Тооцооллын үндсэн теоремыг хэлэлцэх жишээ асуултууд
Тооцооллын арга нь хязгаар, уламжлал, интеграл гэсэн ойлголтуудыг хамарсан математикийн чухал салбар юм. Тооцооллын үндсэн теорем (FDTC) нь эдгээр ойлголтуудыг холбосон хамгийн үндсэн теоремуудын нэг юм. Энэ нийтлэлд бид Тооцооллын үндсэн теоремын тодорхойлолт болон хэрэглээг хэд хэдэн жишээ бодлого, хэлэлцүүлгээр дамжуулан судлах болно.
Тооцооллын үндсэн теоремыг ойлгох нь
Тооцооллын үндсэн теорем нь хоёр үндсэн хэсгээс бүрдэнэ:
1. Нэгдүгээр хэсэг: Хэрэв \( f \) нь \([a, b]\) интервал дээрх тасралтгүй функц бөгөөд \( F \) нь тухайн интервал дээрх \( f \)-ийн эсрэг уламжлал бол:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
2. Хоёрдугаар хэсэг: Хэрэв \( f \) нь \([a, b] \) интервал дээрх тасралтгүй функц бөгөөд бид \( F \) функцийг дараах байдлаар тодорхойлно:
\[ F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \]
тэгвэл \( F \) нь \( f \)-ийн эсрэг уламжлал болно, тухайлбал:
\[ F'(x) = f(x) \]
Үндсэн ойлголтыг ойлгосны дараа Тооцооллын үндсэн теоремын хэрэглээг тодруулахын тулд зарим жишээ асуултууд болон тэдгээрийн хэлэлцүүлэг рүү шууд орцгооё.
Жишээ хэлэлцүүлгийн асуултууд
Жишээ бодлого 1: Тооцооллын үндсэн теоремын эхний хэсгийг ашиглах нь
Асуулт:
\(f(x) = 3x^2 \) функц өгөгдсөн. \(f(x) \)-ийн тодорхойгүй интегралыг \(x = 1 \)-ээс \(x = 4 \) хүртэл тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид √f(x)√-ийн эсрэг уламжлалын √(F(x)√)-г олох хэрэгтэй.
1-р алхам: \( f(x) = 3x^2 \)-ийн эсрэг уламжлал \( F(x) \)-г ол.
\[ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \]
Тэгэхээр, \( F(x) = x^3 \).
Алхам 2: Өгөгдсөн интеграл хязгаарууд дээр \( F(x) \)-ийн утгыг тооцоол.
\[ \int_1^4 3x^2 \, dx = F(4) – F(1) \]
\[ = 4^3 – 1^3 \]
\[ = 64 – 1 \]
\[ = 63 \]
Тиймээс интеграл утга нь 63 байна.
Жишээ асуулт 2: Тооцооллын үндсэн теоремын хоёрдугаар хэсгийг ашиглах нь
Асуулт:
Хэрэв \(F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \) бол \(F(x) \)-ийн уламжлалыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Тооцооллын үндсэн теоремын хоёрдугаар хэсгийн дагуу, хэрэв \( F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \) бол \( F'(x) = f(x) \).
Өгөгдсөн нөхцөл байдлын дагуу:
\[ F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \]
Тэгвэл \(F(x) \)-ийн уламжлал нь:
\[ F'(x) = 2x + 1 \]
Жишээ 3: Илүү нарийн төвөгтэй функцүүдтэй тооцооллын үндсэн теоремыг ашиглах нь
Асуулт:
Өгөгдсөн \(f(x) = \sqrt{x} \). \(x = 0 \)-ээс \(x = 4 \) хүртэл \(f(x) \)-ийн тодорхойгүй интегралыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
1-р алхам: \( f(x) = \sqrt{x} \)-ийн эсрэг уламжлал \( F(x) \)-г ол.
\[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \]
Интегралын үндсэн дүрмийг ашиглана уу:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] гэсэн утгатай.
Тэгэхээр:
\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
Тэгэхээр, \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Алхам 2: Өгөгдсөн интеграл хязгаарууд дээр \( F(x) \)-ийн утгыг тооцоол.
\[ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = F(4) – F(0) \]
\[ = \зүүн( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \right) – \зүүн( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
\[ = \frac{16}{3} \]
Тиймээс интегралын утга нь \( \frac{16}{3} \) байна.
Жишээ асуулт 4: Бутархай функцтэй интегралчлал
Асуулт:
\(x = 1 \)-ээс \(x = 3 \) хүртэл \(f(x) = \frac{2}{x} \)-г интегралчил.
Хэлэлцүүлэг:
1-р алхам: \(f(x) = \frac{2}{x} \)-ийн эсрэг уламжлал \(F(x) \)-г ол.
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx \]
Бид үүнийг мэднэ:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
Тэгэхээр:
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| +C\]
Мөн \( F(x) = 2 \ln |x| \).
Алхам 2: Өгөгдсөн интеграл хязгаарууд дээр \( F(x) \)-ийн утгыг тооцоол.
\[ \int_1^3 \frac{2}{x} \, dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3| – 2 \ln |1| \]
\[ = 2 \ln 3 – 2 \ln 1 \]
\[ = 2 \ln 3 – 0 \]
\[ = 2 \ln 3 \]
Тиймээс интегралын утга нь \( 2 \ln 3 \) байна.
Жишээ 5: Тригонометрийн функцийн интеграл
Асуулт:
\(x = 0 \)-ээс \(x = \pi \) хүртэл \(f(x) = \sin x \)-г интегралчил.
Хэлэлцүүлэг:
1-р алхам: \( f(x) = \sin x \)-ийн эсрэг уламжлал \( F(x) \)-г ол.
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Мөн \( F(x) = -\cos x \).
Алхам 2: Өгөгдсөн интеграл хязгаарууд дээр \( F(x) \)-ийн утгыг тооцоол.
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = F(\pi) – F(0) \]
\[ = -\cos(\pi) – (-\cos(0)) \]
\[ = -(-1) – (-1) \]
\[ = 1 – (-1) \]
\[ = 1 + 1 \]
\[ = 2 \]
Тиймээс интеграл утга нь 2 байна.
Дүгнэлт
Тооцооллын үндсэн теорем нь тооцоолол болон ерөнхийдөө математикийн хүчирхэг хэрэгсэл юм. Уламжлалт болон интегралуудыг холбосноор энэхүү теорем нь муруйн доорх талбайг тооцоолж, функцийн өөрчлөлтийг илүү гүнзгий ойлгох боломжийг бидэнд олгодог. Энэхүү теоремыг практикт ойлгож, хэрэгжүүлэх нь тооцоололд чадварлаг болохын тулд гол түлхүүр юм. Энэ нийтлэл нь Тооцооллын үндсэн теоремоор юу хийж болохыг зөвхөн өнгөцхөн харуулсан боловч хамгийн үндсэн математикийн ойлголтуудын нэгтэй хэрхэн ажиллах талаар тодорхой дүр зургийг өгөх болно гэж найдаж байна.
