Урвуу векторуудыг авч үзэх бодлогын жишээ
Вектор гэдэг нь хэмжээ ба чиглэл хоёулаа байдаг математикийн объект юм. Векторуудыг судлахад бид тодорхой шинж чанартай векторуудтай ихэвчлэн тааралддаг. Векторуудын нэг үндсэн ойлголт бол урвуу вектор буюу сөрөг вектор юм. Энэ нийтлэлд урвуу векторуудын жишээ болон хэлэлцүүлгийг авч үзэх болно.
Урвуу векторуудыг ойлгох нь
Урвуу векторыг ихэвчлэн сөрөг вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь анхны вектортой ижил хэмжээтэй боловч эсрэг чиглэлтэй вектор юм. Хэрэв векторыг \(\vec{a}\) гэж тэмдэглэвэл түүний урвуу вектор нь \(-\vec{a}\) байна. Математикийн хувьд, хэрэв \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) бол \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Жишээ асуулт 1
\(\vec{a} = (3, 4, -2)\) вектор өгөгдсөн. \(\vec{a}\)-ийн урвуу векторыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
\(\vec{a}\)-ийн урвуу векторыг тодорхойлохын тулд бид түүний векторын бүрэлдэхүүн бүрийг сөрөг болгон өөрчлөх хэрэгтэй:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Тэгэхээр, \(\vec{a} = (3, 4, -2)\)-ийн урвуу вектор нь \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\) байна.
Жишээ асуулт 2
Векторыг \(\vec{b} = (7, -5, 0)\) гэж үзье. \(\vec{b}\)-ийн урвуу векторыг олоод \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) болохыг шалгана уу.
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд бид \(\vec{b}\-ийн урвуу векторыг тодорхойлно:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Дараа нь бид \(\vec{b}\) вектор болон түүний урвуу векторыг нэмэхэд тэг вектор гарч ирдэг эсэхийг баталгаажуулна:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Бид векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмж оруулна:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Тэгэхээр, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), \(\vec{b}\) вектор болон түүний урвуу векторыг нэмсний үр дүн тэг вектор болох нь батлагдсан.
Жишээ асуулт 3
\(\vec{u} = (2, -1)\) болон \(\vec{v} = (-2, 1)\) векторууд өгөгдсөн). \(\vec{u}\) нь \(\vec{v}\)-ийн урвуу вектор мөн үү?
Хэлэлцүүлэг:
\(\vec{u}\) болон \(\vec{v}\) нь урвуу векторууд мөн эсэхийг тодорхойлохын тулд \(\vec{v} = -\vec{u}\) эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
\(-\vec{u}\)-г тооцоол:
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
\(-\vec{u} = \vec{v}\) гэсэн үг гарч ирж байна, энэ нь \(\vec{u}\) вектор нь үнэхээр \(\vec{v}\) векторын урвуу вектор гэсэн үг юм.
Жишээ асуулт 4
Хэрэв \(\vec{w}\) вектор нь 5-ын хэмжээтэй бөгөөд \(\vec{p} = (4, 3)\ векторын эсрэг чиглэлтэй гэж мэдэгдэж байвал \(\vec{w}\)-г бүрэлдэхүүн хэлбэрээр тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд бид векторын хэмжээг олно \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\(\vec{w}\) нь \(\vec{p}\)-тэй ижил хэмжээтэй боловч эсрэг чиглэлтэй тул:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Тэгэхээр, бүрэлдэхүүн хэлбэрийн \(\vec{w}\) вектор нь \(\vec{w} = (-4, -3)\) байна.
Жишээ асуулт 5
A(2, 3) болон B(4, 7) цэгүүд өгөгдсөн. A цэгээс B цэг хүртэлх байрлалын вектор болон уг векторын эсрэг талын векторыг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
А цэгээс Б цэг хүртэлх байрлалын вектор:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
\(\vec{AB}\-ийн урвуу вектор:
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Тэгэхээр, \(\vec{AB} = (2, 4)\) байрлалын векторын урвуу вектор нь \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) байна.
Жишээ асуулт 6
\(\vec{m} = (x, y)\) вектор өгөгдсөн бөгөөд \(\vec{m}\)-ийн урвуу вектор нь \( (-5, 12)\) байна. x ба y-ийн утгуудыг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
\(\vec{m}\)-ийн урвуу вектор нь \( (-x, -y) \) бөгөөд бодлогын дагуу \((-x, -y) = (-5, 12)\) байна.
Векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тохируулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
\[
-x = -5 \ нь x = 5 гэсэн үг
\]
\[
-y = 12 \ нь y = -12 гэсэн үг
\]
Тэгэхээр, \(x\)-ийн утга 5, \(y\)-ийн утга -12 байна.
Дүгнэлт
Урвуу векторууд нь ижил хэмжээтэй боловч эсрэг чиглэлтэй векторууд юм. Урвуу векторын тухай ойлголтыг ойлгосноор бид векторын сөрөг тоог тодорхойлох, векторуудыг тэг дээр нэмэхийг шалгах гэх мэт векторуудтай холбоотой янз бүрийн бодлогуудыг шийдэж чадна. Дээрх жишээ бодлогуудын талаарх хэлэлцүүлэг нь урвуу векторуудтай ажиллах талаарх бидний мэдлэг, ойлголтыг нэмэгдүүлнэ гэж найдаж байна.
