कार्य-ऊर्जा तत्व, असंरक्षक बल, घर्षणासह उतरत्या पृष्ठभागावरील गती – समस्या आणि उपाय

२ कार्य-ऊर्जा तत्व, असंरक्षक बल, घर्षणासह कलत्या पृष्ठभागावरील गती – समस्या आणि उपाय

१. एक ठोकळा घर्षणासह एका उतरत्या पृष्ठभागावरून खाली घसरतो . जेव्हा तो ठोकळा जमिनीवर आदळतो, तेव्हा त्याचा वेग किती असेल? गतिज घर्षण गुणांक ०.४ आहे. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² ^आहे.

ज्ञात :

सुरुवातीची उंची (h_o) = ५० मी

अंतिम उंची (h _t ) = 0 मी

सुरुवातीचा वेग (v _o ) = 0 (ब्लॉक सुरुवातीला स्थिर आहे)

गतिज घर्षण गुणांक (μ _k ) = 0.4

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

cos θ = adj/hyp = 8/10

वजनाचा उभा घटक = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10)(8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

सामान्य बल = N = w _y = 8 m

गतिज घर्षण बल = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

अपेक्षित : अंतिम वेग (v _t )

उपाय:

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा तत्वानुसार, एखाद्या वस्तूवर कार्य करणाऱ्या असंरक्षक बलांनी केलेले कार्य हे गतिज आणि स्थितिज ऊर्जांमधील एकूण बदलाच्या समान असते.

W_nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = असंरक्षक बलाने केलेले कार्य, Δ EM = यांत्रिक उर्जेतील बदल , Δ EK = गतिज उर्जेतील बदल, Δ EP = स्थितिज उर्जेतील बदल.

गतिज उर्जेतील बदल :

ΔEK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

स्थितिज ऊर्जेतील बदल :

ΔEP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

गतिज घर्षण बलाने केलेले कार्य :

W _nc = – f _k s = – (3.2 m)(10) = – 32 m

ऋण चिन्ह हे दर्शवते की गतिज घर्षण बलाने ठोकळ्यावर केलेले कार्य ऋण आहे.

अंतिम वेग (v _t ) निश्चित करा :

W _nc = ΔEK + ΔEP

– 32 मी = 1/2 mv _t ² – 60 मी

– 32 m = m (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

२८ = १/२ v _t ^२

2 (28) = v _t ²

५६ = v _t ^२

v _t = √4.14

v _t = 2√14 ms ^-1

2.

एक ठोकळा घर्षणासह एका उतरत्या पृष्ठभागावरून खाली घसरतो. जमिनीवर आदळताना ठोकळ्याचा अंतिम वेग 10 m/s² आहे ^. जर घर्षण बल 2 N आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/s² असेल ^, तर उंची h किती आहे?

ज्ञात :

ठोकळ्याचे वस्तुमान (m) = ८ किलो

सुरुवातीचा वेग (v _o ) = 0 (ब्लॉक सुरुवातीला स्थिर आहे)

अंतिम वेग (v _t ) = 10 ms ^-1

सुरुवातीची उंची (h _o ) = h

अंतिम उंची (h _t ) = 0

गतिज घर्षण बल (f _k ) = 2 N

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

हवी आहे : उंची (हिऱ्यांमध्ये)

उपाय:

हे कार्य गतिज घर्षण बलाद्वारे केले जाते:

W _nc = – f _k d = – (2)(15) = – 30

ऋण चिन्ह हे दर्शवते की गतिज घर्षण बलाने ठोकळ्यावर केलेले कार्य ऋण आहे.

गतिज ऊर्जेतील बदल:

ΔEK = 1/2 मी (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (1)(10 ² – 0) = 1/2 (10 ² ) = 1/2 (100) = 50

स्थितिज ऊर्जेतील बदल:

ΔEP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा तत्वाचे समीकरण:

W _nc = ΔEK + ΔEP

– ३० = ५० – १० तास

१० तास = ५० + ३०

३.१.१ तास = ०

h = ८०/१०

h = ३० मीटर

1. कार्य-ऊर्जा तत्व म्हणजे काय?
   • उत्तर: कार्य-ऊर्जा तत्वानुसार, एखाद्या वस्तूवर केलेले कार्य हे तिच्या गतिज ऊर्जेतील बदलाच्या समान असते. गणितीयदृष्ट्या, $W=\Delta KE$, जेथे $W$ काम झाले आहे का आणि $\Delta KE$ गतिज उर्जेतील बदल आहे.
2. असंरक्षक बल हे संरक्षक बलापेक्षा कसे वेगळे असते?
   • उत्तर: घर्षणासारख्या असंरक्षक बलामुळे प्रणालीमधून यांत्रिक ऊर्जेचा अपव्यय होतो, जो सामान्यतः उष्णतेच्या स्वरूपात असतो. याउलट, गुरुत्वाकर्षण किंवा स्प्रिंग बलासारखी संरक्षक बले यांत्रिक ऊर्जेचा अपव्यय करत नाहीत, उलट ती प्रणालीमध्येच स्थितिज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा यांच्यात रूपांतर करू शकतात.
3. उतरत्या पृष्ठभागावर गतिमान असलेल्या वस्तूने केलेल्या कार्यावर घर्षणाचा कसा परिणाम होतो?
   • उत्तर: घर्षण वस्तूच्या गतीच्या विरुद्ध दिशेने कार्य करते. याचा अर्थ असा की घर्षण वस्तूवर नकारात्मक कार्य करते, ज्यामुळे तिची गतिज ऊर्जा कमी होते किंवा तिला उतारावरून वर नेण्यासाठी आवश्यक असलेले बाह्य कार्य वाढते.
4. असंरक्षक बलांमुळे वस्तूच्या स्थितिज ऊर्जेत बदल का होत नाही?
   • उत्तर: स्थितिज ऊर्जा ही संवर्धक बलांशी संबंधित असते आणि तिच्यातील बदल हा केवळ सुरुवातीच्या आणि अंतिम स्थितीवर अवलंबून असतो, घेतलेल्या मार्गावर नाही. असंरक्षक बले वस्तूची गतिज ऊर्जा बदलू शकतात, परंतु त्यांच्याशी संबंधित स्थितिज ऊर्जा नसते.
5. घर्षण असलेल्या उतरत्या पृष्ठभागावरील वस्तूच्या गतीवर उतरत्या पृष्ठभागाचा कोन कसा प्रभाव टाकतो?
   • उत्तर: झुकण्याचा कोन जेवढा जास्त असतो, तेवढा सपाटीला समांतर कार्य करणारा गुरुत्वाकर्षण बलाचा घटक मोठा असतो. यामुळे वस्तूला स्थिर ठेवणे किंवा सपाटीवर वरच्या दिशेने सरकवणे अधिक कठीण होते आणि सपाटीवर खालच्या दिशेने वेग देणे सोपे जाते. घर्षण या गतीला विरोध करते, परंतु कोन वाढल्याने त्याचा प्रभाव तुलनेने कमी महत्त्वाचा होतो.
6. घर्षण असलेल्या उतरत्या पृष्ठभागावर वस्तूंचा वेग अनिश्चित काळासाठी का वाढत नाही?
   • उत्तर: घर्षणामुळे, वस्तू गतिमान होत असताना, काही गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे उष्णतेमध्ये रूपांतर होते. अखेरीस, प्रतलाला समांतर असलेले गुरुत्वाकर्षणाचे बल घर्षण बलाद्वारे संतुलित होते आणि वस्तू स्थिर वेगाने गतिमान होते किंवा थांबते.
7. असंरक्षक बलाने केलेले कार्य परत मिळवता येते का?
   • उत्तर: असंरक्षक बलांनी केलेले कार्य सामान्यतः उष्णतेसारख्या ऊर्जा प्रकारांमध्ये रूपांतरित होते, ज्यांना पुन्हा उपयुक्त यांत्रिक ऊर्जेमध्ये रूपांतरित करणे सामान्यतः अधिक आव्हानात्मक असते. बहुतेक व्यावहारिक परिस्थितींमध्ये, ही ऊर्जा प्रणालीसाठी "वाया गेलेली" मानली जाते.
8. उतरत्या पृष्ठभागावरील घर्षण बलाचे परिमाण कशावर अवलंबून असते?
   • उत्तर: कललेल्या पृष्ठभागावरील घर्षण बल हे अभिलंब बल आणि पृष्ठभागांमधील घर्षण गुणांक यांवरून ठरते. ते खालीलप्रमाणे दिले जाते: ffriction​=μ×fnormal​, जेथे $\mu$ घर्षण गुणांक आहे.
9. काही संदर्भ बिंदूंवर स्थितिज ऊर्जा शून्य का मानली जाते?
   • उत्तर: स्थितिज ऊर्जा हे एक सापेक्ष मापन आहे. स्थितिज ऊर्जा शून्य असलेला एक संदर्भ बिंदू निश्चित केल्याने, त्या संदर्भाच्या सापेक्ष विविध स्थितींमधील स्थितिज ऊर्जेतील बदलांची गणना करण्यासाठी एक सुसंगत आधार मिळतो.
10. जर घर्षण नसते, तर उतरत्या पृष्ठभागावरील वस्तूच्या गतीत काय बदल झाला असता?

• उत्तर: घर्षण नसल्यास, सपाटीच्या दिशेने वस्तूवर कार्य करणारे एकमेव बल म्हणजे उताराला समांतर असलेला गुरुत्वाकर्षणाचा घटक असेल. परिणामी, वस्तू केवळ याच बलामुळे सपाटीवरून खाली प्रवेगित होईल आणि इतर कोणतेही बाह्य बल कार्य केल्याशिवाय स्थिर वेग गाठणार नाही.