Бүлгийн өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлт
Статистик бол өгөгдлийг цуглуулах, зохион байгуулах, шинжлэх, тайлбарлах, танилцуулахад ашигладаг математикийн салбар юм. Статистикийн нэг чухал ойлголт бол хувьсах чанар буюу өгөгдлийн тархалтыг хэмжих явдал юм. Хувьсах чанарын хоёр үндсэн хэмжүүр нь дисперс ба стандарт хазайлт юм. Энэ нийтлэлд дисперс ба стандарт хазайлтыг, ялангуяа бүлгийн өгөгдлийн хүрээнд гүнзгийрүүлэн судлах болно.
Хувьсах чанарын тодорхойлолт ба ач холбогдол
Хувьсах чанар нь өгөгдөл нь дундаж утгаас хэр хол тархаж байгааг хэмждэг. Хувьсах чанарыг хэмжих нь чухал бөгөөд учир нь энэ нь зөвхөн дундаж гэх мэт төвийн чиг хандлагын хэмжүүрээс олж авах боломжгүй нэмэлт ойлголтыг өгдөг. Хувьсах чанарын хэмжүүрийг мэдсэнээр бид өгөгдөл хэр тогтвортой байгааг ойлгож, болзошгүй гажуудал эсвэл гажигийг тодорхойлж чадна.
Дисперс ба стандарт хазайлтыг ойлгох нь
Дисперс гэдэг нь өгөгдлийн цэг бүр квадрат нэгжээр илэрхийлсэн дундаж утгаасаа хэр хол байгааг харуулсан өгөгдлийн тархалтын хэмжүүр юм. Үүнийг популяцийн хувьд \( \sigma^2 \) тэмдэг, түүврийн хувьд \( s^2 \) тэмдэгээр илэрхийлнэ. Популяцийн өгөгдлийн дисперсийн томъёо нь:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum (X_i – \mu)^2}{N} \]
Дээжийн хувьд томъёо нь дараах байдалтай байна.
\[ s^2 = \frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n-1} \]
Хаана:
– \( X_i \) нь өгөгдлийн бие даасан утга юм
– \( \mu \) нь хүн амын дундаж утга юм
– \( \bar{X} \) нь түүврийн дундаж юм
– \( N \) нь хүн амын тоо юм
– \(n \) нь түүврийн хэмжээ юм
Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм. Үүнийг популяцийн хувьд \(\sigma\) тэмдэг, түүврийн хувьд \(s\) тэмдэгээр өгдөг. Стандарт хазайлт нь өгөгдлийн нэгжийг анхны хэлбэрт нь буцаадаг тул дисперсээс илүү тайлбарлахад хялбар болгодог.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
\[ s = \sqrt{s^2} \]
Бүлгийн өгөгдөл
Бүлэглэсэн өгөгдөл гэдэг нь хэд хэдэн ангилал эсвэл интервалд ангилагдсан өгөгдөл юм. Жишээлбэл, сурагчдын өндрийг 150-155 см, 155-160 см гэх мэт интервалд хуваадаг. Бүлэглэсэн өгөгдөл дээрх дисперс ба стандарт хазайлтыг шинжлэх нь бие даасан өгөгдлийг шинжлэхээс арай өөр арга барил шаарддаг.
Бүлгийн өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох алхамууд
Бүлгийн өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох алхмууд дараах байдалтай байна.
1. Давтамжийн тархалтын хүснэгт үүсгэх
– Өгөгдлийг хэд хэдэн ангилал эсвэл интервалд хуваадаг.
– Интервал бүрийн давтамжийг (интервал бүрийн өгөгдлийн тоо) бүртгэнэ.
2. Ангийн дунд цэгийг тодорхойлох
– Интервал бүрийн дунд цэгийг дараах байдлаар тооцоолно: \( \text{Midpoint} = \frac{\text{Lower Bound} + \text{Upper Bound}}{2} \)
3. Түр зуурын дундажийг тооцоолох (\( \bar{X} \))
– Дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно: \( \bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
– Энд \( f_i \) нь давтамж, \( x_i \) нь интервалын дунд цэг юм.
4. Дундаж утга болон түүний квадратаас хазайлтыг тооцоолох
– Интервал бүрийн хувьд дундажаас хазайлтыг дараах байдлаар тооцоолно: \( d_i = x_i – \bar{X} \)
– Дараа нь квадратыг тооцоол: \( d_i^2 \)
5. Дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох нь
– Дисперсийг дараах томъёогоор тооцоолно: \( s^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i – 1} \)
– Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм: \( s = \sqrt{s^2} \)
Тооцооллын жишээ
Сурагчийн өндрийн өгөгдлийг дараах байдлаар бүлэглэсэн гэж үзье.
| Интервал (см) | Давтамж (f) |
|—————|—————|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 10 |
| 160 – 164 | 15 |
| 165 – 169 | 8 |
| 170 – 174 | 2 |
1. Давтамжийн тархалтын хүснэгт:
| Интервал (см) | Давтамж (f) | Дунд цэг (x) | \( f \cdot x \) | \( d = x – \bar{X} \) | \( d^2 \) | \( f \cdot d^2 \) |
|——————|———————|———————|———————–|——————–|——————–|——————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | | | |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | | | |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | | | |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | | | |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | | | |
| Нийт | 40 | | 6440 | | | |
2. Дундаж утгыг тооцоолох (\( \bar{X} \)):
\[ \bar{X} = \frac{6440}{40} = 161 \]
3. Дундаж утга болон түүний квадратаас хазайлтыг тооцоолох нь:
| Интервал (см) | Давтамж (f) | Дунд цэг (x) | \( f \cdot x \) | \( d = x – 161 \) | \( d^2 \) | \( f \cdot d^2 \) |
|——————|———————|———————|———————–|———————-|——————-|——————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | -9 | 81 | 405 |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | -4 | 16 | 160 |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | 1 | 1 | 15 |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | 6 | 36 | 288 |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | 11 | 121 | 242 |
| Нийт | 40 | | 6440 | | | 1110 |
4. Дисперсийг тооцоолох нь:
\[ s^2 = \frac{1110}{40 – 1} = \frac{1110}{39} \ойролцоогоор 28.46 \]
5. Стандарт хазайлтыг тооцоолох нь:
\[ s = \sqrt{28.46} \ойролцоогоор 5.33 \]
Дүгнэлт
Дисперс ба стандарт хазайлт нь статистикийн хувьд өгөгдлийн дундаж утгын дагуу тархалтыг тодорхойлдог чухал хэмжүүрүүд юм. Эдгээр ойлголтуудыг бие даасан өгөгдөлд хэрэглэж болох боловч бүлэглэсэн өгөгдлийн хувьд тооцооллын үйл явц нь арай өөр байдаг. Дээрх жишээнээс бид бүлэглэсэн өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох дэлгэрэнгүй алхмуудыг харж болно. Энэхүү мэдээлэл нь эрдэм шинжилгээний судалгаанаас эхлээд бизнесийн болон үйлдвэрлэлийн шинжилгээ хүртэл янз бүрийн хэрэглээнд хэрэгтэй.
Дисперс ба стандарт хазайлтын талаар сайн ойлголттой бол бид өөрт байгаа өгөгдөлд үндэслэн илүү нарийвчлалтай тайлбарлаж, шийдвэр гаргаж чадна. Энэ нь зөвхөн үнэн зөв төдийгүй хамааралтай үр дүнг хадгалах боломжийг бидэнд олгодог.
