Өгөгдлийн тархалтын дисперс ба стандарт хазайлтын шинжилгээ
Статистикийн хувьд өгөгдлийн тархалтыг ойлгох нь дундаж буюу медиан гэх мэт төв утгыг ойлгохтой адил чухал юм. Хоёр өгөгдлийн багц ижил дундажтай байж болох ч тэдгээрийн тархалт нь маш өөр байдаг: нэг нь дундаж утгын эргэн тойронд нягт бөөгнөрсөн байж болох бол нөгөө нь өргөн тархсан байж болно. Энэ бол дисперс ба стандарт хазайлт юм - эдгээр нь өгөгдөл нь түүний төв утгаас хэр их ялгаатай байгааг харуулсан гол хэмжүүр юм. Энэ нийтлэлд тэдгээрийн ойлголт, томъёо, тайлбар, өгөгдлийн шинжилгээнд хэрэглэх жишээг авч үзэх болно.
1. Өгөгдөл түгээх нь яагаад чухал вэ?
Өгөгдлийн тархалт нь тогтвортой байдал болон эрсдэлийн талаарх мэдээллийг өгдөг. Жишээлбэл, шалгалтын онооны хүрээнд А ба В ангийн дундаж нь 80 байж болно. Гэсэн хэдий ч А ангийн онооны хэлбэлзэл бага байвал оюутнуудын дийлэнх нь ижил төстэй үр дүн үзүүлдэг. Үүний эсрэгээр, хэрэв В ангийн онооны хэлбэлзэл их байвал зарим оюутнууд маш өндөр оноотой, зарим нь маш бага оноотой байх магадлалтай. Бизнесийн салбарт борлуулалтын өгөгдлийн тархалт нь орлогын тогтвортой байдлыг илтгэдэг бол санхүүгийн салбарт хөрөнгө оруулалтын өгөөжийн тархалт нь эрсдэлийн түвшинг илтгэдэг.
Дисперс ба стандарт хазайлтыг ойлгосноор шийдвэр гаргагчид дараахь зүйлийг хийж чадна.
– Үйл явц тогтвортой эсэхийг үнэлэх (жишээ нь, үйлдвэрийн үйлдвэрлэл).
– Бүлгүүдийн хоорондох тогтвортой байдлыг харьцуулах (жишээ нь хоёр сургалтын арга).
– Шалгаж үзэх шаардлагатай гажуудсан өгөгдлийг тодорхойлох.
– Урьдчилан таамаглал болон загваруудын тодорхойгүй байдлыг тооцоолох.
2. Дисперсийн үндсэн ойлголт
Дисперс нь өгөгдлийн багц бүрийн дундаж квадрат хазайлтыг дундаж утгаас хэмждэг. Хазайлт гэдэг нь өгөгдлийн утга ба дундаж утгын зөрүү юм. Хэрэв олон утга дунджаас хол байвал дисперс их байна. Хэрэв утга нь дунджаас ойролцоо байвал дисперс бага байна.
\(\bar{x}\ дундажтай \(x_1, x_2, …, x_n\) өгөгдөл байгаа гэж үзье. Өгөгдөл бүрийн хазайлт нь \(x_i – \bar{x}\) байна. Гэсэн хэдий ч хазайлтыг шууд нэмбэл үр дүн нь үргэлж тэг байна, учир нь бие биенээ хүчингүй болгодог эерэг ба сөрөг хазайлтууд байдаг. Үүнийг даван туулахын тулд хазайлтыг бүгд эерэг байхаар квадрат болгоно. Эндээс дисперс үүсдэг.
а) Хүн амын хэлбэлзэл
Хэрэв өгөгдөл нь нийт хүн амыг төлөөлж байна гэж үзвэл хүн амын дисперсийг дараах байдлаар бичнэ.
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
ди мана:
– \(N\) нь хүн амын тоон өгөгдөл,
– \(\mu\) нь хүн амын дундаж,
– \(\sigma^2\) нь популяцийн дисперс юм.
б) Түүврийн хэлбэлзэл
Хэрэв өгөгдөл нь илүү олон хүн амаас авсан түүвэр бол түүврийн дисперсийг ашиглана:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n-1}
\]
Хуваагч \(n-1\)-г Бесселийн залруулга гэж нэрлэдэг бөгөөд популяцийн дисперсийн тооцоолол нь шударга байхыг баталгаажуулахад ашиглагддаг. Үндсэндээ түүврийн дундажийг өгөгдлөөс өөрөө тооцоолдог тул "чөлөөний зэргийн алдагдал" үүсдэг тул хуваагчийг зохих ёсоор тохируулдаг.
3. Стандарт хазайлт: Дисперсийн үндэс
Дисперс нь нэг практик дутагдалтай талтай: түүний нэгж нь өгөгдлийн нэгжийн квадрат юм. Хэрэв өгөгдөл нь "рупиа"-д байвал дисперс нь "рупиа²"-д байх бөгөөд үүнийг шууд тайлбарлахад хэцүү. Тиймээс бид дисперсийн квадрат язгуур болох стандарт хазайлтыг ашигладаг.
а) Хүн амын стандарт хазайлт
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
б) Түүврийн стандарт хазайлт
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
Стандарт хазайлт нь анхны өгөгдөлтэй ижил нэгжтэй тул ойлгоход хялбар болгодог. Өндөр стандарт хазайлт нь өгөгдөл илүү тархсан байгааг илтгэдэг бол бага стандарт хазайлт нь илүү нягтралтай өгөгдлийн багцыг илтгэнэ.
4. Энгийн тооцооллын жишээ
Жишээлбэл, шалгалтын онооны өгөгдөл: 70, 75, 80, 85, 90.
1) Дундаж утгыг тооцоол:
\[
\bar{x} = \frac{70+75+80+85+90}{5} = 80
\]
2) Утга бүрийн дундажаас хазайлтыг тооцоолно уу:
– 70: \(70-80=-10\)
– 75: \(75-80=-5\)
– 80: \(80-80=0\)
– 85: \(85-80=5\)
– 90: \(90-80=10\)
3) Хазайлтыг квадрат болго:
– 100, 25, 0, 25, 100
4) Нэмэлт:
\[
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 250
\]
5) Түүврийн дисперс:
\[
s^2 = \frac{250}{5-1} = 62.5
\]
6) Түүврийн стандарт хазайлт:
\[
s = \sqrt{62.5} \ойролцоогоор 7.91
\]
Тайлбар: дундаж оноо 80 бөгөөд "ердийн" оноо нь дунджаас 7-8 оноогоор зөрдөг.
5. Дисперс ба стандарт хазайлтын тайлбар
Дисперс ба стандарт хазайлт нь зүгээр нэг тоо биш; тэдгээрийг тухайн нөхцөл байдалд тайлбарлах ёстой.
– Бага стандарт хазайлт: өндөр тогтвортой байдал. Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний хэмжээ маш бага стандарт хазайлттай үйлдвэрлэлийн процесс нь тогтвортой чанарыг илтгэнэ.
– Өндөр стандарт хазайлт: өндөр хэлбэлзэл. Хөрөнгө оруулалтын хувьд өгөөжийн өндөр стандарт хазайлт нь өндөр хэлбэлзэлтэй (өндөр эрсдэлтэй) гэсэн үг юм.
– Бүлгүүдийн харьцуулалт: хэрэв хоёр бүлэг ижил дундажтай боловч өөр өөр стандарт хазайлттай бол хазайлт багатай бүлэг илүү нэгэн төрлийн байна.
Гэсэн хэдий ч стандарт хазайлт нь гадуурх утгуудад мэдрэмтгий гэдгийг санах нь чухал юм. Ганцхан экстремум утга нь дисперс болон стандарт хазайлтыг мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлж болно. Тиймээс тархалтын шинжилгээг ихэвчлэн дүрслэл (гистограмм, хайрцаг диаграмм) эсвэл IQR (квартил хоорондын хүрээ) зэрэг бат бөх хэмжүүрээр нөхдөг.
6. Хэвийн тархалт ба эмпирик дүрмүүдтэй холбоотой байдал
Хэвийн тархалт (хонхны муруй)-д стандарт хазайлт нь маш хүчтэй утгатай байдаг. Ихэнхдээ ашиглагддаг эмпирик дүрэм байдаг:
– Өгөгдлийн 68% орчим нь \(\bar{x} \pm 1s\) мужид байна.
– Өгөгдлийн 95% орчим нь \(\bar{x} \pm 2s\) мужид байна.
– Өгөгдлийн 99,7% орчим нь \(\bar{x} \pm 3s\) мужид байна.
Энэ дүрэм нь утга нь "байгалийн бус" эсвэл ерөнхий хүрээнд байгаа эсэхийг үнэлэх гэх мэт хурдан тайлбар хийхэд тусалдаг.
7. Төрөл бүрийн салбарт хэрэглэх
1) Боловсрол: Сурагчдын дүнгийн тархалтыг хянах. Бага зэргийн хазайлт нь сургалтын үр дүн тэгш байгааг илтгэдэг бол их хэмжээний хазайлт нь ойлголтын зөрүүг илтгэж болно.
2) Аж үйлдвэр: чанарын хяналт. Үйлдвэрлэлийн тогтвортой байдлыг үнэлэхэд хэлбэлзлийг ашигладаг.
3) Санхүү: хувьцааны үнийн хэлбэлзэл, портфолиогийн өгөөж, хөрөнгө оруулалтын эрсдэлийг хэмждэг.
4) Эрүүл мэнд: өвчтөний популяцид цусны даралт, сахарын хэмжээ болон бусад эмнэлзүйн үзүүлэлтүүдийн хэлбэлзлийг ажиглах.
5) Нийгмийн судалгаа: судалгааны хариултын олон янз байдал болон хариулагчдын шинж чанарын олон янз байдлыг үнэлэх.
8. Нийтлэг алдаа ба практик зөвлөмжүүд
Зарим нийтлэг алдаанууд:
– Өгөгдөл нь бүтэн популяци байсан ч түүврийн дисперсийг (хуваагч \(n-1\)) ашиглах, эсвэл эсрэгээр.
– Дисперсийг квадрат нэгжийг нь харгалзахгүйгээр тайлбарлах; тайлбарт стандарт хазайлтыг ашиглах нь илүү аюулгүй.
– Гадны утгыг үл тоомсорло; эхлээд өгөгдлийг шалгах нь хамгийн сайн арга юм.
– Нормчилолгүйгээр өөр өөр масштабтай өгөгдлүүдийн хоорондох стандарт хазайлтыг харьцуулах; зарим тохиолдолд илүү шударга харьцуулалт хийхийн тулд хэлбэлзлийн коэффициент (CV) буюу \(CV = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%\)-г ашиглана уу.
Хаах
Дисперс ба стандарт хазайлт нь өгөгдлийн тархалтыг ойлгох үндсэн хэрэгсэл юм. Дисперс нь бат бөх математикийн үндэс суурийг тавьдаг бол стандарт хазайлт нь анхны өгөгдөлтэй төстэй тул тайлбарлахад хялбар хэмжүүрийг өгдөг. Эдгээр хоёр хэмжүүрийг ашигласнаар бид өгөгдлийн багцын хоорондох тархалтын шинж чанарын тогтвортой байдал, эрсдэл, ялгааг илүү тодорхой үнэлж чадна. Өгөгдлийн шинжилгээний практикт дисперс ба стандарт хазайлтыг төвийн чиг хандлага ба дүрслэлийн хэмжүүрүүдтэй хамт хамгийн сайн ашигладаг бөгөөд өгөгдлийн бүрэн дүр зургийг гаргаж, илүү мэдээлэлтэй шийдвэр гаргадаг.
Хэрэв та хүсвэл би илүү төвөгтэй тооцооллын жишээ (жишээ нь бүлэглэсэн өгөгдөл) нэмж оруулах эсвэл стандарт хазайлтын z-оноо болон гадуурх утгыг илрүүлэхтэй хэрхэн холбогдож байгааг тайлбарлаж болно.
