Persamaan kontinuitas

Coba Anda buka kran air perlahan‐lahan sambil memperhatikan laju air yang keluar dari mulut kran. Setelah kran tidak bisa diputar lagi, sumbat sebagian mulut kran dengan tanganmu. Sekarang bandingkan, manakah laju aliran air yang lebih besar. Ketika sebagian mulut kran disumbat atau tidak disumbat ? Kalau Anda punya selang yang biasa dipakai untuk menyiram bunga, alirkan air melalui selang tersebut. Tutup sebagian mulut selang dengan tangan atau jarimu. Semakin banyak bagian mulut selang yang ditutup, semakin deras air menyembur keluar. Sebaliknya jika mulut selang tidak ditutup, aliran air menjadi kurang deras. Mengapa bisa demikian ? agar bisa memahami hal ini, silahkan pelajari pokok bahasan persamaan kontinuitas.

Garis Arus dan Tabung Alir

Terlebih dahulu kita pahami konsep Garis Arus dan Tabung Alir. Konsep ini penting, karena akan membantu Anda memahami persamaan kontinuitas.

Garis Arus (stream line)

Perhatikan gambar di bawah, garis yang berwarna biru merupakan Garis Arus.

Persamaan kontinuitas 1Pada aliran tunak, kecepatan setiap partikel fluida di suatu titik, katakanlah titik A selalu sama. Ketika melewati titik B, kecepatan partikel fluida mungkin berubah. Walaupun demikian, ketika tiba di titik B, partikel fluida yang menyusul dari belakang mengalir dengan kecepatan yang sama seperti partikel fluida yang mendahuluinya. Demikian juga ketika tiba di titik C dan seterusnya. Garis Arus itu merupakan kurva yang menghubungkan titik A, B dan C.

Tabung Alir (flow tube)

Pada dasarnya kita bisa menggambarkan setiap garis arus melalui tiap‐tiap titik dalam aliran fluida tersebut. Jika kita menggangap aliran fluida tunak, sejumlah garis arus yang melewati sudut tertentu pada luas permukaan imajiner (luas permukaan khayalan) membentuk suatu tabung aliran. Tidak ada partikel fluida yang saling berpotongan tapi selalu sejajar dan tabung aliran tersebut akan menyerupai sebuah pipa yang bentuknya selalu sama. Fluida yang masuk pada salah satu ujung tabung akan keluar dari tabung tersebut di ujung lainnya.

Persamaan kontinuitas 2

Debit

Debit itu menyatakan volume suatu fluida yang mengalir melalui penampang tertentu dalam selang waktu tertentu. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut :

Persamaan kontinuitas 3

Untuk menambah pemahamanmu, kita gunakan contoh. Misalnya fluida mengalir melalui sebuah pipa. Pipa biasanya berbentuk silinder dan memiliki luas penampang tertentu. Pipa tersebut juga mempunyai panjang.

Persamaan kontinuitas 4

Ketika fluida mengalir dalam pipa tersebut sejauh L, maka volume fluida yang ada dalam pipa adalah V = A L (V = volume fluida, A = luas penampang dan L = panjang pipa). Karena selama mengalir dalam pipa sepanjang L fluida menempuh selang waktu tertentu, maka kita bisa mengatakan bahwa besarnya debit fluida adalah :

Persamaan kontinuitas 5

Karena v = s/t = L/t —> L = vt, maka persamaan di atas diubah menjadi :

Persamaan kontinuitas 6

Dengan demikian, ketika fluida mengalir melalui suatu pipa yang memiliki luas penampang dan panjang tertentu selama selang waktu tertentu, maka besarnya debit fluida (Q) tersebut sama dengan luas permukaan penampang (A) dikalikan dengan kecepatan aliran fluida (v).

Persamaan Kontinuitas

Tinjau aliran fluida pada sebuah pipa yang mempunyai diameter berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah.

Gambar ini menujukan aliran fluida dari kiri ke kanan (fluida mengalir dari pipa yang diameternya besar menuju diameter yang kecil). Garis putus‐putus merupakan garis arus.

Persamaan kontinuitas 7

Keterangan gambar : A1 = luas penampang bagian pipa yang berdiameter besar, A2 = luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil, v1 = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar, v2 = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil, L = jarak tempuh fluida.

Pada pengantar fluida dinamis, telah dijelaskan bahwa dalam fluida dinamis, kita membahas aliran fluida yang tak termampatkan, tak kental, tak berolak dan tunak. Pada aliran tunak, kecepatan aliran partikel fluida di suatu titik sama dengan kecepatan aliran partikel fluida lain yang melewati titik itu. Aliran fluida juga tidak saling berpotongan (garis arusnya sejajar). Karenanya massa fluida yang masuk ke salah satu ujung pipa harus sama dengan massa fluida yang keluar di ujung lainnya. Jika fluida memiliki massa tertentu masuk pada pipa yang diameternya besar, maka fluida tersebut akan keluar pada pipa yang diameternya kecil dengan massa yang tetap.

Sekarang perhatikan gambar pipa di atas. Tinjau bagian pipa yang diameternya besar dan bagian pipa yang diameternya kecil.

Selama selang waktu tertentu, sejumlah fluida mengalir melalui bagian pipa yang diameternya besar (A1) sejauh L1 (L1 = v1 t). Volume fluida yang mengalir adalah V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Selama selang waktu yang sama, sejumlah fluida yang lain mengalir melalui bagian pipa yang diameternya kecil (A2) sejauh L2 (L2 = v2 t). Volume fluida yang mengalir adalah V2 = A2 L2 = A2 v2 t.

Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Tak‐termampatkan (incompressible)

Pertama‐tama mari kita tinjau kasus untuk Fluida Tak‐termampatkan. Pada fluida tak‐termampatkan (incompressible), kerapatan alias massa jenis fluida tersebut selalu sama di setiap titik yang dilaluinya. Massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A1 (diameter pipa yang besar) selama selang waktu tertentu adalah :

Persamaan kontinuitas 8

Demikian juga, massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A2 (diameter pipa yang kecil) selama selang waktu tertentu adalah :

Persamaan kontinuitas 9

Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :

m1 = m2

ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t (massa jenis fluida dan selang waktu sama sehingga dilenyapkan)

A1 v1 = A2 v2

Jadi, pada fluida tak‐termampatkan, berlaku persamaan kontinuitas :

A1 v1 = A2 v2 — Persamaan 1

Keterangan :

A1 = luas penampang 1, A2 = luas penampang 2, v1 = kecepatan aliran fluida pada penampang 1, v2 = kecepatan aliran fluida pada penampang 2, A v = laju aliran volume V/t alias debit

Persamaan 1 menunjukkan bahwa laju aliran volume alias debit selalu sama pada setiap titik sepanjang pipa atau tabung aliran. Ketika penampang pipa mengecil, maka laju aliran fluida meningkat, sebaliknya ketika penampang pipa menjadi besar, laju aliran fluida menjadi kecil.

Ketika sebagian mulut kran kita sumbat, aliran air menjadi lebih deras dibandingkan ketika sebagian mulut kran tidak ditutup. Hal itu dikarenakan luas penampang kran menjadi kecil ketika sebagian mulut kran ditutup, sehingga laju aliran air bertambah (fluida mengalir deras). Demikian juga pada kasus selang. Tapi perlu ketahui bahwa debit atau laju aliran volume selalu sama pada setiap tempat sepanjang aliran air, baik ketika sebagian mulut kran kita tutup maupun tidak. Jadi yang berubah adalah laju aliran fluida tersebut.

Lalu bagaimana dengan aliran air di sungai ? Bagian sungai yang dalam memiliki penampang yang lebih besar dibandingkan bagian sungai yang dangkal, sehingga laju aliran air pada bagian sungai yang dalam lebih kecil daripada laju aliran air pada bagian sungai yang dangkal. Kalau Anda melihat aliran air sungai sangat tenang, itu artinya bagian sungai itu dalam. Tapi kalau tiba‐tiba aliran air sungai menjadi deras, maka bagian sungai itu pasti dangkal. Walaupun demikian, laju aliran volume air selalu sama, baik pada bagian dalam maupun pada bagian sungai yang tenang.

Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Termampatkan (compressible)

Untuk kasus fluida yang termampatkan (compressible), massa jenis fluida tidak selalu sama. Dengan kata lain, massa jenis fluida berubah ketika dimampatkan. Kalau pada fluida Tak‐termampatkan massa jenis fluida tersebut kita lenyapkan dari persamaan, maka pada kasus ini massa jenis fluida tetap disertakan. Dengan berpedoman pada persamaan yang telah diturunkan sebelumnya, mari kita turunkan persamaan untuk fluida termampatkan.

Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :

m1 = m2

ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t

Selang waktu aliran fluida sama sehingga bisa dilenyapkan. Persamaan berubah menjadi :

ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Persamaan 2

Ini adalah persamaan untuk kasus fluida termampatkan. Bedanya hanya terletak pada massa jenis fluida. Apabila fluida termampatkan, maka massa jenisnya berubah. Sebaliknya, apabila fluida tak termampatkan, massa jenisnya selalu sama sehingga bisa dihilangkan.

Contoh soal 1 :

Air mengalir melalui pipa yang berdiameter 10 cm dengan kelajuan 2 m/s. Berapakah debit air tersebut ?

Pembahasan

Diketahui :

Diameter pipa = 10 cm (ini adalah diameter dalam pipa)

Jari‐jari pipa (r) = 5 cm = 0,05 m

v air = 2 m/s

Ditanya : Debit

Jawab :

Q = A v

Q = ( π r2) (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m)2 (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m2)(2 m/s)

Q = 0,0157 m3 / s

Contoh soal 2 :

Sebuah pipa penyalur air yang berdiameter 20 cm, dihubungkan dengan sebuah pipa lain yang berdiameter 10 cm. Jika laju aliran air dalam pipa berdiameter 20 cm = 4 m/s, berapakah laju aliran air dalam pipa yang berdiameter 10 cm ?

Pembahasan

Diketahui :

Diameter 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)

v1 = 4 m/s

Diameter 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)

Ditanya : v1

Jawab :

Q1 = Q2

A1 v1 = A2 v2

( π r12) (4 m/s) = (π r22) (v2)

(0,1 m)2 (4 m/s) = (0,05 m)2 (v2)

(0,01 m2)(4 m/s) = (0,0025 m2)(v2)

(0,04 m3 /s) = (0,0025 m2)(v2)

v2 = 16 m/s

Anda perlu masuk untuk melihat isi sepenuhnya. Silahkan . Bukan Member? Bergabung