Metotia Jackknife i Fuainumera
O le metotia o le jackknife o se metotia taua o le toe faia o faʻataʻitaʻiga i fuainumera, aemaise lava mo le fuaina o le le mautonu o se faʻatatauga. E masani ona faʻaaogaina le jackknife e faʻatatau ai le faʻaituau ma le fesuiaʻiga o se faʻatatauga, faʻapea foʻi ma le fausiaina o fua saʻo e pei o le mea sese masani. O lenei metotia e fai si faigofie, e le manaʻomia ni manatu faʻasalalau faigata tele, ma e mafai ona faʻaaogaina i le tele o faʻafitauli, mai fuainumera masani i le auʻiliʻiliga o faʻamaumauga faʻaonaponei.
Talaaga ma manatu faavae
Na faʻalauiloa le jackknife e Maurice Quenouille ma mulimuli ane faʻalauiloa e John Tukey. O le igoa "jackknife" na musuia e se naifi puʻupuʻu e tele ona aoga, aua e fetuʻunaʻi le metotia ma e mafai ona faʻaaogaina i le tele o tulaga. O le manatu autu lenei: afai ei ai sa tatou faʻataʻitaʻiga o le lapoʻa n, tatou te faia ni "faʻataʻitaʻiga pepelo" e ala i le aveeseina o le tasi matauga i taimi taʻitasi, ona toe faʻatatauina lea o le fua faʻatatau i faʻataʻitaʻiga taʻitasi. I le matauina o le auala e suia ai le fua faʻatatau pe a aveeseina le tasi matauga, tatou te maua ai se malamalamaaga i le mautu o le fua faʻatatau i luga o le eseesega o faʻamatalaga.
Mo se faʻataʻitaʻiga, faapea o loʻo ia i tatou faʻamaumauga \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ma e manaʻo e faʻatatau se parakalafa \(\theta\) e faʻaaoga ai le fuafuaga \( \hat{\theta}=t(x_1,\dots,x_n)\). I le jackknife, tatou te fausia ni vaega laiti e n o le lapoʻa \(n-1\), o lona uiga o le vaega laiti \(i\)th e tapeina ai le \(x_i\). Ona tatou fuafuaina lea:
\[
\hat{\theta}_{(i)} = t(x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n)
\]
O le tau \(\hat{\theta}_{(i)}\) e ta'ua o le fa'atatauga o le tu'u-tasi-i-leai.
Laasaga o le metotia Jackknife
I le fa'agasologa, e mafai ona fa'amatalaina le jackknife i la'asaga nei:
1. Fuafua le fua fa'atatau i fa'amaumauga atoa
Fuafua le \(\hat{\theta}\) i luga o le faʻataʻitaʻiga atoa.
2. Fausia ni vaega laiti e tu'u ese ai le tasi
Mo \(i = 1,2,\dots,n\ taitasi, aveese le matauga \(x_i\) ma fa'atatau le fa'atatauga \(\hat{\theta}_{(i)}\).
3. Fuafua le averesi o le fuafuaga o le jackknife
Averesi o le malologa-tasi le alu ese:
\[
\bar{\theta}_{(\cdot)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat{\theta}_{(i)}
\]
4. Fa'atatauga o le eseesega (po'o le sese masani)
E masani ona fuafuaina le eseesega o le jackknife e ala i le:
\[
\widehat{\mathrm{Var}}_{J}(\hat{\theta}) = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\hat{\theta}_{(i)} – \bar{\theta}_{(\cdot)}\right)^2
\]
O le mea sese masani o le a'a sikuea o le fesuia'iga.
5. Fuafuaina o le fa'aituau ma le fa'asa'oga o le fa'aituau (filifiliga)
E mafai fo'i e Jackknife ona fuafua le fa'aitu'au e ala i:
\[
\widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta}) = (n-1)\left(\bar{\theta}_{(\cdot)} – \hat{\theta}\right)
\]
E mafai ona faia le faasa'oga o le faaituau e ala i le:
\[
\hat{\theta}_{J} = \hat{\theta} – \widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta})
\]
Fa'amatalaga: afai e ese le averesi o le tu'u-tasi-i fafo mai le fa'atatauga atoa i se faiga fa'asolosolo, o lo'o i ai se fa'ailoga o le fa'aituau e mafai ona fa'asa'oina.
Fa'ata'ita'iga faigofie: averesi o fa'ata'ita'iga
Ina ia malamalama lelei i le jackknife, mafaufau i le faʻataʻitaʻiga o le averesi o le faʻatatauga:
\[
\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\]
Afai tatou te aveese se tasi matauga \(x_i\), o le averesi e avea ma:
\[
\hat{\mu}_{(i)} = \frac{1}{n-1}\sum_{j\ne i} x_j
\]
I le tulaga o averesi, e le aumaia e le jackknife se "mea e ofo ai" tele aua e mautu le averesi ma e laʻititi le faʻaituau (i le tele o tulaga). Peitaʻi, mo faʻatatauga e sili atu ona faigata—e pei o le ogatotonu, o se fua faʻatatau faʻapitoa o le regression, o se fesoʻotaʻiga, poʻo se fuainumera e le o laina—o le suiga e mafua mai i le aveeseina o se tasi faʻamaumauga e mafai ona faʻaalia ai le maaleale o le faʻatatauga ma maua ai se faʻatatauga aoga o lona sese masani.
Pseudovalue: o se manatu tāua i le jackknife
I nisi talanoaga, ua faʻalauiloa mai e jackknife se pseudovalue mo matauga taʻitasi:
\[
\theta_i^{ } = n\hat{\theta} – (n-1)\hat{\theta}_{(i)}
\]
Ona mafai lea ona tusia le jackknife estimator o le averesi o pseudovalues:
\[
\hat{\theta}_{J} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \theta_i^{ }
\]
E fesoasoani le auala o le pseudovalue e faʻamatalaina ai le auala e "fesoasoani" ai matauga taʻitasi i le faʻatatauga mulimuli ma faʻafaigofie ai le auiliiliga o le faʻaituau.
Le sootaga i le va o le jackknife ma le bootstrap
E masani ona faʻatusatusa le Jackknife i le bootstrap, auā o metotia uma ia e lua o le resampling. Peitaʻi, e iai ni eseesega tāua:
– E fa'aaogā e Jackknife le subsampling e ala i le ave'esea o le tasi fa'amaumauga (tu'u le tasi). O le aofa'i o toe faia e fa'atulagaina: tonu lava le n.
– O le Bootstrapping e faia ai se resample faatasi ai ma le sui, e masani lava i le tele o taimi (e.g. 1000 pe 10.000 taimi), ma maua ai se fuafuaga o le tufatufaina atu o le empirical o le estimator.
I se tulaga lautele, e sili atu ona fetuutuunai le bootstrap ma e masani ona sili atu ona sa'o mo fa'afitauli faigata, ae o le jackknife e faigofie ma taugofie le fa'akomepiuta. I luga o fa'amaumauga tetele, e mafai e le jackknife ona avea ma se isi auala vave mo le mauaina o mea sese masani, aemaise lava pe a taugata le fa'atulagaina o le fua fa'atatau ae e mafai lava ona fa'atinoina i taimi e n.
Fa'amanuiaga o le metotia o le jackknife
O nisi nei o tulaga lelei o se jackknife:
1. Faigofie ma faigofie ona faʻatino
O le manatu o le tu'u-tasi-i fafo e faigofie lava, ma o le fua fa'atatau o le fesuia'iga e faigofie lava.
2. Ni nai manatu fa'atatau i le tufatufaina atu
E lē o taimi uma e manaʻomia ai e le Jackknife le manatu o le tulaga masani poʻo se foliga faʻapitoa o le tufatufaina atu.
3. Lelei mo nisi fa'atusatusaga
Talu ai e na'o le n taimi o fuafuaga fa'atatau e mana'omia, e masani ona mama le jackknife nai lo le bootstrapping lea e mana'omia ai le faitau afe o toe fai.
4. Aoga mo le fuafuaina o le faaituau
Aemaise lava i fa'atatauga e le laina sa'o ia e masani ona le faigofie ona fuafuaina i se auala auiliili.
Tapula'a ma mea e mata'ituina
E ui ina malosi le jackknife, ae e iai foʻi ona tapulaʻa:
1. E le sa'o tele mo fua fa'atatau e le o se mea e sili ona lamolemole
Mo se faʻataʻitaʻiga, o le median poʻo quantiles i nisi tulaga, poʻo fuainumera e faʻalagolago i tau maualuluga, o le jackknife o nisi taimi e maua ai ni faʻatatauga e le saʻo tele o le eseesega.
2. E lē talafeagai i taimi uma mo faʻamaumauga e iai faʻalagolago
I fa'asologa o taimi po'o fa'amaumauga fa'ale-atunu'u, e lē tuto'atasi ia matauga. O le aveeseina o se vaega e tasi e mafai ona motusia ai le fausaga o le fa'alagolago. Mo tulaga fa'apenei, e fa'aaogaina ai suiga e pei o le block jackknife (aveeseina o le tasi poloka o fa'amaumauga i le taimi).
3. E maaleale i matauga e tele sona aafiaga
Afai e iai ni fa'amaumauga e le aofia ai pe "leveraged", e mafai ona matua suia lava le fa'atatauga o le leave-one-out. E le o se vaivaiga lea i taimi uma—o le mea moni, e mafai ona avea ma fa'ailoga taua—ae o le eseesega e mafua mai ai e mafai ona tele ma e mana'omia ai le fa'auigaga ma le fa'aeteete.
4. Fa'alauteleina i le tele o n
E ui e taugofie atu nai lo le bootstrapping, ae manaʻomia pea e le jackknife ni iloiloga o le n estimator. Afai e oʻo atu le n i le miliona ma e taugata estimators, e mafai ona avea lea ma faʻafitauli.
Eseesega: delete-d jackknife ma block jackknife
E ese mai i le tu'u-tasi-i fafo, e iai fo'i isi eseesega:
– Delete-d jackknife : tapeina le d matauga i le toe faia (nai lo le na'o le 1). E mafai ona fa'aleleia atili ai le sa'o i nisi o tulaga, aemaise lava mo fa'atatauga e le lamolemole.
– Block jackknife: aveese se poloka o loʻo i ai ni matauga e tele e tuaoi, e talafeagai mo faʻamaumauga e iai le autocorrelation (e.g. faʻamaumauga i aso taʻitasi, vaiaso taʻitasi, poʻo faʻamaumauga faʻapitoa).
O le filifiliga o le d poʻo le tele o le poloka e faʻalagolago i le fausaga o faʻamaumauga ma le sini o le faʻaiʻuga.
Fa'aaogaina o le naifi toso i le fa'atinoga
E fa'aaogaina le Jackknife i matā'upu eseese:
– Fa'amaumauga o meaola ma fa'ama'i pipisi: fa'atatauina o mea sese masani mo fua fa'atatau o tulaga lamatia po'o fa'asologa o fa'ata'ita'iga pe a faigata ona faia ni fua fa'atatau.
– Econometrics: iloiloga o le mautu o parakalafa, aemaise lava i faʻataʻitaʻiga faʻatapulaʻa.
– Saienisi komepiuta ma le aʻoaʻoina o masini: o le manatu o le tuʻua-tasi-i fafo e fesoʻotaʻi vavalalata ma le faʻamaoniga faʻatasi, e ui lava e eseese sini (faʻamaoniga o valoʻaga vs faʻatatauga o le saʻo o parakalafa).
– Ikolosi ma suʻesuʻega: faʻatatauga o le eseesega poʻo nisi faʻailoga ma le le mautonu o fuainumera lavelave.
Fa'ato'a
O le metotia o le jackknife o se metotia masani o le toe faia o faʻataʻitaʻiga lea e tumau pea lona tāua i aso nei. I le faʻaaogaina o se manatu faigofie—e aunoa ma le tuʻuina atu o se tasi o matauga ma toe faʻatatauina le fua faʻatatau—e mafai e le jackknife ona tuʻuina atu ni fua faʻatatau o le eseesega, mea sese masani, ma le faʻaituau e aunoa ma ni faʻatusatusaga faʻamatematika faigata. Peitaʻi, o lona faʻaaogaina e manaʻomia ai le mafaufau i le natura o le fua faʻatatau, le tele o faʻataʻitaʻiga, ma le fausaga faʻalagolago o faʻamatalaga. I le faʻatinoina, o le jackknife e masani lava o se filifiliga vave ma manino, poʻo se faʻaopoopoga i le faʻaaogaina o metotia sili atu ona malolosi o le toe faia o faʻataʻitaʻiga e pei o le bootstrapping.
Afai e te manaʻo ai, e mafai foʻi ona ou faʻaopoopoina se faʻataʻitaʻiga laʻititi o le faʻatusatusaga faʻafuainumera (e.g. mo le fesoʻotaʻiga poʻo le regression) pe aofia ai se faʻatinoga o le jackknife i le R/Python e faʻamanino ai le talosaga.
