Тасралтгүй байдлын тэгшитгэлийн материал
Цоргоноос гарч буй усны урсгалыг ажиглангаа усны цоргыг аажмаар онгойлгож үзээрэй. Цорго эргэхээ больсны дараа цоргыг гараараа хэсэгчлэн хааж үзээрэй. Одоо аль усны урсгал илүү их байгааг харьцуулж үзээрэй. Хэсэгчлэн бөглөрсөн эсвэл бөглөрөөгүй үед? Хэрэв та цэцэг услахад ихэвчлэн ашигладаг хоолойтой бол усыг урсгаарай. Хоолойг гараараа эсвэл хуруугаараа хэсэгчлэн хааж болно. Хоолойн хэсэг нь бөглөрөх тусам ус хурдан урсах болно. Үүний эсрэгээр, хэрэв хоолой бөглөрөөгүй бол ус бага урсах болно. Яагаад ийм байна вэ? Үүнийг ойлгохын тулд тасралтгүй байдлын тэгшитгэлийг судлаарай.
Урсгал шугам ба урсгалын хоолой
Эхлээд урсгал болон урсгалын хоолой гэсэн ойлголтуудыг ойлгоё. Энэ ойлголт нь танд тасралтгүй байдлын тэгшитгэлийг ойлгоход туслах тул чухал юм.
Урсгалын шугам
Доорх зургийг хараарай, цэнхэр шугам нь Streamline юм.
Тогтвортой урсгалд А цэг гэх мэт цэг дээрх шингэний бөөм бүрийн хурд тогтмол хэвээр байна. В цэгийг өнгөрөхөд шингэний бөөмсийн хурд өөрчлөгдөж болно. Гэсэн хэдий ч В цэгт хүрэхэд араас нь дагаж буй шингэний бөөмс өмнөх шингэний бөөмстэй ижил хурдаар урссаар байна. С цэгт хүрэхэд ч мөн адил хамаарна. Урсгал шугам нь А, В, С цэгүүдийг холбосон муруй юм.
Урсгал хоолой
Үндсэндээ бид шингэний урсгалын цэг бүрээр урсгал бүрийг зурж болно. Хэрэв бид шингэний тогтвортой урсгалыг авч үзвэл төсөөллийн гадаргуугийн талбай (төсөөлөлтэй гадаргуугийн талбай) дээр тодорхой өнцгөөр дамжин өнгөрөх хэд хэдэн урсгал нь урсгалын хоолой үүсгэдэг. Шингэний хэсгүүд хоорондоо огтлолцдоггүй боловч үргэлж зэрэгцээ байдаг бөгөөд урсгалын хоолой нь үргэлж ижил хэлбэртэй хоолойтой төстэй байх болно. Хоолойн нэг үзүүрээр орж буй шингэн нь нөгөө үзүүрээр хоолойноос гарна.
Дебит
Урсац нь тодорхой хугацааны интервалд тодорхой хөндлөн огтлолоор урсаж буй шингэний эзэлхүүнийг илэрхийлнэ. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно:
Таны ойлголтыг сайжруулахын тулд жишээ авч үзье. Шингэн хоолойгоор урсаж байна гэж бодъё. Хоолойнууд нь ихэвчлэн цилиндр хэлбэртэй бөгөөд тодорхой хөндлөн огтлолын талбайтай байдаг. Хоолой нь мөн урттай байдаг.
Шингэн хоолойгоор L хүртэл урсах үед хоолой дахь шингэний эзэлхүүн нь V = AL (V = шингэний эзэлхүүн, A = хөндлөн огтлолын талбай ба L = хоолойн урт) байна. Учир нь хоолойгоор урсах үед L дагуу шингэн тодорхой хугацааны интервалаар явдаг тул шингэний гадагшлах хэмжээ нь дараах байдалтай байна гэж хэлж болно:
Учир нь v = s/t = L/t —> L = vt, дээрх тэгшитгэл нь дараах байдлаар өөрчлөгдөнө:
Тиймээс тодорхой хугацааны интервалд тодорхой хөндлөн огтлолын талбай ба урттай хоолойгоор шингэн урсах үед шингэний гадагшлах урсгалын хэмжээ (Q) нь хөндлөн огтлолын гадаргуугийн талбай (A)-г шингэний урсгалын хурд (v)-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Тасралтгүй байдлын тэгшитгэл
Доорх зурагт үзүүлсэн шиг өөр өөр диаметртэй хоолой дахь шингэний урсгалыг авч үзье.
Энэ зурагт шингэний урсгалыг зүүнээс баруун тийш харуулж байна (шингэн нь том диаметртэй хоолойноос жижиг диаметртэй хоолой руу урсдаг). Цэгтэй шугамууд нь урсгал юм.
Зургийн тайлбар: A 1 = том диаметртэй хоолойн хэсгийн хөндлөн огтлолын талбай, A 2 = жижиг диаметртэй хоолойн хэсгийн хөндлөн огтлолын талбай, v 1 = том диаметртэй хоолойн хэсгийн шингэний урсгалын хурд, v 2 = жижиг диаметртэй хоолойн хэсгийн шингэний урсгалын хурд, L = шингэний туулсан зай.
Шингэний динамикийн танилцуулгад шингэний динамикт бид шахагдахгүй, үл үзэгдэх, турбулент бус, тогтвортой шингэний урсгалын талаар хэлэлцдэг болохыг тайлбарласан. Тогтвортой урсгалд нэг цэг дэх шингэний хэсгүүдийн хурд нь тухайн цэгээр дамжин өнгөрөх бусад шингэний хэсгүүдийн хурдтай ижил байна. Шингэний урсгалууд нь мөн хоорондоо огтлолцдоггүй (урсгалууд нь зэрэгцээ). Тиймээс хоолойн нэг үзүүрт орж буй шингэний масс нь нөгөө үзүүрээс гарч буй шингэний масстай тэнцүү байх ёстой. Хэрэв тодорхой масстай шингэн нь том диаметртэй хоолойд орвол шингэн нь хоолойноос тогтмол масстай жижиг диаметртэй гарна.
Одоо дээрх хоолойн зургийг хараарай. Том диаметртэй хоолойн хэсэг болон жижиг диаметртэй хэсгийг хараарай.
Тодорхой хугацааны интервалд тодорхой хэмжээний шингэн нь том диаметртэй (A) хоолойн хэсгээр урсдаг.1) L хүртэл1 (L1 = v1 т). Урсаж буй шингэний эзэлхүүн нь V байна.1 = А.1 L1 = А.1 v1 t. Үүнтэй ижил хугацааны интервалд өөр хэмжээний шингэн жижиг диаметртэй (A) хоолойн хэсгээр урсдаг.2) L хүртэл2 (L2 = v2 т). Урсаж буй шингэний эзэлхүүн нь V байна.2 = А.2 L2 = А.2 v2 t.
Шахагдахгүй шингэний тасралтгүй байдлын тэгшитгэл (шахагдах боломжгүй)
Эхлээд шахагдаагүй шингэний тохиолдлыг авч үзье. Шахагдаагүй шингэнд шингэний нягтрал буюу масс нь түүний дамжин өнгөрөх цэг бүрт үргэлж ижил байдаг. Тодорхой хугацааны интервалд А1 хөндлөн огтлолын талбайтай ( хоолойн том диаметр) хоолойд урсах шингэний масс нь:
Үүнтэй адилаар тодорхой хугацааны интервалд А2 (жижиг хоолойн диаметр) хөндлөн огтлолын талбайтай хоолойд урсаж буй шингэний масс нь :
Тогтмол урсгалд орж буй шингэний масс нь гарч буй шингэний масстай тэнцүү гэдгийг харгалзан үзвэл:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (шингэний нягтрал ба хугацааны интервал ижил тул тэдгээр нь цуцлагдана)
А 1 ба 1 = А 2 ба 2
Тиймээс шахагдаагүй шингэнд тасралтгүй байдлын тэгшитгэл дараах байдалтай байна.
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Тэгшитгэл 1
Мэдээлэл:
A 1 = хөндлөн огтлолын талбай 1, A 2 = хөндлөн огтлолын талбай 2, v 1 = хөндлөн огтлол 1 дээрх шингэний урсгалын хурд, v 2 = хөндлөн огтлол 2 дээрх шингэний урсгалын хурд, A v = эзэлхүүний урсгалын хурд V/t буюу цэнэг алдалт
1-р тэгшитгэлээс харахад эзэлхүүний урсгалын хурд буюу гадагшлуулах урсгал нь хоолой эсвэл урсгалын хоолойн дагуух бүх цэгт үргэлж ижил байдаг. Хоолойн хөндлөн огтлол буурах тусам шингэний урсгалын хурд нэмэгддэг; эсрэгээрээ хоолойн хөндлөн огтлол нэмэгдэх тусам шингэний урсгалын хурд буурдаг.
Бид цоргыг хэсэгчлэн бөглөхөд усны урсгал цоргыг хэсэгчлэн хаах үеийнхээс хурдан болдог. Учир нь цоргыг хэсэгчлэн хаах үед цоргын хөндлөн огтлолын талбай багасч, усны урсгалын хурд нэмэгддэг (шингэн илүү хурдан урсдаг). Хоолойн хувьд ч мөн адил. Гэсэн хэдий ч цоргыг хэсэгчлэн хаасан эсэхээс үл хамааран гадагшлуулах буюу эзэлхүүний урсгалын хурд нь усны урсгалын дагуух бүх цэгүүдэд ижил хэвээр байгааг анхаарах нь чухал юм. Тиймээс өөрчлөгдөж буй зүйл бол шингэний урсгалын хурд юм.
Тэгэхээр голын усны урсгалын талаар юу хэлэх вэ? Голын гүн хэсгүүд нь гүехэн хэсгүүдээс илүү том хөндлөн огтлолтой тул гүн хэсгүүдэд усны урсгалын хурд нь гүехэн хэсгүүдээс бага байдаг. Хэрэв та маш тайван голын урсгалыг харвал энэ нь гол гүн гэсэн үг юм. Гэхдээ хэрэв гол гэнэт хурдан урсдаг бол тухайн хэсэг нь гүехэн байна. Гэсэн хэдий ч голын гүн эсвэл тайван хэсгүүдэд усны эзэлхүүний урсгалын хурд үргэлж ижил байдаг.
Шахагдах шингэний тасралтгүй байдлын тэгшитгэл (шахаж болдог)
Шахагддаг шингэний хувьд шингэний нягтрал үргэлж ижил байдаггүй. Өөрөөр хэлбэл, шахсан үед шингэний нягтрал өөрчлөгддөг. Шахагддаггүй шингэнд шингэний нягтрал тэгшитгэлээс хасагддаг бол энэ тохиолдолд шингэний нягтрал багтсан хэвээр байна. Өмнө нь гаргаж авсан тэгшитгэлийг ашиглан шахагддаг шингэний тэгшитгэлийг гаргацгаая.
Тогтмол урсгалд орж буй шингэний масс нь гарч буй шингэний масстай тэнцүү гэдгийг харгалзан үзвэл:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Шингэний урсгалын хугацааны интервал ижил тул үүнийг арилгах боломжтой. Тэгшитгэл нь дараах байдалтай өөрчлөгдөнө:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Тэгшитгэл 2
Энэ бол шахагдах шингэний тэгшитгэл юм. Ганц ялгаа нь шингэний нягтралд оршино. Шингэн шахагдах үед түүний нягтрал өөрчлөгддөг. Үүний эсрэгээр, шингэн шахагдахгүй үед түүний нягтрал тогтмол хэвээр байх бөгөөд цуцлагдах боломжтой.
Жишээ асуулт 1:
Ус 10 см диаметртэй хоолойгоор 2 м/с хурдтайгаар урсдаг. Усны урсац хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг
Энэ нь мэдэгдэж байгаа зүйл:
Хоолойн диаметр = 10 см (энэ нь хоолойн дотоод диаметр юм)
Хоолойн радиус (r) = 5 см = 0,05 м
v ус = 2 м/с
Асуулт: Дебит
Хариулт:
Q = A v
Q = (π r 2 ) (2 м/с)
Q = (3,14)(0,05 м) 2 (2 м/с)
Q = (3,14)(0,0025 м2 ) (2 м/с)
Q = 0,0157 м3 / с
Жишээ асуулт 2:
20 см диаметртэй усны хоолойг 10 см диаметртэй өөр хоолойтой холбосон. Хэрэв 20 см диаметртэй хоолойн усны урсгалын хурд = 4 м/с бол 10 см диаметртэй хоолойн усны урсгалын хурд хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг
Энэ нь мэдэгдэж байгаа зүйл:
Диаметр 1 = 20 см (r 1 = 10 см = 0,1 м)
v 1 = 4 м/с
Диаметр 2 = 10 см (r 2 = 5 см = 0,05 м)
Асуусан: v1
Хариулт:
А1 = А2
А 1 ба 1 = А 2 ба 2
( π r 12 ) (4 м/с) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 м) 2 (4 м/с) = (0,05 м) 2 (v 2 )
(0,01 м2 ) (4 м/с) = (0,0025 м2 ) ( v2 )
(0,04 м 3 /с) = (0,0025 м 2 )(v 2 )
v 2 = 16 м/с
