यांत्रिक ऊर्जा – समस्या आणि उपाय
1. ठोकळा आणि फरशी यांच्यातील गतिज घर्षण गुणांक (μ k ) 0.5 आहे. वस्तूचे/वस्तूंचे विस्थापन किती आहे ? गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/s 2 आहे.
ज्ञात :
गतिज घर्षण गुणांक (μ k ) = 0.5
ठोकळ्याचे वस्तुमान (m) = १ किलोग्रॅम
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) 10 m/s² आहे.
ठोकळ्याचे वजन (w) = mg = (4)(10) = 40 न्यूटन
जर ठोकळा क्षैतिज पातळीवर असेल तर अभिलंब बल (N) = वजन (w) = 40 न्यूटन.
जर ठोकळा क्षैतिज पातळीवर असेल तर अभिलंब बल (N) = वजन (w) = 40 न्यूटन.
प्रारंभिक वेग (v 1 ) = 5 m/s
अंतिम वेग (v 2 ) = 0 मी/से
अपेक्षित आहे : वस्तू (d) चे विस्थापन?
उपाय:
कार्य-यांत्रिक ऊर्जा तत्वानुसार, असंरक्षक बलाने केलेले कार्य (W) हे वस्तूच्या यांत्रिक ऊर्जेतील बदलाएवढेच असते. यांत्रिक ऊर्जेतील बदल = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा – प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा.
गतिज घर्षण बल हे असंरक्षक बलांपैकी एक आहे आणि ठोकळ्यावर कार्य करणारे ते एकमेव असंरक्षक बल आहे.
W = ΔME
f k d = ME 2 – ME 1
गतिज घर्षण बलाने केलेले कार्य:
W = f k d = (μ k )(N)(d) = (0.5)(40)(d) = 20 d
यांत्रिक उर्जेतील बदल:
ΔME = ME 2 – ME 1 = (KE + PE) 2 – (KE + PE) 1
वस्तू क्षैतिज पातळीवर सरकते आणि उंचीत कोणताही बदल होत नाही (Δh = 0), त्यामुळे गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेतही कोणताही बदल होत नाही (ΔPE = PE 2 – PE 1 = 0). अशाप्रकारे, यांत्रिक ऊर्जेतील बदलामध्ये केवळ गतिज ऊर्जेतील बदलाचा समावेश असतो.
ΔME = KE 2 – KE 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2 = ½ m (v 2 2 - v 1 2 )
Δ M E = ½ (4)(0 2 – 5 2 ) = (2)(25) = 50
ब्लॉकचे विस्थापन:
W = ΔME
२० सेकंद = ३०
s = ९०० / ६
s = ५०४ मीटर
यांत्रिक उर्जेच्या संवर्धनाचे तत्त्व
२. वस्तू A आणि वस्तू B यांचे वस्तुमान समान आहे. वस्तू A ही h मीटर उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडते आणि वस्तू B ही 2h मीटर उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडते. जर वस्तू A जमिनीवर vm/s वेगाने आदळत असेल, तर वस्तू B जमिनीवर आदळल्यावर तिची गतिज ऊर्जा किती असेल?
उपाय:
2h उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडत असताना वस्तू B चा अंतिम वेग :
v 2 = 2 g (2h) = 4 gh
वस्तू B ची गतिज ऊर्जा:
TO B = ½ mv 2 = ½ m (4 gh) = 2 mgh —– समीकरण १
वस्तू B ची सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा = mg h.
वस्तू B ची अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा = ½ mv².
यांत्रिक उर्जेच्या संवर्धनाचे तत्व:
mgh = ½ mv 2
कारण mgh = ½ mv 2 म्हणून आपण समीकरण 1 मध्ये mgh ऐवजी ½ mv 2 ठेवू शकतो.
वस्तू B ची गतिज ऊर्जा = 2 mgh = 2(½ mv 2 ) = mv 2
३. एक वस्तू २० मीटर उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडते. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² आहे. जमिनीपासून १५ मीटर उंचीवर वस्तूचा वेग किती असेल?
उपाय:
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
बिंदू 2 वरील गतिज ऊर्जा = 5 मीटर अंतरापर्यंतच्या गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेतील बदल.
४. एका गुळगुळीत उतरत्या सपाटीच्या वरच्या टोकावरून एक ठोकळा सोडला जातो. तो जमिनीवर आदळेल तेव्हा त्याचा वेग किती असेल?
उपाय:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा = mgh = m (10)(5) = 50 मीटर
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा = 1/2 mv²
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या तत्त्वानुसार, प्रारंभिक यांत्रिक उर्जा = अंतिम यांत्रिक उर्जा असते.
ME o = ME t
५० मी = १/२ मीव्ही २
५० = १/२ व्ही २
2 (50) = v 2
१०० = व्ही २
v = 10 मी/से
5.
खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, m-किलो वस्तुमानाचा एक ठोकळा जमिनीपासून h मीटर उंचीवरून सोडला जातो. M बिंदूपाशी स्थितिज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा (KE) यांचे गुणोत्तर निश्चित करा.
उपाय:
M बिंदूवरील गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा:
PE M = mg (0.3 h)
बिंदू m वरील गतिज ऊर्जा = h-0.3h = 0.7 h इतक्या अंतरापर्यंत गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जेतील बदल
KE M = PE = mg (0.7 h)
M बिंदूवरील गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा यांचे गुणोत्तर:
पीई एम : केई एम
मिग्रॅ (०.३ तास) : मिग्रॅ (०.७ तास)
0.3: 0.7
3: 7
६. जर बिंदू Q वर PE Q आणि KE Q यांची स्थितिज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा (g = 10 m/s²) असेल , तर PE Q : KE Q =…
उपाय:
बिंदू Q वरील गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा:
PE Q = mgh = (m)(10)(1.8) = १८ मीटर
बिंदू Q वरील गतिज ऊर्जा = 5-1.8 = 3.2 मीटर अंतरापर्यंतच्या गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेतील बदल
TO Q = PE = mgh = m (10)(3.2) = 32 m
Q बिंदूवरील गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा यांचे गुणोत्तर :
पीई क्यू : केई क्यू
१८ मी : ३२ मी
18: 32
9: 16
- यांत्रिक ऊर्जा म्हणजे काय? उत्तरयांत्रिक ऊर्जा ही एखाद्या प्रणालीतील स्थितिज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा यांची बेरीज असते. ती एखाद्या वस्तूच्या गती आणि स्थितीशी संबंधित ऊर्जेचे एकूण प्रमाण दर्शवते.
- गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जेपेक्षा कशी वेगळी आहे? उत्तरगतिज ऊर्जा म्हणजे गतीची ऊर्जा, तर स्थितिज ऊर्जा म्हणजे वस्तूच्या स्थितीमुळे किंवा संरचनेमुळे साठवलेली ऊर्जा. उदाहरणार्थ, गतिमान गाडीमध्ये गतिज ऊर्जा असते, तर ताणलेल्या स्प्रिंगमध्ये किंवा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात उंचीवर असलेल्या वस्तूमध्ये स्थितिज ऊर्जा असते.
- यांत्रिक ऊर्जा नेहमीच अक्षय असते का? उत्तरबाह्य बलांशिवाय असलेल्या एका आदर्श, बंद प्रणालीमध्ये यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित राहते. तथापि, वास्तविक परिस्थितीत, घर्षण किंवा इतर असंरक्षक बलांमुळे औष्णिक किंवा ध्वनी ऊर्जेसारख्या ऊर्जेचे इतर प्रकार कार्यरत होऊ शकतात, ज्यामुळे एकूण यांत्रिक ऊर्जेत घट होते.
- यांत्रिक उर्जेचे संवर्धन समस्या सोडवण्यासाठी कसे मदत करते? उत्तरजेव्हा एखाद्या प्रणालीमध्ये यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित असते (घर्षणासारखी असंरक्षक बले नसतात), तेव्हा सुरुवातीची एकूण ऊर्जा ही शेवटी असलेल्या एकूण ऊर्जेइतकीच असते. हे तत्त्व आपल्याला वेगवेगळ्या वेळी स्थितिज आणि गतिज ऊर्जा यांच्यात संबंध जोडण्यास मदत करते, ज्यामुळे समस्या सोडवण्याची प्रक्रिया सोपी होते.
- जेव्हा एखादा चेंडू वर फेकला जातो आणि खाली येण्यापूर्वी क्षणभर थांबतो, तेव्हा त्याच्या यांत्रिक ऊर्जेचे काय होते? उत्तरचेंडू वर जातो तेव्हा त्याची गतिज ऊर्जा कमी होते आणि स्थितिज ऊर्जा वाढते. सर्वोच्च बिंदूवर, त्याची सर्व यांत्रिक ऊर्जा ही स्थितिज ऊर्जा असते. तो खाली येतो तेव्हा ही प्रक्रिया उलट होते. हवेचा रोध नसलेल्या आदर्श परिस्थितीत, चेंडूची एकूण यांत्रिक ऊर्जा त्याच्या संपूर्ण प्रवासात स्थिर राहते.
- एखाद्या वस्तूमध्ये एकाच वेळी गतिज आणि स्थितिज ऊर्जा दोन्ही असू शकतात का? उत्तरहोय, एखादी वस्तू एकाच वेळी दोन्ही प्रकारची ऊर्जा धारण करू शकते. उदाहरणार्थ, दोलकाच्या दोलनाच्या मध्यबिंदूवर, त्याच्या गतीमुळे गतिज ऊर्जा आणि त्याच्या सर्वात खालच्या बिंदूपासूनच्या उंचीमुळे स्थितिज ऊर्जा असते.
- रोलर कोस्टर यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनाचा नियम कसा दाखवतो? उत्तररोलर कोस्टर त्याच्या सर्वोच्च बिंदूवर स्थितिज ऊर्जेने सुरू होतो. तो खाली उतरत असताना, या स्थितिज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेत रूपांतर होते, ज्यामुळे कोस्टरचा वेग वाढतो. तो पुन्हा वर चढत असताना, गतिज ऊर्जा कमी होते तर स्थितिज ऊर्जा वाढते. घर्षण आणि हवेचा रोध दुर्लक्षित केल्यास, एकूण यांत्रिक ऊर्जा जवळजवळ स्थिर राहते.
- वास्तविक प्रणालींमध्ये कोणत्या घटकांमुळे यांत्रिक ऊर्जेचा ऱ्हास होऊ शकतो? उत्तरघर्षण, हवेचा रोध आणि ध्वनी निर्मिती हे काही घटक आहेत ज्यामुळे वास्तविक प्रणालींमध्ये ऊर्जेचा ऱ्हास होऊ शकतो. ऊर्जा अक्षय्यतेच्या नियमानुसार ऊर्जा नष्ट होत नाही, परंतु उष्णता किंवा ध्वनी यांसारख्या इतर स्वरूपांमध्ये रूपांतरित होते.
- कार्य आणि यांत्रिक ऊर्जा यांच्यात काय संबंध आहे? उत्तरबाह्य बलांद्वारे एखाद्या प्रणालीवर केलेल्या कार्यामुळे त्या प्रणालीच्या यांत्रिक उर्जेत बदल होऊ शकतो. गणितीय भाषेत सांगायचे झाल्यास, कार्य हे यांत्रिक उर्जेतील बदलाच्या समान असते.
-
जर गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा एखाद्या संदर्भ बिंदूच्या सापेक्ष असेल, तर आपण त्यातील बदल सातत्याने कसे मोजू शकतो? उत्तर : जरी गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे निरपेक्ष मूल्य संदर्भ बिंदूच्या निवडीवर अवलंबून असले तरी, स्थितीज ऊर्जेतील बदल (जसे की एखादी वस्तू वर उचलली किंवा खाली केली जाते) संदर्भ बिंदू कोणताही असला तरी सुसंगत असतात. त्यामुळे, आपण अनेकदा निरपेक्ष मूल्यांऐवजी स्थितीज ऊर्जेतील बदलांवर लक्ष केंद्रित करतो.
