Prinsip dan Persamaan Bernoulli

Materi Prinsip dan Persamaan Bernoulli

Ketika kita mengendarai sepeda motor agak kencang, baju yang kita pakai mengembung ke belakang. Jika dirimu belum bisa mengendarai sepeda motor, perhatikan ayah/ibu/teman yang mengendarai sepeda motor. Bagian belakang baju yang dipakai biasanya kembung ke belakang kalau sepeda motornya melaju dengan kencang. Kadang kalau angin bertiup kencang, pintu rumah bisa ketutup sendiri. Padahal anginnya bertiup di luar rumah, sedangkan daun pintu ada di dalam rumah.

Hal tersebut bisa dijelaskan dengan menggunakan prinsip Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700‐1782) menemukan sebuah prinsip yang bisa digunakan untuk menjelaskan beberapa hal di atas.

Prinsip Bernoulli

Prinsip Bernoulli menyatakan bahwa di mana kecepatan aliran fluida tinggi, tekanan fluida rendah. Sebaliknya jika kecepatan aliran fluida rendah, tekanannya menjadi tinggi. Ketika sepeda motor bergerak dengan cepat, maka kecepatan udara di bagian depan dan samping tubuhmu tinggi. Dengan demikian, tekanan udara menjadi rendah. Bagian belakang tubuhmu terhalangi bagian depan tubuhmu, sehingga kecepatan udara di bagian belakang tubuhmu tidak berubah menjadi tinggi (tepat di bagian belakang tubuhmu). Akibatnya tekanan udara di bagian belakang tubuhmu menjadi lebih besar. Karena ada perbedaan tekanan udara, di mana tepat di bagian belakang tubuh tekanan udara lebih besar maka udara mendorong bajumu ke belakang sehingga bajumu kelihatan kembung ke belakang.

Bagaimana dengan daun pintu rumah yang menutup sendiri ketika angin bertiup kencang di luar rumah ? Udara yang berada di luar rumah bergerak lebih cepat daripada udara yang berada di dalam rumah. Akibatnya, tekanan udara di luar rumah lebih kecil daripada tekanan udara di dalam rumah. Karena ada perbedaan tekanan, di mana tekanan udara di dalam rumah lebih besar, maka pintu didorong keluar. Dengan kata lain, daun pintu bergerak dari tempat yang tekanan udaranya besar menuju tempat yang tekanan udaranya kecil.

Persamaan Bernoulli

Sebelumnya kita telah belajar mengenai prinsip Bernoulli. Bernoulli juga mengembangkan prinsipnya itu secara kuantitatif. Untuk menurunkan persamaan Bernoulli, kita anggap aliran fluida tunak & laminar, tak‐termampatkan alias tidak bisa ditekan, viskositas alias kekentalannya juga kecil sehingga bisa diabaikan.

Pada pembahasan mengenai Persamaan Kontinuitas, kita sudah belajar bahwa laju aliran fluida juga dapat berubah‐ubah tergantung luas penampang tabung alir. Berdasarkan prinsip Bernoulli yang dijelaskan di atas, tekanan fluida juga bisa berubah‐ubah tergantung laju aliran fluida tersebut. Tekanan fluida juga bisa berubah‐ubah tergantung pada ketinggian fluida tersebut. Hubungan antara tekanan, laju aliran dan ketinggian aliran bisa diperoleh dalam persamaan Bernoulli.

Persamaan Bernoulli sangat penting karena bisa digunakan untuk menganalisis penerbangan pesawat, pembangkit listrik tenaga air, sistem perpipaan dll. Agar persamaan Bernoulli yang akan kita turunkan berlaku secara umum, maka kita anggap fluida mengalir melalui tabung alir dengan luas penampang yang tidak sama dan ketinggiannya juga berbeda (lihat gambar di bawah). Untuk menurunkan persamaan Bernoulli, kita terapkan teorema usaha dan energi pada fluida dalam daerah tabung alir. Selanjutnya, kita akan memperhitungkan banyaknya fluida dan usaha yang dilakukan untuk memindahkan fluida tersebut.

Warna buram dalam tabung alir pada gambar menunjukkan aliran fluida sedangkan warna putih menunjukkan tidak ada fluida.

Fluida pada luas penampang 1 (bagian kiri) mengalir sejauh L₁ dan memaksa fluida pada penampang 2 (bagian kanan) untuk berpindah sejauh L₂. Karena luas penampang 2 di bagian kanan lebih kecil, maka laju aliran fluida pada bagian kanan tabung alir lebih besar (Ingat persamaan kontinuitas). Hal ini menyebabkan perbedaan tekanan antara penampang 2 (bagian kanan tabung alir) dan penampang 1 (bagian kiri tabung alir) ‐ Ingat prinsip Bernoulli. Fluida yang berada di sebelah kiri penampang 1 memberikan tekanan P₁ pada fluida di sebelah kanannya dan melakukan usaha sebesar :

Maka persamaan W₁ bisa ditulis menjadi :

W₁ = p₁ A₁ L₁

Pada penampang 2 (bagian kanan tabung alir), usaha yang dilakukan pada fluida adalah :

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya yang diberikan berlawanan dengan arah gerak. Jadi fluida melakukan usaha di sebelah kanan penampang 2. Di samping itu, gaya gravitasi juga melakukan usaha pada fluida. Pada kasus di atas, sejumlah massa fluida dipindahkan dari penampang 1 sejauh L₁ ke penampang 2 sejauh L₂, di mana volume fluida pada penampang 1 (A₁ L₁) = volume fluida pada penampang 2 (A₂ L₂). Usaha yang dilakukan oleh gravitasi adalah :

W₃ = − m g (h₂ − h₁)

W₃ = − m g h₂ + m g h₁)

W₃ = m g h₁ − m g h₂

Tanda negatif disebabkan karena fluida mengalir ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Dengan demikian, usaha total yang dilakukan pada fluida sesuai dengan gambar di atas adalah :

W = W₁ + W₂ + W₃

W = P₁ A₁ L₁ ‐ P₂ A₂ L₂ + m g h₁ ‐ m g h₂

Teorema usaha‐energi menyatakan bahwa usaha total yang dilakukan pada suatu sistem sama dengan perubahan energi kinetiknya. Dengan demikian, kita bisa menggantikan Usaha (W) dengan perubahan energi kinetik (EK₂ ‐ EK₁).

Persamaan di atas bisa kita tulis lagi menjadi :

W = P₁ A₁ L₁ ‐ P₂ A₂ L₂ + m g h₁ ‐ m g h₂

EK₂ ‐ EK₁ = P₁ A₁ L₁ ‐ P₂ A₂ L₂ + m g h₁ ‐ m g h₂

1⁄2 m v₂² ‐ 1⁄2 m v₁² = P₁ A₁ L₁ ‐ P₂ A₂ L₂ + m g h₁ ‐ m g h₂

Massa fluida yang mengalir sejauh L₁ pada penampang A₁ = massa fluida yang mengalir sejauh L₂ (penampang A₂). Sejumlah massa fluida itu, sebut saja m, mempunyai volume sebesar A₁L₁ dan A₂ L₂ di mana A₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ lebih panjang dari L₁).

Sekarang kita subtitusikan alias kita gantikan m pada persamaan di atas dengan m = ρ A L :

Ini adalah persamaan Bernoulli. Persamaan Bernoulli kita turunkan berdasarkan prinsip usaha‐energi, sehingga merupakan suatu bentuk Hukum Kekekalan Energi

Keterangan :

P = Tekanan

ρ = Massa jenis fluida

v = Kecepatan aliran fluida

g = Percepatan gravitasi

h = Tinggi tabung alir/pipa dari permukaan tanah

Ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan Bernoulli di atas bisa mengacu pada dua titik di mana saja sepanjang tabung aliran sehingga kita bisa menulis kembali persamaan di atas menjadi :

Persamaan ini menyatakan bahwa jumlah total antara besaran‐besaran dalam persamaan mempunyai nilai yang sama sepanjang tabung alir.

Sekarang mari kita tinjau persamaan Bernoulli untuk beberapa kasus.

Persamaan Bernoulli pada Fluida Diam

Kasus khusus dari persamaan Bernoulli adalah untuk fluida yang diam (fluida statis). Ketika fluida diam, fluida tidak punya kecepatan. Dengan demikian v₁ = v₂ = 0. Pada kasus fluida diam, persamaan Bernouli bisa kita rumuskan menjadi :

Jika h₂ ‐ h₁ = h, maka persamaan ini bisa ditulis menjadi :

p₁ − p₂ = ρ g (h₂ − h₁)

p₁ − p₂ = ρ g h

Persamaan Bernoulli pada Tabung Alir atau Pipa yang ketinggiannya sama

Jika ketinggian tabung alir atau pipa sama, maka persamaan Bernoulli diubah menjadi :