גלייכע ליניע גלייכונגען אין געאמעטריע
אין געאמעטריע און מאטעמאטיק בכלל, איז א גלייכע ליניע איינע פון די מערסט באזישע אבער וויכטיגסטע אביעקטן. כמעט אלע געאמעטרישע קאנצעפטן—פון ווינקלען און פלאכע פיגורן ביז טראנספארמאציעס—זענען פארבונדן מיט ליניעס. דעריבער, פארשטיין די גלייכונג פון א גלייכער ליניע גיט א שטארקע יסוד פאר שטודירן מער פארגעשריטענע טעמעס, ווי סיסטעמען פון לינעארע גלייכונגען, אנאליטישע געאמעטריע, קאלקולוס, און פיזיק. דער ארטיקל דיסקוטירט די דעפיניציע, פארמען פון א גלייכער ליניע גלייכונג, ווי אזוי צו באשטימען זי, און ביישפילן פון איר אנווענדונג אין געאמעטריע.
1. פֿאַרשטיין די גלייכונג פֿון אַ גלייכער ליניע
אין פּשוטע ווערטער, די גלייכונג פון אַ גראָדער ליניע איז אַ מאַטעמאַטישע באַציִונג וואָס באַשרײַבט אַלע פּונקטן וואָס ליגן אויף אַ ליניע אין אַ קאָאָרדינאַט־פֿלאַך. אין דער קאַרטעזיאַנישער קאָאָרדינאַט־סיסטעם, ווערט יעדער פּונקט רעפּרעזענטירט ווי אַ געאָרדנט פּאָר \((x, y)\). אויב אַ פּונקט באַפֿרידיקט אַ געוויסע גלייכונג, דאַן ליגט ער אויף דער ליניע רעפּרעזענטירט דורך יענער גלייכונג.
למשל, די גלייכונג _(y = 2x + 1)_ רעפּרעזענטירט די סכום פון אַלע פונקטן פֿאַר וועלכע, ווען אַ ווערט פון _(x)_ ווערט אַרײַנגעשטעלט, באַקומט מען דעם ווערט פון _(y)_ לויט דער כלל. אויב מיר צייכענען אַלע פונקטן וואָס באַפרידיקן די דאָזיקע באַציִונג, וועלן זיי פֿאָרמען אַ גלייכע ליניע.
2. גראַדיענט (שיפּוע) פון אַ ליניע
א וויכטיגע קאנצעפט אין דער גלייכונג פון א גראדער ליניע איז דער גראדיענט, אדער שיפּוע, געווענליך באצייכנט מיט \(m\). דער גראדיענט זאגט ווי שטארק די ליניע שטייגט אדער פאלט ווען זי באוועגט זיך פון לינקס צו רעכטס.
דער גראַדיענט ווערט דעפינירט ווי:
\[
m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
\]
וואו \((x_1, y_1)\) און \((x_2, y_2)\) זענען צוויי באזונדערע פונקטן אויף דער ליניע.
גראַדיענט אינטערפּרעטאַציע:
– אויב \(m > 0\), גייט די ליניע ארויף פון לינקס צו רעכטס.
– אויב \(m < 0\), גייט די ליניע אַראָפּ פֿון לינקס צו רעכטס.
– אויב \(m = 0\), איז די ליניע האָריזאָנטאַל.
– אויב די ליניע איז ווערטיקאַל, איז דער גראַדיענט נישט דעפינירט ווייל \(\Deltax = 0\).
גראַדיענטן האָבן אויך אַ געאָמעטרישע ראָלע: צוויי פּאַראַלעלע ליניעס האָבן דעם זעלבן גראַדיענט, בשעת צוויי פּערפּענדיקולערע ליניעס האָבן די גראַדיענט באַציִונג \(m_1 \cdot m_2 = -1\) (אַזוי לאַנג ווי זיי זענען נישט ווערטיקאַל/האָריזאָנטאַל, וואָס ריקווייערז ספּעציעלע האַנדלינג).
3. פארמען פון גלייכע ליניע גלייכונגען
עס זענען דא עטלעכע פארמען פון לינעארע גלייכונגען וואָס ווערן אָפט גענוצט, דיפּענדינג אויף די אינפֿאָרמאַציע וואָס איז פאַראַן.
א) סלאָופּ-אינטערסעפּט פאָרעם
די מערסטע געוויינטלעכע פארמען זענען:
\[
y = mx + c
\]
די מאנא:
– \(m\) = גראַדיענט פון דער ליניע
– \(c\) = \(y\)-אַקס דורכשניטפונקט (ווערט פון \(y\) ווען \(x = 0\))
בייַשפּיל: \(y = 3x – 2\) מיינט אַז דער גראַדיענט איז 3 און עס שניידט די \(y\)-אַקס ביי \(-2\).
ב) אַלגעמיינע פֿאָרעם
די אַלגעמיינע פֿאָרעם פֿון דער גלייכונג פֿון אַ ליניע:
\[
אַקס + דורך + C = 0
\]
וואו \(A, B, C\) זענען רעאלע נומערן און \(A\) און \(B\) זענען נישט ביידע נול. די פאָרעם ווערט אָפט געניצט פֿאַר געאָמעטרישע אַנאַליז, למשל באַשטימען די דיסטאַנץ פֿון אַ פּונקט צו אַ ליניע אָדער געפֿינען דעם פּונקט פֿון דורכשניט פֿון צוויי ליניעס.
בייַשפּיל: \(2x + y – 5 = 0\).
ג) פונקט-שיפּע פאָרעם
אויב איין פונקט \((x_1, y_1)\) און גראַדיענט \(m\) זענען באַקאַנט, איז די פֿאָרעם:
\[
y – y_1 = m(x – x_1)
\]
די פֿאָרעם איז זייער נוצלעך ווען מיר האָבן דאַטן אין דער פֿאָרעם פֿון אַן איינציקן פּונקט אויף אַ ליניע און זײַן שיפּוע.
בייַשפּיל: ליניע דורך \((2, 3)\) מיט גראַדיענט 4:
\[
y – 3 = 4(x – 2)
\]
וואָס קען פאַרפּשוטעט ווערן צו \(y = 4x – 5\).
ד) צוויי-פונקט פאָרעם
אויב צוויי פונקטן \((x_1, y_1)\) און \((x_2, y_2)\) זענען באַקאַנט, קען מען באַקומען די גלייכונג פֿון דער ליניע פֿון:
\[
\frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1}
\]
די פאָרעם פֿאַרבינדט גלייך אַלע פּונקטן \((x, y)\) וואָס זענען פּערפּענדיקולאַר צו די צוויי פּונקטן.
ה) אינטערסעפּט פאָרעם
אויב די ליניע שניידט די \(x\)-אַקס ביי \((a, 0)\) און די \(y\)-אַקס ביי \((0, b)\), איז די גלייכונג:
\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
\]
די פאָרעם העלפֿט וויזואַליזאַציע ווײַל זי אונטערשטרייכט די פונקטן פֿון קנופּ מיט דער אַקס.
4. באַשטימען די גלייכונג פון אַ גלייכער ליניע
אין אנאליטישער געאמעטריע, קומט אָפט ארויף די פּראָבלעם פון "געפֿינען די גלייכונג פֿון אַ ליניע" באַזירט אויף ספּעציפֿישע אינפֿאָרמאַציע. דאָ זענען עטלעכע געוויינטלעכע סיטואַציעס:
א) געגעבן דעם גראַדיענט און אינטערסעפּשאַן \(y\)
אויב דער גראַדיענט \(m\) און דער ינטערסעפּט \(c\) זענען באַקאַנט, ניצט גלייך \(y = mx + c\).
בייַשפּיל: גראַדיענט \(-2\), ינטערסעפּט \(y\) = 3:
\[
י = -2x + 3
\]
ב) געגעבן צוויי פונקטן
למשל, אויב \((1, 2)\) און \((3, 6)\) זענען באַקאַנט.
גראַדיענט:
\[
m = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2
\]
ניץ דעם פונקט \((1, 2)\):
\[
y – 2 = 2(x – 1) \Rightarrow y = 2x
\]
ג) פּאַראַלעלע אָדער פּערפּענדיקולערע ליניעס
– פּאַראַלעלע ליניעס: זעלבע גראַדיענט.
– פּערפּענדיקולאַרע ליניע: נעגאַטיווער אומגעקערטער גראַדיענט (אויב אָנווענדלעך), ד.ה. \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\).
בייַשפּיל: די ליניע _(y = 3x + 1)_ האט אַ גראַדיענט פון 3. די ליניע פּערפּענדיקולאַר צו איר האט אַ גראַדיענט פון _(-\frac{1}{3})_.
אויב די פּערפּענדיקולאַרע ליניע גייט דורך \((0, 2)\):
\[
y – 2 = -\frac{1}{3}(x – 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 2
\]
5. אַפּליקאַציעס אין געאָמעטריע
די גלייכונג פון א גראדער ליניע איז נישט נאר וויכטיג אין אלגעברע, נאר איז אויך זייער נוצלעך אין געאמעטריע:
1. באַשטימען דעם פונקט פון דורכשניט פון צוויי ליניעס.
דער פונקט פון דורכשניט ווערט באקומען דורך לייזן די סיסטעם פון גלייכונגען.
2. רעכן אויס די דיסטאַנץ פֿון אַ פּונקט צו אַ ליניע.
מיט דער אלגעמיינער פאָרעם \(Ax + By + C = 0\), די דיסטאַנץ פֿון דעם פּונקט \((x_0, y_0)\) צו דער ליניע:
\[
ד = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
3. אנאליזירן פלאכע פארמען.
די זייטן פון א דרייעק, קוואדראט, אדער אנדערע פארעם קענען אויסגעדריקט ווערן ווי ליניעס, אזוי אז די אייגנשאפטן פון דער פארעם קענען שטודירט ווערן דורך די גלייכונג פון דער ליניע.
4. באַשטימען דעם בייסעקטאָר און הייך פון אַ דרייַעק.
די הייך ליניע איז פּערפּענדיקולאַר צו אַ געוויסער זײַט, בשעת דער ווינקל ביסעקטאָר האט ספּעציעלע כּללים, אַלע פון וועלכע קענען ווערן קאַלקיאַלייטיד דורך די גראַדיענט.
6. קעסימפולאַן
די גלייכונג פון א גראדער ליניע איז א שליסל-געצייג אין אנאליטישער געאמעטריע פארן רעפרעזענטירן ליניעס אויף דער קאארדינאט-פלאך . דורך פארשטיין דעם שיפּוע און די פארשידענע פארמען פון דער גלייכונג—ווי y = mx + c, Ax + By + C = 0, פונקט-שיפּוע, צוויי-פונקט, און אַקס-אינטערצעפּט פארמען—קענען מיר לייכט דעפינירן און אנאליזירן ליניעס. די מעגלעכקייט איז גאר נוצלעך פארן לייזן געאמעטרישע פראבלעמען ווי געפינען פונקטן פון אינטערסעקשאן, אויסרעכענען דיסטאנצן, און קאנטראלירן פאראלעלע אדער פערפענדיקולערע באציאונגען צווישן ליניעס. לעצטנס, גיט דאס פשוטע באגריף א וויכטיגע בריק צווישן וויזועלע געאמעטריע און סיסטעמאטישער אלגעברע.
