Байрлалын векторуудыг авч үзэх бодлогын жишээ
Векторууд нь математик, физикийн үндсэн ойлголт бөгөөд чиглэл ба хэмжээс бүхий хэмжигдэхүүнийг илэрхийлдэг. Төрөл бүрийн хэрэглээнд векторуудыг ихэвчлэн байрлал, хурд, хүч болон бусад олон параметрийг тодорхойлоход ашигладаг. Векторуудын янз бүрийн төрлүүдийн дунд байрлалын векторууд нь орон зай дахь цэгийн байршлыг зураглахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Байршлын векторын тодорхойлолт
Байрлалын вектор гэдэг нь координатын систем дэх цэгийн гарал үүсэлтэй харьцуулсан байршлыг тодорхойлдог вектор юм. Ерөнхийдөө байрлалын векторыг Декартын координатын хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ.
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Энд, \(\mathbf{r}\) нь байрлалын вектор, \(x\), \(y\), болон \(z\) нь тус тус \(x\), \(y\), болон \(z\) тэнхлэгүүдийн дагуух түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд байхад \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), болон \(\mathbf{k}\) нь тус тус координатын тэнхлэгүүдтэй параллель нэгж векторууд юм. Хоёр хэмжээст орон зайд \(z\) бүрэлдэхүүн ерөнхийдөө байдаггүй тул байрлалын вектор нь дараах хэлбэртэй байна:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Байршлын векторын хэрэглээ
Жишээлбэл, физикийн хувьд байрлалын векторууд нь объектуудын хөдөлгөөнийг тодорхойлоход чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Объектын гарал үүсэл (лавлах цэг)-тэй харьцуулсан байрлалыг байрлалын вектороор илэрхийлж болно. Цаашилбал, механик инженерчлэлд хүч ба моментийн тооцоололд байрлалын векторуудыг ашиглах нь элбэг байдаг.
Байрлалын векторуудын жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Асуулт 1
3 хэмжээст орон зайд хоёр цэг байна гэж үзье, координат нь \( (1, 2, 3) \) А цэг ба координат нь \( (4, 0, -2) \) Б цэг. А ба В цэгүүдийн байрлалын векторыг тодорхойл. Үүнээс гадна, А цэгийг В цэгтэй холбосон векторыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
А цэгийн байрлалын вектор:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
В цэгийн байрлалын вектор:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Дараа нь, А цэгийг В цэгтэй холбосон векторыг (\(\mathbf{AB}\) гэж нэрлэдэг) олохын тулд бид А цэгийн байрлалын векторыг В цэгийн байрлалын вектороос хасах хэрэгтэй:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Тэгэхээр дээрх хоёр байрлалын векторыг орлуулбал:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Тэгэхээр, А цэгийг В цэгтэй холбосон вектор нь \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) байна.
Асуулт 2
Хэрэв P цэг нь 2 хэмжээст хавтгайд \((2, 3)\) дээр байвал \(\mathbf{r_P}\) байрлалын векторын уртыг (норматив) ол.
Хэлэлцүүлэг:
P цэгийн байрлалын вектор:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Байрлалын векторын уртыг векторын норм (эсвэл урт)-ын томъёогоор тооцоолж болно:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\(x\) болон \(y\) утгуудыг орлуулна уу:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Тэгэхээр, \(\mathbf{r_P}\) байрлалын векторын урт нь \(\sqrt{13}\) байна.
Асуулт 3
Q цэг \( (5, -4, 2) \) дээр оршдог гэж үзье. Байрлалын вектор \(\mathbf{r_Q}\) ба \(x\) тэнхлэгийн хоорондох өнцгийг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Q цэгийн байрлалын вектор:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
\(\mathbf{r_Q}\) вектор ба \(x\) тэнхлэгийн хоорондох өнцгийг олохын тулд бид цэгэн үржвэрийн тухай ойлголтыг ашиглаж болно. Эхлээд бид \(\mathbf{r_Q}\) ба \(\mathbf{i}\\ хоорондох цэгэн үржвэрийг тодорхойлно:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Учир нь \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), болон \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), тэгвэл:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\-ийн норм):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\)-ийн норм нь 1 байна, учир нь \(\mathbf{i}\) нь нэгж вектор юм.
\(\тета\) өнцгийг олохын тулд цэгэн үржвэрийн томъёог ашиглана уу:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Тэгэхээр байрлалын вектор \(\mathbf{r_Q}\) ба \(x\) тэнхлэгийн хоорондох \(\theta\) өнцөг нь:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Дүгнэлт
Байршлын векторууд нь шинжлэх ухаан, инженерчлэлд, ялангуяа координатын орон зайд объектуудын байрлалыг зураглахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Дээрх жишээнүүд нь байрлалын векторууд, тэдгээрийн урт, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг болон координатын тэнхлэгүүдийг хэрхэн тооцоолохыг харуулж байна. Эдгээр үндсэн ойлголтуудыг ойлгох нь математик, физикийн орон зай, координаттай холбоотой янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд үнэлж баршгүй юм.
