Mehopolo ea Motheo ea Liphetoho tse sa Lebelloang
Lipalopalong le khopolo-taba ea monyetla, mefuta e sa reroang ke e 'ngoe ea likhopolo tsa motheo ka ho fetisisa, e koalang sekheo pakeng tsa liketsahalo tse sa reroang le tlhahlobo ea lipalo e ka lekanngoang. Ka mefuta e sa reroang, re ka "fetolela" liphetho tsa teko e sa reroang—eo qalong e nang le liketsahalo kapa lihlopha—ho ea lipalong tse ka sebetsoang: ho bala menyetla ea tsona, ho li akaretsa ka karolelano, ho lekanya ho hasana ha tsona, esita le ho li etsa mohlala ho sebelisoa likabo tse itseng. Sengoloa sena se tšohla likhopolo tsa motheo tsa mefuta e sa reroang, mefuta ea tsona, le likhopolo tsa bohlokoa tse kang mosebetsi oa monyetla, mosebetsi oa kabo e kopaneng, boleng bo lebeletsoeng, le phapang.
1. Phapang e sa reroang ke eng?
Ka mantsoe a bonolo, phetoho e sa reroang ke mosebetsi o hokahanyang sephetho se seng le se seng ho tloha sebakeng sa sampole ho ea palong ea 'nete. Sebaka sa sampole ke pokello ea liphetho tsohle tse ka bang teng tsa teko e sa reroang.
Mohlala, a re re phutha die e mahlakore a tsheletseng. Sebaka sa sampole ke {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Re ka hlalosa phetoho e sa reroang \(X\) e le "nomoro e hlahang dieeng." Ebe \(X\) e ka ba le boleng ho tloha ho 1 ho isa ho 6, ka monyetla o lekanang haeba die e lokile.
Mohlala o mong: re phetla dikhoine tse pedi. Sebaka sa mohlala ke {HH, HT, TH, TT}. Haeba re hlalosa phetoho e sa reroang \(Y\) e le "palo ya dihlooho (H) tse hlahang", joale:
– HH → \(Y = 2\)
– HT → \(Y = 1\)
– TH → \(Y = 1\)
– TT → \(Y = 0\)
Mona re bona hore diphetoho tse sa reroang ha di hloke ho "bontsha" sephetho sa pele ka ho toba; ke tsela ya ho abela boleng ba dipalo ho diphetho tse sa reroang ho ya ka ditlhoko tsa tlhahlobo.
2. Mefuta ea li-variable tse sa reroang: tse arohaneng le tse tsoelang pele
Ka kakaretso, diphetoho tse sa reroang di arotsoe ka mefuta e mmedi e meholo:
a) Diphetoho tse sa reroang tse ikgethang
Phapang e sa reroang e arohaneng ke phapang e sa reroang eo boleng ba yona bo ka balwang ka bonngoe (e ka balwang), hangata ka sebopeho sa dinomoro tse felletseng kapa sete e arohaneng ya boleng bo itseng.
Contoh:
– Palo ea bana ka lapeng (0, 1, 2, 3, …)
– Palo ea likoloi tse fetang sebakeng sa tefiso ka motsotso o le mong
– Palo ea lintho tse nang le sekoli tse tsoang lihlahisoa tse 10 tse hlahlobiloeng
Bakeng sa diphetoho tse sa reroang tse arohaneng, monyetla wa boleng bo bong le bo bong o ka hlahiswa ka ho toba ka mokgwa wa mosebetsi wa boima ba kgonego.
b) Diphetoho tse sa reroang tse tswelang pele
Phetoho e sa fetoheng e sa reroang ke phetoho e sa reroang e ka nkang boleng karolong e sa fetoheng moleng oa linomoro tsa 'nete (e sa baloeng), mohlala, boleng bohle bo pakeng tsa 0 le 1, kapa boleng bohle ba 'nete bo nepahetseng.
Contoh:
– Bolelele ba motho
– Nako ea ho leta ha moreki khaontareng
– Mocheso oa moea ka hora e itseng
Bakeng sa phetoho e sa reroang e tswelang pele, monyetla ntlheng efe kapa efe e fanoeng ha e le hantle ke lefela. Ka hona, monyetla o balwa hodima mefuta e fapaneng ya boleng (mohlala, pakeng tsa metsotso e 10 le e 12), ho sebediswa mosebetsi wa tekanyo ya kgonahalo .
3. Mesebetsi ea monyetla: PMF le PDF
Khopolo e latelang ea bohlokoa ke kamoo monyetla o "hokahanngoang" le boleng ba phetoho e sa reroang.
a) Mosebetsi oa Boima ba Monyetla (PMF)
Bakeng sa phetoho e sa reroang e arohaneng \(X\), PMF e hlalosoa e le:
\[
p(x) = P(X = x)
\]
ka tokisetso ea:
1. \(p(x) \ge 0\) bakeng sa tsohle \(x\)
2. \(\sum_x p(x) = 1\)
Mohlala o bonolo: dice tse lokileng
\[
P(X=k)=\frac{1}{6}, \quad k=1,2,3,4,5,6
\]
b) Mosebetsi oa Bongata ba Monyetla (PDF)
Bakeng sa phetoho e sa fetoheng e sa reroang \(X\), re sebedisa PDF \(f(x)\) e le hore monyetla wa karohano \([a,b]\) e be:
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^bf(x)\,dx
\]
ka tokisetso ea:
1. \(f(x) \ge 0\)
2. \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\)
Ho bohlokoa ho totobatsa: bakeng sa phetoho e sa reroang e tsoelang pele, \(P(X=x)=0\) bakeng sa boleng bo bong le bo bong ba \(x\). Monyetla o lula o le bohlokoa ha ho buisanoa ka mefuta-futa.
4. Mosebetsi oa kabo e bokellaneng (CDF)
Ebang ke diphetoho tse arohaneng kapa tse tswelang pele, tse sa reroang di ka hlaloswa ke mosebetsi wa kabo e kopaneng (CDF), o hlaloswang e le:
\[
F(x) = P(X \le x)
\]
CDF e na le litšobotsi tse 'maloa tsa bohlokoa:
– Boleng ba \(F(x)\) kamehla bo pakeng tsa 0 le 1
– \(F(x)\) ha e fokotsehe (ha e fokotsehe)
– \(\lim_{x\to -\infty}F(x)=0\) le \(\lim_{x\to\infty}F(x)=1\)
Bakeng sa di-variable tse arohaneng, CDF e bōpehile ka "litepisi" (e phahamang libakeng tse itseng). Bakeng sa di-variable tse tsoelang pele, CDF ka kakaretso e boreleli 'me ke karolo ea bohlokoa ea PDF:
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
\]
5. Tekanyo ea tšekamelo ea bohareng: boleng bo lebelletsoeng (tebello)
Hang ha re se re tseba kabo ea menyetla, hangata re batla ho akaretsa phetoho e sa reroang ka nomoro e le 'ngoe e emelang "boleng ba eona bo tloaelehileng ba nako e telele." Ena ke boleng bo lebelletsoeng kapa tebello.
a) Litebello tse fapaneng tse fapaneng
Haeba \(X\) e arohane:
\[
E[X] = \sum_x x\,p(x)
\]
b) Tebello ea li-variable tse tsoelang pele
Haeba \(X\) e tswela pele:
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx
\]
Tebello ha se kamehla e tšoanang le "boleng bo hlahang khafetsa" (mokhoa), 'me ha se kamehla boleng bo ka etsahalang, empa bo thusa haholo bakeng sa ho etsa liqeto, ho bolela esale pele le ho sekaseka likotsi.
Mohlala oa ts'ebeliso: Khoebong, litebello li ka sebelisoa ho bala phaello e tloaelehileng e lebelletsoeng ea leano, ho nahanoa ka maemo a fapaneng le menyetla ea ona.
6. Litekanyo tsa ho hasana: phapang le ho kheloha ho tloaelehileng
Diphetoho tse pedi tse sa reroang di ka ba le tebello e tshwanang empa maemo a fapaneng a ho se tsitse. Ka hona, re hloka ditekanyo tsa ho hasana, e leng phapang le ho kheloha ho tloaelehileng.
Phapang ea \(X\) e hlalosoa e le:
\[
Var(X)=E[(XE[X])^2]
\]
Phapang e tloaelehileng ke motso o sekoere oa phapang:
\[
\sigma = \sqrt{Var(X)}
\]
Mekhoa e sebetsang e sebelisoang hangata:
\[
Var(X) = E[X^2] – (E[X])^2
\]
Ha phapang e le kgolo, ho ata ha boleng ba \(X\) ho tloha ho karolelano ho hoholo, ho bolelang ho se tsitse ho hoholo.
7. Kabo ea menyetla e sebelisoang khafetsa
Ha e le hantle, diphetoho tse ngata tse sa reroang di latela dipaterone tse itseng tsa kabo. Dikabo tse ding tse tsebahalang ke:
– Bernoulli: diphetho tse pedi (katleho/ho hloleha), mohlala, nnete-e seng nnete, bafu ba phelang.
– Binomial: palo ea katleho ho tsoa litekong tsa \(n\) tsa Bernoulli, mohlala palo ea baithuti ba fumaneng mangolo ho batho ba 20.
– Poisson: palo ea liketsahalo nakong/sebaka, mohlala palo ea mehala e kenang ka motsotso.
– E ts'oanang e tsoelang pele: boleng bohle karolong e ka bang teng bo ka etsahala ka ho lekana.
– Tloaelehileng (Gaussian): liketsahalo tse ngata tsa tlhaho le tsa kahisano li atamela kabo ena, joalo ka phoso ea bophahamo kapa tekanyo.
Ho khetha kabo e nepahetseng ho thusa ho etsa mohlala le tlhahlobo hore e be tse nepahetseng haholoanyane.
8. Ke hobane'ng ha diphetoho tse sa reroang di le bohlokwa?
Diphetoho tse sa reroang ke motheo wa:
– Lipalopalo tsa ho nahana: ho hakanya diparamitha tsa baahi ho latela disampole
– Teko ea khopolo-taba: ho etsa qeto ea hore na tleleime e tšehetsoa ke data
– Ho ithuta ka mochini: ho etsa mohlala oa ho se tsitse le monyetla oa ho bolela esale pele
– Taolo ea likotsi: ho lekanya monyetla oa tahlehelo le maemo a feteletseng
– Boenjiniere le saense: ts'ebetso ea matšoao, ts'epo ea sistimi, khopolo-taba ea ho beha mela
Ka diphetoho tse sa reroang, re na le puo ya dipalo eo re ka buang ka ho se tsitse ka yona ka mokgwa o hlophisehileng.
Qetello
Phetoho e sa reroang ke mohopolo oa mantlha khopolo-taba ea monyetla e hokahanyang liphetho tsa liteko tse sa reroang le boleng ba lipalo. Liphetoho tse sa reroang li ka ba tse arohaneng kapa tse tsoelang pele, 'me e' ngoe le e 'ngoe e na le mokhoa o fapaneng oa ho emela menyetla ka PMF kapa PDF. Ho feta moo, CDF e fana ka mokhoa o tloaelehileng oa ho bona pokello ea menyetla. Ho akaretsa kabo, tebello e sebelisoa e le tekanyo ea tšekamelo ea bohareng le phapang/phapang e tloaelehileng e le tekanyo ea ho hasana. Ho utloisisa likhopolo tsena tsa motheo ho tla nolofatsa ho ithuta lihlooho tse tsoetseng pele haholoanyane tse kang kabo ea menyetla, khakanyo ea lipalo-palo, ho khutlela morao, le mohlala oa kotsi le tlhahlobo ea data ea sejoale-joale.
Haeba o batla, nka eketsa mehlala ea lipotso le lipuisano tsa tsona (tse sa tobang le tse tsoelang pele) ho etsa hore mohopolo oa li-variable tse sa reroang o utloisisehe habonolo.
