Тойргийн тэгшитгэлийн талаарх хэлэлцүүлгийн асуултын жишээ
Тойргийн тэгшитгэл нь аналитик геометрийн чухал сэдэв юм. Тойргийн тэгшитгэлийг сайн ойлгох нь зөвхөн математикт төдийгүй янз бүрийн инженерчлэл, шинжлэх ухааны хэрэглээнд маш их хэрэгтэй байдаг. Энэ нийтлэлд бид тойргийн тэгшитгэлийн хэд хэдэн жишээ болон тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно. Зорилго нь тойргийн тэгшитгэлтэй холбоотой бодлогуудыг хэрхэн бодох талаар тодорхой бөгөөд цогц тойм өгөх явдал юм.
Тойргийн ерөнхий тэгшитгэл
Декартын координат дахь тойргийн хамгийн түгээмэл тэгшитгэл нь:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Хаана:
– \( (a, b) \) нь тойргийн төвийн координатууд юм.
– \( r \) нь тойргийн радиус юм.
Хэрэв тойргийн төв нь \( (0, 0) \) цэг дээр байвал тойргийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Одоо зарим жишээ асуудлууд болон тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзье.
Жишээ асуулт 1
Асуулт: Төв нь (3, -2) цэг дээр байрладаг бөгөөд 5 радиустай тойргийн тэгшитгэлийг тодорхойл.
Шийдэл:
Тойргийн тэгшитгэлийн ерөнхий томъёог ашиглана уу:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\( a = 3 \), \( b = -2 \), болон \( r = 5 \) утгуудыг орлуулна уу:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Тиймээс тойргийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Жишээ асуулт 2
Асуулт: Төв нь (0, 0) цэг дээр байрладаг бөгөөд 7 радиустай тойргийн тэгшитгэлийг тодорхойл.
Шийдэл:
Тойргийн төв нь гарал үүсэл дээр байрладаг тул бид энгийн тэгшитгэлийг ашиглаж болно:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
\(r = 7 \) утгыг орлуулна уу:
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Тиймээс тойргийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Жишээ асуулт 3
Асуулт: Төв нь (4, -5) цэг дээр байрладаг бөгөөд Y тэнхлэгтэй холбогддог тойргийн тэгшитгэлийг тодорхойл.
Шийдэл:
Y тэнхлэгтэй шүргэсэн тойрог гэдэг нь тойргийн төвөөс Y тэнхлэг хүртэлх зай нь түүний радиустай тэнцүү гэсэн үг юм. Энэ зай нь тойргийн төвийн X координатын абсолют утга юм. Тиймээс радиус нь 4 байна.
Тойргийн тэгшитгэлийн ерөнхий томъёог ашиглана уу:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\( a = 4 \), \( b = -5 \), болон \( r = 4 \) утгуудыг орлуулна уу:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Тиймээс тойргийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Жишээ асуулт 4
Асуулт: Тойрог нь \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \) тэгшитгэлтэй байна. Тойргийн төв ба радиусыг тодорхойл.
Шийдэл:
Энэ тэгшитгэлийг бодохын тулд бид үүнийг стандарт хэлбэрт хөрвүүлэх хэрэгтэй \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Үүнийг гүйцээх алхамууд дараах байдалтай байна:
1. Төгс квадратуудыг бүлэглэх ба бодох:
Анхны тэгшитгэл нь:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
\( x \) болон \( y \) бүлэг:
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Төгс квадратыг бод:
\( x^2 – 6x \ )-ийн хувьд:
\[ x^2 – 6x + 9 \]
\( y^2 + 4y \)-ийн хувьд:
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Тэгшитгэлийн хоёр талд 9 ба 4-ийг нэмнэ үү:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Тиймээс тойргийн тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ.
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Эндээс харахад тойргийн төв нь \( (3, -2) \), радиус нь \( r = \sqrt{25} = 5 \) байна.
Жишээ асуулт 5
Асуулт: (2, 3) болон (4, 5) цэгүүдийг дайран өнгөрөх, төв нь x = 3 шулуун дээр байрлах тойргийн тэгшитгэлийг тодорхойл.
Шийдэл:
Асуултаас харахад тойргийн төв нь (3, b) гэдгийг бид мэдэж байна. Тойрог нь мөн мэдэгдэж буй хоёр цэгээр дайран өнгөрдөг. Тойрог нь (2, 3) цэгээр дайран өнгөрдөг тул төвөөс энэ цэг хүртэлх зай нь радиус юм.
Тойргийн тэгшитгэл нь:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Орлуулах цэг (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Орлуулах цэг (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Хоёр тэгшитгэлээс бид (3 – b)^2 = (5 – b)^2 гэдгийг мэдэж байна. Тиймээс:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Хэрэв \(3 – b = 5 – b \) бол үр дүн нь үнэн байж болохгүй. Тиймээс:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
b = 4 үед тойргийн тэгшитгэл нь:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Гэсэн хэдий ч бид төв ба цэгийн хоорондох зайгаас r радиусыг тооцоолж болно (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Тойргийн тэгшитгэл нь:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Дүгнэлт
Тойргийн тэгшитгэлийг ойлгох нь олон математикийн бодлогыг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог. Тухайн тохиолдол бүрт төв болон радиусыг тодорхойлох нь маш чухал юм. Эдгээр жишээ бодлогууд болон тэдгээрийн тайлбарууд нь тодруулга өгч, тойргийн тэгшитгэлийг сурахад тусална гэж найдаж байна. Дадлага нь математикийг төгс болгодог тул ур чадвараа сайжруулахын тулд янз бүрийн бодлогуудыг туршиж үзэхээс бүү эргэлзээрэй.
