Стандарт хазайлтыг ашиглан өгөгдлийн тархалтын шинжилгээ
Статистикийн хувьд өгөгдлийн багцын "төв"-ийг ойлгох нь хангалтгүй. Хоёр багц өгөгдлийн дундаж ижил байж болох ч тэдгээрийн шинж чанарууд нь тархалтын зэргээс шалтгаалан мэдэгдэхүйц ялгаатай байдаг. Энэ бол өгөгдлийн тархалтын тухай ойлголт чухал ач холбогдолтой болдог газар юм. Боловсрол, эдийн засгаас эхлээд эрүүл мэнд, өгөгдлийн шинжлэх ухаан хүртэл янз бүрийн салбарт тархалтын хамгийн алдартай, бат бөх, байнга ашиглагддаг хэмжүүрүүдийн нэг бол стандарт хазайлт юм. Энэ нийтлэлд өгөгдлийн тархалт нь түүний төвийн утгаас хэрхэн хамаарч байгааг шинжлэхийн тулд стандарт хазайлтын тухай ойлголт, тооцоолол, тайлбар, хэрэглээг авч үзэх болно.
1. Өгөгдлийн тархалтыг яагаад шинжлэх шаардлагатай вэ?
Математикийн шалгалтын дундаж оноо 80 байсан хоёр ангийг төсөөлөөд үз дээ. А ангид бараг бүх сурагчид 78-82 оноо авсан. Б ангид зарим сурагчид 50, зарим нь 100 оноо авсан. Дундаж үзүүлэлтүүд ижил боловч хоёр ангийн нөхцөл байдал эрс өөр байна. А анги тогтвортой гүйцэтгэлтэй байдаг бол Б анги мэдэгдэхүйц ялгаатай байна.
Тархалтыг шинжилснээр бид дараахь зүйлийг хийж чадна.
– Үзэгдлийн тогтвортой байдал эсвэл хувьсах чанарыг үнэлэх.
– Эрсдэлийг хэмжих (жишээ нь хөрөнгө оруулалтын өгөөжийн хэлбэлзэл).
– Үйл явцын тогтвортой байдлыг харьцуулах (жишээ нь үйлдвэрлэлийн чанар).
– Болзошгүй гажиг эсвэл хэт их өгөгдлийг илрүүлэх.
Стандарт хазайлт нь энэ зорилгын гол хэрэгсэл юм, учир нь энэ нь өгөгдөл дунджаас хэр хол тархсаныг хэмждэг.
2. Стандарт хазайлтын тодорхойлолт
Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм. Дисперс нь өгөгдөл болон дундажийн зөрүүний квадратуудын дундажийг хэмждэг бол стандарт хазайлт нь хэмжилтийн нэгжийг анхны хэмжээнд нь буцаадаг (жишээлбэл, тестийн оноо, килограмм, рупи гэх мэт). Энэ нь стандарт хазайлтыг тайлбарлахад хялбар болгодог.
Зөн совингоороо:
– Бага стандарт хазайлт → цуглуулсан өгөгдөл нь дундажтай ойролцоо (илүү жигд).
– Стандарт хазайлт өндөр → өгөгдөл нь дундаж утгаас хол тархсан (илүү олон янз).
3. Стандарт хазайлтын томъёо: Хүн ам ба түүвэр
Статистикийн хувьд бид популяци болон түүврийн стандарт хазайлтыг тооцоолохыг ялгаж үздэг.
a) Хүн амын стандарт хазайлт (σ)
Хэрэв шинжилж буй өгөгдөл нь хүн амын бүх гишүүд бол томъёо нь дараах байдалтай байна.
\[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \mu)^2}{N}}
\]
Мэдээлэл:
– \(x_i\) = i-р өгөгдлийн утга
– \(\mu\) = хүн амын дундаж
– \(N\) = хүн амын өгөгдлийн тоо
б) Түүврийн стандарт хазайлт(ууд)
Хэрэв шинжилж буй өгөгдөл нь популяцийн (түүвэр) зөвхөн нэг хэсэг бол томъёо нь дараах байдалтай байна.
\[
s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n-1}}
\]
Мэдээлэл:
– \(\bar{x}\) = түүврийн дундаж
– \(n\) = түүврийн өгөгдлийн тоо
– \(n-1\)-г чөлөөний зэрэг (Бесселийн залруулга) гэж нэрлэдэг бөгөөд дисперс/стандарт хазайлтын тооцооллыг шударга байлгахын тулд ашигладаг.
Өдөр тутмын практикт бидний өгөгдөл нь ихэвчлэн дээж хэлбэрээр байдаг тул \(n-1\) томъёог маш түгээмэл ашигладаг.
4. Стандарт хазайлтыг тооцоолох алхамууд
Үйл явцыг ойлгохын тулд түүврийн стандарт хазайлтыг тооцоолох ерөнхий алхмуудыг энд оруулав.
1. Дундаж утгыг (\(\bar{x}\)) тооцоол.
2. Өгөгдөл бүр болон дундаж утгын зөрүүг (\(x_i – \bar{x}\)) тооцоол.
3. Ялгааг квадрат болго. \((x_i – \bar{x})^2\).
4. Бүх квадратуудыг нэм.
5. Түүврийн дисперсийг олохын тулд \(n-1\)-д хуваана уу.
6. Стандарт хазайлт(ууд)-ыг авахын тулд үр дүнг квадрат язгуур гарга.
Энгийн жишээ
Өгөгдлийн утгууд нь: 70, 75, 80, 85, 90 (n = 5) гэж үзье.
– Дундаж: \(\bar{x} = (70+75+80+85+90)/5 = 80\)
– Ялгаа: -10, -5, 0, 5, 10
– Квадратын зөрүү: 100, 25, 0, 25, 100
– Квадратуудын тоо: 250
– Түүврийн дисперс: \(250/(5-1)=62,5\)
– Стандарт хазайлт: \(s=\sqrt{62,5}\approx 7,91\)
Энгийн тайлбар: утгууд нь 80-ийн дунджаас дунджаар 7,91 пунктээр хазайсан байна.
5. Өгөгдлийн шинжилгээнд стандарт хазайлтын тайлбар
Стандарт хазайлт нь дангаараа байдаггүй; түүний утга нь нөхцөл байдлаас хамаарна. Гэсэн хэдий ч зарим ерөнхий удирдамж тустай байж болно:
– Хэрэв стандарт хазайлт 0-тэй ойролцоо байвал өгөгдөл нь дундаж утгын орчимд маш их төвлөрсөн байна.
– Хэрэв стандарт хазайлт их байвал өгөгдөл нь илүү хувьсах шинж чанартай бөгөөд энэ нь жигд бус байдлыг илтгэнэ.
Стандарт хазайлтыг мөн дараах зорилгоор ихэвчлэн ашигладаг:
– Хоёр бүлгийг харьцуулах: жишээлбэл, дундаж нь ижил боловч стандарт хазайлт нь өөр өөр хоёр анги.
– Үйл явцын тогтвортой байдлыг үнэлэх: бүтээгдэхүүний хэмжээний стандарт хазайлт багатай үйлдвэрийн үйлдвэрлэл нь чанарыг илүү тогтвортой болгоно.
– Хувьсах чадварыг хэмжих: санхүүгийн салбарт хувьцааны өгөөжийн стандарт хазайлтыг эрсдэлийн индикатор болгон ашигладаг.
6. Стандарт хазайлт ба хэвийн тархалтын хоорондын хамаарал
Хэвийн тархалтыг дагасан өгөгдөлд стандарт хазайлт нь эмпирик дүрмээр маш хүчтэй тайлбартай байдаг:
– Өгөгдлийн 68% орчим нь \(\bar{x} \pm 1s\) мужид байна.
– Өгөгдлийн 95% орчим нь \(\bar{x} \pm 2s\) мужид байна.
– Өгөгдлийн 99,7% орчим нь \(\bar{x} \pm 3s\) мужид байна.
Энэ дүрэм нь дундаж утгын эргэн тойронд хэр их өгөгдөл "хэвийн" байгааг тооцоолоход хэрэгтэй бөгөөд экстремум утгыг илрүүлэхэд хялбар болгодог. Гэсэн хэдий ч энэ дүрэм нь зөвхөн өгөгдөл нь үнэндээ хэвийн хэмжээнд ойрхон байвал л үнэн зөв гэдгийг санах нь чухал юм.
7. Стандарт хазайлт ба тархалтын бусад хэмжүүрүүд
Стандарт хазайлт нь маш түгээмэл боловч тархалтын бусад чухал хэмжүүрүүд байдаг:
– Хүрээ: хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүү. Энгийн боловч гадуурх утгуудад маш мэдрэмтгий.
– IQR (квартил хоорондын хүрээ): 1-р квартил болон 3-р квартил хоорондын хүрээ. Стандарт хазайлтаас гадуурх утгуудад илүү тэсвэртэй.
– MAD (дундаж абсолют хазайлт): олон гажуудалтай өгөгдөлд тохиромжтой, медиан дээр суурилсан бат бөх хэмжүүр.
Өгөгдөл харьцангуй "цэвэр" бөгөөд тархалт нь хэт их хоцрогдсон биш үед стандарт хазайлт нь илүү сайн байдаг. Хэрэв өгөгдөлд олон гажуудал агуулагдаж байвал стандарт хазайлт нь өгөгдлийн дийлэнх хэсгийг төлөөлөх чадваргүй болж, томорч болно.
8. Стандарт хазайлтын давуу болон хязгаарлалтууд
Илүүдэл
– Бүх өгөгдлийг ашигладаг (зөвхөн хэт утгыг биш).
– Онолын бат бөх үндэс суурьтай бөгөөд олон дэвшилтэт статистикийн аргуудад ихэвчлэн ашиглагддаг.
– Анхны өгөгдөлтэй ижил нэгжүүд тул тайлбарлахад хялбар.
Хязгаарлалтууд
– Гадуурх утгуудад маш мэдрэмтгий, учир нь энэ нь зөрүүний квадраттай холбоотой.
– “Том” эсвэл “жижиг” гэсэн ойлголтын тайлбар нь цар хүрээ болон нөхцөл байдлаас хамаарна.
– Өндөр хэвийн бус тархалтын үед стандарт хазайлт нь төлөөлөл багатай байж болно.
9. Дүгнэлт
Өгөгдлийн тархалтыг шинжлэх нь өгөгдлийн багцын шинж чанарыг ойлгоход чухал алхам юм. Стандарт хазайлт нь өгөгдөл дунджаас хэр хол тархаж байгааг тодорхой хэмждэг бөгөөд энэ нь үйл явц эсвэл үзэгдлийн тогтвортой байдал, эрсдэл, чанарыг үнэлэхэд тусалдаг. Үүнийг хэрхэн тооцоолж, тайлбарлахыг ойлгосноор бид эрдэм шинжилгээний судалгаа, гүйцэтгэлийн үнэлгээ, чанарын хяналт эсвэл бизнесийн шинжилгээнд илүү мэдээлэлтэй шийдвэр гаргаж чадна.
Эцсийн дүнд стандарт хазайлт нь зүгээр нэг тоо биш, харин өгөгдөлд агуулагдах тодорхойгүй байдал болон хэлбэлзлийн чухал хураангуй юм. Илүү найдвартай дүн шинжилгээ хийхийн тулд тархалтын илүү бүрэн гүйцэд, нарийвчлалтай дүр зургийг гаргахын тулд стандарт хазайлтыг медиан, IQR эсвэл өгөгдлийн дүрслэл гэх мэт бусад хэмжүүрүүдтэй хамт ашиглах хэрэгтэй.
