פּונקט מולטיפּליקאַציע אין וועקטאָרן
דאט פראדוקט (אויך גערופן דאט פראדוקט אדער סקאלאר פראדוקט) איז איינע פון די וויכטיגסטע אפעראציעס אין וועקטאר מאטעמאטיק. די אפעראציע ערשיינט אפט אין פיזיק, אינזשעניריע, סטאטיסטיק, קאמפיוטער וויסנשאפט (למשל, מאשין לערנען), און קאמפיוטער גראפיקס. אנדערש ווי געווענליכע מולטיפליקאציע, וואס פראדוצירט א צאל פון צוויי נומערן, נעמט דאט פראדוקט צוויי וועקטארן אלס אינפוט און פראדוצירט א סקאלאר (אן איינציקע צאל). דורך דאט פראדוקט, קענען מיר פארשטיין די באציאונג צווישן צוויי וועקטארן: צי זיי זענען אין דער זעלבער ריכטונג, פארקערטע ריכטונגען, אדער פערפענדיקולאר איינער צום אנדערן.
פֿאַרשטיין פּונקט מולטיפּליקאַציע
בכלל, אויב מיר האָבן צוויי וועקטאָרן a און b, ווערט דער פּונקט־פּראָדוקט געשריבן ווי:
א · ב
דער רעזולטאַט איז אַ סקאַלאַר נומער וואָס שפּיגלט אָפּ "וויפֿל" וועקטאָר a איז אין דער זעלבער ריכטונג ווי וועקטאָר b. דעם באַגריף קען מען פֿאַרשטיין דורך דעם פֿאָלגנדיקן בילד: ווען מיר פּראָיעקטירן וועקטאָר a אויף וועקטאָר b, מעסטן מיר וויפֿל פֿון a'ס קאָמפּאָנענט "רייט ווייטער" אין דער ריכטונג פֿון b. וואָס מער אין דער זעלבער ריכטונג צוויי וועקטאָרן זענען, אַלץ גרעסער וועט זייער פּונקט פּראָדוקט זיין; וואָס מער קעגן זיי זענען, אַלץ קלענער (אפֿילו נעגאַטיוו) וועט זייער פּראָדוקט זיין; און אויב זיי זענען פּערפּענדיקולאַר, וועט דער פּונקט פּראָדוקט זיין נול.
פּונקט מולטיפּליקאַציע פאָרמולע דורך קאָמפּאָנענטן
לאָמיר זאָגן אַ צוויי-דימענסיאָנעלן וועקטאָר:
א = (א₁, א₂)
ב = (ב₁, ב₂)
אַזוי די פּונקט-מאַלטיפּליקיישאַן איז:
א · ב = א₁ב₁ + א₂ב₂
פֿאַר דריי-דימענסיאָנאַלע וועקטאָרן:
א = (א₁, א₂, א₃)
ב = (ב₁, ב₂, ב₃)
אַזוי:
א · ב = א₁ב₁ + א₂ב₂ + א₃ב₃
מער בכלל, פֿאַר אַן n-דימענסיאָנעלן וועקטאָר:
a · b = Σ (aᵢ bᵢ) פֿאַר i = 1 ביז n.
די פֿאָרמולע איז פּשוט אָבער שטאַרק. מיר טאַפּלען פשוט די קאָרעספּאָנדירנדיקע טערמינען און דערנאָך לייגן זיי צוזאַמען. דאָס איז פאַרוואָס פּונקט-טאַפּליקאַציע איז אַזוי וויידלי געניצט אין קאָמפּיוטערס: עס איז גרינג צו ימפּלעמענטירן און עפֿעקטיוו.
פונקט מולטיפליקאציע פארמולע מיט ווינקל צווישן וועקטאָרן
אין צוגאב צו קאמפאנענטן, קען מען אויך אויסדריקן דעם פונקט-פראדוקט אין ווינקלדיקער (געאמעטרישער) פארעם. אויב θ איז דער ווינקל צווישן וועקטאָרן a און b, דעמאָלט:
א · ב = |א| |ב| קאָס(θ)
אינפֿאָרמאַציע:
– |a| איז די לענג (מאַגניטוד) פון וועקטאָר a
– |b| איז די לענג פון וועקטאָר b
– cos(θ) איז דער קאָסינוס פֿון דעם ווינקל צווישן די צוויי וועקטאָרן
די פֿאָרמולע שטעלט דעם טראָפּ אויף דער געאָמעטרישער באַדייטונג: דער פּונקט־פּראָדוקט מעסט די "אויסגלייכונג" פֿון די ריכטונגען פֿון צוויי וועקטאָרן. ווען θ איז קליין (נאָענט צו 0°), איז קאָס(θ) נאָענט צו 1, אַזוי איז דער פּונקט־פּראָדוקט גרויס און פּאָזיטיוו. ווען θ = 90°, קאָס(90°)=0, אַזוי איז דער פּונקט־פּראָדוקט נול. ווען θ > 90°, איז קאָס(θ) נעגאַטיוו, אַזוי איז דער פּונקט־פּראָדוקט נעגאַטיוו.
פּונקט פּראָדוקט קאַלקולאַציע בייַשפּיל
בייַשפּיל 1 (2D וועקטאָר)
למשל:
– א = (2, 3)
– ב = (4, -1)
אַזוי:
א ב = 2·4 + 3·(-1) = 8 – 3 = 5
דער רעזולטאַט איז 5 (סקאַלאַר). דאָס מיינט אַז אין אַלגעמיין, די ריכטונג פון וועקטאָר a האט נאָך אַ קאָמפּאָנענט אין דער זעלביקער ריכטונג ווי b, אפילו כאָטש איינער פון די קאָמפּאָנענטן איז פאַרקערט.
בייַשפּיל 2 (פּערפּענדיקולאַר)
למשל:
– א = (1, 2)
– ב = (2, -1)
פּונקט:
א ב = 1·2 + 2·(-1) = 2 – 2 = 0
ווייל דער פּונקט פּראָדוקט איז 0, זענען די צוויי וועקטאָרן פּערפּענדיקולאַר (אָרטאָגאָנאַל).
אייגנשאפטן פון פונקט מולטיפליקאציע
פּונקט-מולטיפּליקאַציע האט עטלעכע וויכטיקע אייגנשאַפטן:
1. קאָמוטאַטיוו
א · ב = ב · א
2. דיסטריביוטיוו צו אַדיציע
א · (ב + ג) = א · ב + א · ג
3. אסאסיאציאטיוו מיט סקאלארער מולטיפליקאציע
(ka) · b = k (a · b) פֿאַר סקאַלאַר k
4. פּונקט פּראָדוקט מיט נול וועקטאָר
א · 0 = 0
5. באַציִונג מיט וועקטאָר לענג
א · א = |א|²
דאָס איז זייער נוצלעך ווײַל פֿון דאָ קענען מיר באַקומען די לענג פֿונעם וועקטאָר:
|א| = √(א · א)
די אייגנשאפטן מאכן דעם דאט פראדוקט א פונדאמענטאלע אפעראציע אין לינעארער אלגעברע וואס בויט אויף פילע פארגעשריטענע קאנצעפטן.
געאמעטרישע באַדייטונג און אינטערפּרעטאַציע
דער פּונקט פּראָדוקט קען ווערן אינטערפּרעטירט ווי אַ מאָס פֿון פּראָיעקציע. אויב מיר ווילן וויסן די פּראָיעקציע פֿון וועקטאָר a אויף דער ריכטונג פֿון b, קענען מיר נוצן דעם פּונקט פּראָדוקט. די קאָמפּאָנענט פֿון וועקטאָר a אין דער זעלבער ריכטונג ווי b קען קוואַנטיטאַטיוו באַקומען ווערן דורך:
סקאַלאַרע פּראָיעקציע פון a צו b:
קאָמפּ_ב(אַ) = (אַ · ב) / |ב|
פּראָיעקציע פֿון וועקטאָר a צו b:
פּראָדזש_ב(אַ) = ((אַ · ב) / |ב|²) ב
די אויסטײַטשונג איז זייער נוצלעך, למשל ווען מען רעכנט אויס דעם שאָטן פֿון אַ קראַפֿט אין אַ געוויסער ריכטונג אָדער ווען מען צעטיילט באַוועגונג אין האָריזאָנטאַלע און ווערטיקאַלע קאָמפּאָנענטן.
אַפּליקאַציעס פון פּונקט מולטיפּליקאַציע אין לעבן און וויסנשאַפֿט
1. פיזיק (ארבעט און ענערגיע)
אין פיזיק, ווערט ארבעט דורך א קראפט דעפינירט אלס:
W = F · s = |F||s|קאָס(θ)
וואו F איז די קראַפט און s איז די פֿאַרשייבונג. אויב די קראַפט איז אין דער זעלבער ריכטונג ווי די פֿאַרשייבונג, איז די אַרבעט פּאָזיטיוו; אויב זי איז אין דער פאַרקערטער ריכטונג, איז די אַרבעט נעגאַטיוו; אויב זי איז פּערפּענדיקולאַר (למשל, די נאָרמאַלע קראַפט אויף אַ פלאַך), איז די אַרבעט נול.
2. באַשטימען דעם ווינקל צווישן וועקטאָרן
אויב מיר ווייסן a · b , |a|, און |b|, דעמאָלט קען מען אויסרעכענען דעם ווינקל θ:
קאָס(θ) = (a · b) / (|a||b|)
דעמאָלט קען מען באַקומען θ מיט דער אומגעקערטער קאָסינוס (אַרקאָס) פונקציע.
3. מאַשין לערנען און דאַטן וויסנשאַפֿט
דער פּונקט פּראָדוקט ווערט גענוצט צו רעכענען דעם כעזשבן אָדער ענלעכקייט צווישן צוויי פֿעיִטשער וועקטאָרן. אין לינעאַרע מאָדעלן, נעמט די פּראָגנאָז אָפֿט די פֿאָרעם:
y = w · x + b
וואו w איז די וואָג און x איז דער אינפוט וועקטאָר. דער פּונקט פּראָדוקט דאָ איז דער צענטער פון דעם באַשלוס-מאכן מעקאַניזם.
4. קאָמפּיוטער גראַפיקס (לייטינג)
אין 3D רענדערינג, ווערט דער דאט פראדוקט גענוצט צו באשטימען די ליכט אינטענסיטעט אויף אן אייבערפלאך. אינטענסיטעט איז אפט אפהענגיק פון דעם קאסינוס פון דעם ווינקל צווישן דער ליכט ריכטונג און דער אייבערפלאך נארמאל. מיטן דאט פראדוקט ווערט די חשבון:
איך ∝ ן · ל
מיט n די ייבערפלאַך נאָרמאַל און l די ליכט ריכטונג (געווענליך נאָרמאַליזירט).
געוויינטלעכע טעותים צו פארמיידן
עטלעכע געוויינטלעכע טעותים ווען מען לערנט דאט פראדוקטן:
– טראַכטן אַז דער פּונקט פּראָדוקט רעזולטאַט איז אַ וועקטאָר (ווען עס איז אין פאַקט אַ סקאַלאַר).
– אומרעכטע קאָמפּאָנענט פּאָרינג (מוזן זיין קאָמפּאַטיבלע קאָמפּאָנענטן).
– פארגעסן אז א דאט פראדוקט קען זיין נעגאטיוו.
– ניצן ווינקל פאָרמולעס אָן זיכער מאַכן אַז דער וועקטאָר געניצט און די מאַגניטוד קאַלקיאַלייטיד זענען ריכטיק.
– א מיספארשטענדעניש אז א נול פונקט פראדוקט מיינט פערפענדיקולאר (דאס איז אמת), אבער נאר אויב ביידע וועקטאָרן זענען נישט נול וועקטאָרן.
קלאָוזינג
דער פּונקט פּראָדוקט פֿון וועקטאָרן איז אַ יסודותדיקער באַגריף וואָס פֿאַרבינדט אַלגעברע און געאָמעטריע. מיטן פּונקט פּראָדוקט קענען מיר ניט נאָר רעכענען די צאָל פֿון צוויי וועקטאָרן, נאָר אויך פֿאַרשטיין די ריכטונגס-באַציִונג צווישן זיי: צי זיי זענען אין דער זעלבער ריכטונג, קעגנגעזעצטע ריכטונגען, צי אָרטאָגאָנאַל. זײַן פּשוטע פֿאָרמולע מאַכט עס גרינג צו אָנווענדן אין ביידע מאַנועלע קאַלקולאַציעס און גרויס-מאָסשטאַביגע קאַלקולאַציעס. צוליב זײַנע פֿילע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער - פֿון פֿיזיק און דאַטן אַנאַליז ביז קאָמפּיוטער גראַפֿיק - איז פֿאַרשטיין דעם פּונקט פּראָדוקט אַ וויכטיקער שריט פֿאַר ווער עס יז וואָס שטודירט וועקטאָר מאַטעמאַטיק און לינעאַרע אַלגעברע.
אויב איר ווילט, קען איך אויך צולייגן אילוסטראציעס, פראקטיק פראגעס מיט דערקלערונגען, אדער א ווערסיע פון דעם ארטיקל וואס פאקוסירט מער אויף א ספעציפישע אנווענדונג (פיזיק, מאשין לערנען, אדער געאמעטריע).
