Ганц болон бүлэглэсэн өгөгдлийн медианыг тооцоолох аргууд
Медиан нь статистикт байнга ашиглагддаг төвийн хандлагын хэмжүүр юм. Бүх утгыг нэмээд дараа нь утгын тоонд хуваадаг дундажаас (дундаж) ялгаатай нь медиан нь эрэмбэлэгдсэн өгөгдлийн багцын "дундаж утга"-г онцолж өгдөг. Байрлалд анхаарлаа хандуулдаг тул медиан нь нэг утга нь бусадтай харьцуулахад маш том эсвэл маш бага байх гэх мэт хэт туйлширсан утгуудад (гадагшлах утга) харьцангуй тэсвэртэй байдаг. Тийм ч учраас медианыг эдийн засгийн өгөгдлийн шинжилгээ , боловсрол, нийгмийн судалгаа, тэр ч байтугай тестийн онооны үнэлгээнд өргөн ашигладаг.
Энэ нийтлэлд бид хоёр төрлийн өгөгдлийн медианыг тооцоолох аргуудыг авч үзэх болно: дан өгөгдөл (бүлэглээгүй) ба бүлэглэсэн өгөгдөл ( давтамжийн тархалтын хүснэгтэд үзүүлсэн ). Томъёоноос гадна хэлэлцүүлэгт хэрэгжүүлэхэд хялбар практик алхмуудыг багтаах болно.
-
1. Медиан гэсэн үндсэн ойлголт
Медиан гэдэг нь өгөгдлийг хамгийн багаас хамгийн том руу нь эрэмбэлсний дараах дундаж утга юм. Хэрэв өгөгдлийн цэгүүдийн тоо сондгой бол медиан нь яг дундын утга юм. Хэрэв өгөгдлийн цэгүүдийн тоо тэгш бол медиан нь хоёр дундын утгын дундаж юм.
Зөн совингийн хувьд медиан нь өгөгдлийг хоёр хэсэгт хуваадаг:
– Өгөгдлийн 50% нь голч утгаас доогуур (эсвэл тэнцүү) байна
– Өгөгдлийн 50% нь голч утгаас дээгүүр (эсвэл тэнцүү) байна
Медиан нь дараалалд суурилсан тул бараг үргэлж шаардлагатай эхний алхам бол өгөгдлийг эрэмбэлэх явдал юм.
-
2. Ганц өгөгдлийн медианыг тооцоолох
Ганц өгөгдөл гэдэг нь бүлгийн өгөгдөл шиг интервалын ангиудад нэгтгэн дүгнэгдээгүй, байгаагаар нь харуулсан өгөгдөл юм (жишээлбэл, сурагчдын дүнгийн жагсаалт).
А. Ерөнхий алхамууд
1. Өгөгдлийг хамгийн бага утгаас хамгийн том руу нь эрэмбэл.
2. Өгөгдлийн хэмжээг тодорхойлно уу, жишээлбэл n.
3. Медианы байрлалыг тодорхойлно уу:
– Хэрэв n сондгой бол медиан нь \((n+1)/2\) байрлалд байна.
– Хэрэв n тэгш бол медиан нь \(n/2\) болон \((n/2)+1\) байрлал дахь өгөгдлийн дундаж юм.
B. Ганц өгөгдлийн медианы томъёо
– Хэрэв n сондгой бол:
\[
Me = x_{(n+1)/2}
\]
Энэ нь медиан нь \((n+1)/2\)-р эрэмбийн өгөгдлийн утга гэсэн үг юм.
– Хэрэв n тэгш бол:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Ганц өгөгдлийн жишээ (n сондгой)
Өгөгдөл: 7, 2, 9, 4, 3
1) Эрэмбэлэх: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (сондгой)
3) Голын байрлал = \((5+1)/2 = 3\)
Медиан = 3 дахь өгөгдөл = 4
Тиймээс өгөгдлийн медиан нь 4 байна.
D. Ганц өгөгдлийн жишээ (n тэгш)
Өгөгдөл: 10, 4, 6, 8
1) Эрэмбэлэх: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (тэгш)
3) Дунд байрлал нь 2 ба 3 дахь өгөгдөл юм
Медиан = \((6 + 8)/2 = 7\)
Тиймээс өгөгдлийн медиан нь 7 байна.
E. Чухал тэмдэглэл: Давтамжтай өгөгдөл
Заримдаа нэг өгөгдлийн багцыг утга болон давтамж хэлбэрээр өгч болно (жишээлбэл, 60 нь хоёр удаа, 70 нь таван удаа гарч ирнэ). Энэ тохиолдолд медианыг өгөгдлийн "эрэмбэлэлт" дээр үндэслэн олдог боловч бид өгөгдлийн цэгүүдийг тусад нь жагсаахгүйгээр медиан байрлалыг тодорхойлохын тулд хуримтлагдсан давтамжийг ашиглаж болно. Зарчим нь адилхан: (n+1)/2-р байрлал (сондгой) эсвэл (n/2) ба (n/2)+1-р байрлал (тэгш)-ийг олоод, дараа нь хуримтлагдсан давтамж дээр үндэслэн тухайн байрлалыг хамарсан утгуудыг харна уу.
-
3. Бүлэглэсэн өгөгдлийн медианыг тооцоолох
Бүлэглэсэн өгөгдөл гэдэг нь ангийн интервал болон тэдгээрийн давтамжаар нэгтгэсэн өгөгдөл юм. Жишээлбэл: 150–154 см өндөртэй 3 хүн, 155–159 см өндөртэй 8 хүн гэх мэт. Ганц өгөгдлөөс ялгаатай нь бүлэглэсэн өгөгдлийн медианыг ихэвчлэн нарийн тодорхойлдоггүй, учир нь бид интервал доторх хувь хүний утгыг мэддэггүй. Тиймээс медианыг бүлэглэсэн тархалтын медиан томъёог ашиглан ойролцооллыг (тооцоо) ашиглан тооцоолдог.
А. Бүлгийн өгөгдлийн медиан дахь чухал нэр томьёо
Томъёог ашиглахаасаа өмнө бид хэд хэдэн бүрэлдэхүүн хэсгийг ойлгох хэрэгтэй:
– n = нийт давтамж (нийт өгөгдлийн тоо)
– n/2 = хуримтлагдсан медиан байрлал
– Медиан класс = хуримтлагдсан давтамж ≥ n/2 үүсгэдэг эхний интервал класс
– L = медиан ангийн доод ирмэг (доод хязгаар биш, харин ангийн ирмэг; тасралтгүй өгөгдлийн хувьд хэрэв өгөгдөл нь бүхэл тоо бол ихэвчлэн 0,5 тохируулга ашигладаг)
– F = медиан ангиллын өмнөх хуримтлагдсан давтамж
– f = голч давтамж
– c = ангийн урт (интервалын өргөн)
B. Бүлгийн өгөгдлийн медианыг тодорхойлох алхамууд
1. Давтамжийн тархалтын хүснэгт үүсгэж, хуримтлагдсан давтамжийн баганыг нэмнэ үү.
2. n (давтамжийн тоо)-г тооцоолж, n/2-г тодорхойлно уу.
3. Хуримтлагдсан давтамж дээр үндэслэн n/2 байрлалыг багтаасан ангиллыг, тухайлбал, медиан ангиллыг тодорхойлно уу.
4. Бүлгийн өгөгдлийн дундаж томъёонд утгуудыг оруулна уу.
C. Бүлгийн өгөгдлийн медиан томъёо
\[
Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\удаа c
\]
Энэ томъёо нь өгөгдөл нь ангийн интервалд жигд тархсан гэж үзээд медиан класс дотор шугаман интерполяцийг гүйцэтгэдэг.
D. Бүлгийн өгөгдлийн медианы жишээ
Жишээлбэл, дараах шалгалтын онооны өгөгдөл:
| Утгын интервал | Давтамж (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Нийт давтамж:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) n/2-г тооцоол:
\[
n/2 = 20
\]
3) Хуримтлагдсан давтамж:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
20-р байр нь эхний хуримтлагдсан оноо ≥ 20 буюу 60–69-тэй ангид багтдаг. Тиймээс энэ нь голч анги юм.
4) Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлно уу:
– L = медиан ангийн доод ирмэг. 60–69 интервалын хувьд доод ирмэг нь 59,5 байна (хэрэв өгөгдөл нь бүхэл тоон утга бол).
– F = медиан ангиллын өмнөх хуримтлагдсан давтамж = 13
– f = медиан ангийн давтамж = 12
– c = ангийн урт = 10
5) Томъёонд оруулна уу:
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{20 – 13}{12}\right)\удаа 10
\]
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\урт 10
\]
\[
Би = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Тиймээс бүлгийн өгөгдлийн медиан нь ойролцоогоор 65,33 байна.
-
4. Нийтлэг алдаанууд
Голчийг тооцоолоход гаргадаг зарим нийтлэг алдаанууд:
1. Ганц өгөгдлийн өгөгдлийг эрэмбэлээгүй тул дундын утга нь зөв биш байна.
2. n тэгш байх үед медианы байрлалыг буруу тодорхойлох (хоёр дундын утгын дунджийг авах ёстой).
3. Бүлгийн өгөгдлийн хувьд медиан ангийг сонгох нь буруу, учир нь энэ нь хуримтлагдсан давтамж үүсгэдэггүй.
4. Өгөгдөл тасралтгүй/интервалууд нь бүхэл тоо байх үед доод ирмэг (L) ангийн доод хязгаарыг ашиглах.
5. Ангийн уртыг (c) буруу тодорхойлох, ялангуяа интервалууд нь тогтворгүй байвал.
-
5. Дүгнэлт
Медиан нь төвийн хандлагын энгийн боловч хүчирхэг хэмжүүр юм, ялангуяа өгөгдөл нь хэт их утга агуулсан үед. Ганц өгөгдлийн багцын хувьд медианыг өгөгдлийг эрэмбэлсний дараа дунд байрлалаас шууд тодорхойлдог бөгөөд сондгой ба тэгш тооны өгөгдлийн багцыг өөр өөрөөр боловсруулдаг. Үүний зэрэгцээ, бүлэглэсэн өгөгдлийн багцын хувьд медианыг медиан ангилал, хуримтлагдсан давтамж, ангиллын урт дээр үндэслэсэн интерполяцийн томъёог ашиглан тооцоолно.
Уг ойлголт болон алхмуудыг ойлгосноор та энгийн өгөгдөл болон хүснэгтэд нэгтгэсэн өгөгдөл дээр медианыг хурдан бөгөөд үнэн зөв тооцоолж чадна. Олон аналитик нөхцөл байдалд медиан нь дундажаас илүү төлөөллийн сонголт байдаг, ялангуяа өгөгдлийн тархалт нь тэгш бус эсвэл гадуурх утгуудыг агуулсан үед.
Хэрэв та хүсвэл би ганц болон бүлгийн өгөгдлийн голч утгын талаарх таны ойлголтыг бэхжүүлэхийн тулд хэлэлцүүлгийн хамт дадлагын асуултуудыг нэмж болно.
