Өгөгдлийн багц дахь дундаж эсвэл дундаж утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ
Дундаж нь математик, статистик болон өдөр тутмын амьдралд төвлөрсөн хандлагын хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэмжүүрүүдийн нэг юм. Хэн нэгэн "ангийн дундаж дүн" эсвэл "сарын дундаж зардал" гэж хэлэхдээ тэд үнэндээ дундажийг хэлж байна. Энэхүү ойлголт нь олон утгыг нэг төлөөллийн тоонд нэгтгэснээр өгөгдлийн багцын ерөнхий дүр зургийг ойлгоход бидэнд тусалдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь энгийн сонсогдож болох ч дундажийг тодорхойлох нь нарийн алхмуудыг шаарддаг, ялангуяа өгөгдөл нь дан өгөгдөл, давтамжийн өгөгдөл эсвэл бүлэглэсэн өгөгдөл гэх мэт өөр өөр форматтай үед. Энэ нийтлэлд өгөгдлийн багц дахь дундажийг хэрхэн тодорхой тодорхойлохыг ойлгоход хялбар болгох жишээнүүдээр тайлбарласан болно.
Дундаж утгыг ойлгох (дундаж)
Дундаж гэдэг нь бүх өгөгдлийг нэмээд өгөгдлийн цэгүүдийн тоонд хувааснаар гаргаж авсан утга юм. Дундаж утгыг тооцоолоход хялбар бөгөөд өгөгдлийн багцын ерөнхий чиг хандлагыг илэрхийлж чаддаг тул ихэвчлэн ашигладаг. Математикийн тэмдэглэгээнд дундаж утгыг ихэвчлэн \(\bar{x}\) тэмдэгтээр ("x bar" гэж дууддаг) бичдэг.
Ганц өгөгдлийн дундажийн ерөнхий томъёо нь:
\[
\bar{x} = \frac{\sum x}{n}
\]
Мэдээлэл:
– \(\sum x\) = бүх өгөгдлийн утгуудын нийлбэр
– \(n\) = өгөгдлийн хэмжээ
Өөрөөр хэлбэл, дундаж нь "нийт утга"-г "утгын тоо"-д хуваасантай тэнцүү байна.
1. Ганц өгөгдлийн дундажийг тодорхойлох
Дан өгөгдөл гэдэг нь давтамжийн хүснэгтэд бүлэглээгүй, байгаагаар нь бичигдсэн утгуудын цуглуулга юм . Дан өгөгдлийн дундажийг тооцоолох нь маш энгийн.
Жишээ:
Таван сурагчийн математикийн шалгалтын оноо: 70, 80, 75, 85, 90 байв.
Дундаж утгыг тооцоол-түүний.
Алхам:
1. Бүх утгыг нэмнэ үү:
70 + 80 + 75 + 85 + 90 = 400
2. Их хэмжээний өгөгдлийг тоол:
n = 5
3. Өгөгдлийн тоог өгөгдлийн тоонд хуваана уу:
\(\bar{x} = 400 / 5 = 80\)
Тиймээс дундаж утга нь 80 байна.
Чухал зөвлөмжүүд:
- Бүх өгөгдлийг зөв оруулсан эсэхийг шалгаарай.
– Ялангуяа өгөгдөл нэлээд их байвал өгөгдлийн хэмжээг сайтар тооцоолохоо бүү мартаарай.
2. Давтамжийн өгөгдлийн дундаж утгыг тодорхойлох
Заримдаа өгөгдлийг тус тусад нь биш, харин утга болон түүний давтамж (утга хэдэн удаа гарч ирдэг) хэлбэрээр харуулдаг. Үүнийг давтамжийн өгөгдөл гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд бид утгуудыг тус тусад нь нэмэхгүй, харин утгыг давтамжаар үржүүлнэ.
Байнга өгөгдлийн дундаж томъёо:
\[
\bar{x} = \frac{\sum(x \cdot f)}{\sum f}
\]
Мэдээлэл:
– \(x\) = өгөгдлийн утга
– \(f\) = утгын тохиолдох давтамж
– \(\sum (x \cdot f)\) = утга болон давтамжийг үржүүлсний үр дүнгийн нийлбэр
– \(\sum f\) = нийт давтамж (нийт өгөгдлийн тоо)
Жишээ:
Утга ба давтамжийн хүснэгт:
| Утга (x) | Давтамж (f) |
|———-:|————–:|
| 60 | 2 |
| 70 | 3 |
| 80 | 4 |
| 90 | 1 |
Дундаж утгыг тооцоол.
Алхам:
1. Мөр бүрийн хувьд \(x \cdot f\)-г тооцоолно уу:
– 60 × 2 = 120
– 70 × 3 = 210
– 80 × 4 = 320
– 90 × 1 = 90
2. Үр дүнг нэм:
\(\нийлбэр (x \cdot f) = 120 + 210 + 320 + 90 = 740\)
3. Бүх давтамжийг нэмнэ үү:
\(\нийлбэр f = 2 + 3 + 4 + 1 = 10\)
4. Хуваалцах:
\(\bar{x} = 740 / 10 = 74\)
Тиймээс өгөгдлийн дундаж нь 74 байна.
3. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дундаж утгыг тодорхойлох (Ангийн интервал)
Их хэмжээний өгөгдлийн хувьд үүнийг ихэвчлэн 50–59, 60–69 гэх мэт ангиллын интервалд хуваадаг . Үүнийг бүлэглэсэн өгөгдөл гэж нэрлэдэг. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дундажийг тооцоолохын тулд бид анги бүрийн дунд цэгийг (төвийн утга) төлөөллийн өгөгдлийн багц болгон ашигладаг.
Бүлэглэсэн өгөгдлийн дундажийн томъёо:
\[
\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}
\]
Мэдээлэл:
– \(x_i\) = классын дунд цэг
– \(f_i\) = ангийн давтамж
Дунд цэгийг хэрхэн олох вэ:
\[
x_i = \frac{\text{доод хязгаар} + \text{дээд хязгаар}}{2}
\]
Жишээ:
Бүлэглэсэн өгөгдлийн хүснэгт:
| Интервал | Давтамж (f) |
|———:|————–:|
| 50–59 | 4 |
| 60–69 | 6 |
| 70–79 | 8 |
| 80–89 | 2 |
Алхам:
1. Интервал бүрийн дунд цэгийг тодорхойлно уу:
– 50–59 → \((50+59)/2 = 54,5\)
– 60–69 → \((60+69)/2 = 64,5\)
– 70–79 → \((70+79)/2 = 74,5\)
– 80–89 → \((80+89)/2 = 84,5\)
2. Дунд цэгийг давтамжаар үржүүлнэ үү:
– 54,5 × 4 = 218
– 64,5 × 6 = 387
– 74,5 × 8 = 596
– 84,5 × 2 = 169
3. Бүгдийг нь нэм:
\(\нийлбэр (x_i f_i) = 218 + 387 + 596 + 169 = 1370\)
4. Давтамжуудыг нэмнэ үү:
\(\нийлбэр f = 4 + 6 + 8 + 2 = 20\)
5. Дундаж утгыг тооцоол:
\(\bar{x} = 1370 / 20 = 68,5\)
Тиймээс бүлэглэсэн өгөгдлийн дундаж нь 68,5 байна.
4. Дундаж утгыг тооцоолохдоо анхаарах зүйлс
Дундаж томъёо нь хялбар мэт санагдаж байгаа ч тооцооллын үр дүнг зөв байлгахын тулд хэд хэдэн чухал зүйл байдаг:
1. Дундаж утга нь хэт туйлын утгуудад мэдрэмтгий байдаг
Хэрэв маш том эсвэл маш бага утга (гадагш чиглэсэн утга) байвал дундаж нь эрс өөрчлөгдөж болно. Жишээлбэл, нэг хүн маш өндөр орлоготой бол дундаж орлого огцом өснө.
2. Өгөгдлийн төрөл зөв эсэхийг шалгана уу
Дундаж утга нь тоон өгөгдөлд (тоо) тохиромжтой. "Дуртай өнгө" эсвэл "тээврийн хэрэгслийн төрөл" гэх мэт ангиллын өгөгдөлд дундаж утгыг ашиглах боломжгүй.
3. Шаардлагатай бол бөөрөнхийлөл ашиглана уу
Бүлэглэсэн өгөгдөлд дундаж нь ихэвчлэн аравтын бутархай байдаг. Шаардлагатай бол дундажийг хоёр аравтын бутархай болгон бөөрөнхийлөнө үү.
4. Нийт давтамжийг дахин шалгана уу
Давтамж эсвэл бүлэглэсэн өгөгдөлд давтамжийг буруу нэмэх нь нийтлэг алдаа бөгөөд үүний үр дүнд буруу хуваагч үүсдэг.
5. Өдөр тутмын амьдралд дундаж утгыг хэрэглэх нь
Дундаж утгыг зөвхөн математикийн хичээлд төдийгүй янз бүрийн салбарт ашигладаг:
– Боловсрол: сурагчдын дундаж шалгалтын оноог тодорхойлно.
– Эдийн засаг: дундаж орлого, бараа бүтээгдэхүүний дундаж үнийг тооцоолох.
– Эрүүл мэнд: цусны дундаж даралт, илчлэгийн дундаж хэрэглээ.
– Спорт: тоглолт бүрийн дундаж оноо.
– Бизнес: өдөр тутмын эсвэл сарын дундаж борлуулалт.
Дундаж утгыг ойлгосноор бид өгөгдөлд үндэслэн илүү оновчтой, хэмжигдэхүйц байдлаар шийдвэр гаргаж чадна.
Дүгнэлт
Өгөгдлийн багцын дундаж буюу дундажийг тодорхойлох ажлыг өгөгдлийн төрлөөс хамааран хэд хэдэн аргаар хийж болно. Ганц өгөгдлийн багцын хувьд дундажийг өгөгдлийн багцын тоог өгөгдлийн багцын тоонд хувааж гаргана. Давтамжийн өгөгдлийн багцын хувьд тэдгээрийн давтамжаар үржүүлсэн утгуудын нийлбэрийг нийт давтамжид хуваана. Бүлэглэсэн өгөгдлийн багцын хувьд дундажийг ангиллын интервал бүрийн дунд цэгийг төлөөлөх өгөгдлийн багц болгон ашиглан тооцоолно. Зөв бөгөөд нарийн алхмуудыг дагаж мөрдвөл дундаж нь янз бүрийн нөхцөл байдалд өгөгдлийг ойлгох, шинжлэхэд маш хэрэгтэй хэрэгсэл болж чадна.
Хэрэв та хүсвэл би энэ нийтлэлийн илүү "блог маягийн" (илүү тайван) хувилбарыг хийж болно, эсвэл ойлгоход хялбар болгохын тулд дадлагын асуулт, хариулт нэмж болно.
