבון איז רעלאטיוו גרינג, און קען אפילו געטאן ווערן מיט די האנט פאר קליינע פעלער.
2. פּאַסיק פֿאַר טאַבולאַרע דאַטן
אויב דער ווערט פון \(f(x)\) איז נאָר באַקאַנט אין דיסקרעטע פונקטן (למשל מעסטונג רעזולטאַטן), קען מען די מעטאָדע גלייך אָנווענדן.
3. בעסערע גענויקייט ווי די רעכטעקיקע מעטאָדע
ווײַל עס ניצט צוויי ענדפּונקטן און אַפּראָקסימירט די פֿונקציע מיט אַ גלייכער ליניע, איז עס בכלל מער פּינקטלעך ווי די רעכטעקיקע אַפּראָקסימאַציע פֿאַר דער זעלבער צאָל פּאַרטישאַנז.
4. סטאַביל פֿאַר פילע אינזשעניריע אַפּלאַקיישאַנז
אסאך פיזיק און אינזשעניריע פראבלעמען (למשל אויסרעכענען ארבעט, ענערגיע, קראָס-סעקשאַנאַל שטח, דיסטשאַרדזש, און אַזוי ווייטער) קען מען צוגיין דורך דעם מעטאָד.
לימיטאַציעס פון דער טראַפּעזאָידאַלער מעטאָדע
כאָטש נוצלעך, האט די מעטאָדע לימיטאַציעס:
1. ווייניקער פּינקטלעך פֿאַר שטאַרק געבויגענע פֿונקציעס
ווייל עס ניצט נאָר אַ לינעאַרע אַפּראָקסימאַציע אויף יעדן סובאינטערוואַל, פֿונקציעס מיט שנעלע ענדערונגען אָדער שאַרפֿע קורוועס דאַרפן אַ גרויסע \(n\).
2. נישט קיין הויך-ארדענונג מעטאד
טעותים פון דער אָרדענונג פון \(h^2\); אַנדערע מעטאָדן ווי סימפּסאָנס קענען געבן קלענערע טעותים איבער דער זעלבער צאָל סוב-אינטערוואַלן (סאָלאַנג די פונקציע איז גענוג גלאַט).
3. סענסיטיוו צו אינטערוואַל סעלעקציע
אויב דער אינטערוואַל איז צו ברייט און \(n\) איז קליין, קענען די רעזולטאַטן באַדייטנד אַנדערש זיין.
קלאָוזינג
די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע פון אינטעגראַציע איז איינע פון די מערסט פונדאַמענטאַלע טעכניקן אין נומערישער אינטעגראַציע. דורך צעטיילן אַן אינטערוואַל אין קליינע טיילן און פאַרבייטן די קורווע מיט אַ גלייכער ליניע ביי יעדן טייל, קענען מיר אַפּראָקסימירן דעם אינטעגראַל אָן צו דאַרפן אַנאַליטיש געפֿינען די אַנטידעריוואַטיוו. די פאָרמולע איז פּשוט, גרינג צו ימפּלעמענטירן, און ספּעציעל נוצלעך ווען די דאַטן זענען דיסקרעט אָדער די פונקציע איז שווער צו אינטעגרירן.
אבער, באַניצער פון דער טראַפּעזאָידאַלער מעטאָדע דאַרפן אויפמערקזאַמקייט געבן צו דער צאָל סוב-אינטערוואַלן און דעם נאַטור פון דער פונקציע וואָס ווערט אינטעגרירט. פֿאַר שטאַרק געבויגענע פונקציעס אדער ווען הויכע פּינקטלעכקייט איז פארלאנגט, קען מען נאָך נוצן די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע דורך פאַרגרעסערן \(n\), אדער מען קען באַטראַכטן אַנדערע נומערישע מעטאָדן ווי סימפּסאָנס אדער ראָמבערגס מעטאָדן. מיט אַ גוטן פארשטאנד ווערט די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע אַן עפעקטיוו און פּראַקטיש געצייַג צו סאָלווען פארשידענע אינטעגראַלע פּראָבלעמען אין וויסנשאַפט, אינזשעניריע און עקאָנאָמיק.
