Вектороор скаляр үржүүлгийн жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Пендахулуан
Математик болон физикийн хичээл дээр скалярыг вектороор үржүүлэх нь үндсэн бөгөөд байнга хэрэглэгддэг үйлдэл юм. Энэхүү үржүүлэх нь геометр, механик, векторын шинжилгээний илүү нарийн төвөгтэй ойлголтуудыг боловсруулахад зайлшгүй шаардлагатай. Энэхүү нийтлэл нь скалярыг вектороор үржүүлэх тухай ойлголтыг тайлбарлах зорилготой бөгөөд ойлголтыг тодруулахын тулд жишээ, хэлэлцүүлгийг өгсөн болно.
Вектор ашиглан скаляр үржвэрийг ойлгох нь
Скалярыг вектороор үржүүлэх гэдэг нь скалярыг (ганц тоо) векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрээр үржүүлэх үйлдэл юм. Энэ үйлдлийн үр дүн нь анхны вектортой ижил чиглэлтэй боловч скаляраар өөрчлөгдсөн хэмжээтэй шинэ вектор юм. Ерөнхийдөө, хэрэв бидэнд \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) вектор ба скаляр \(k\) байвал тэдгээрийн үржвэр \(k \mathbf{v}\) нь дараах байдалтай байна.
\[
k \mathbf{v} = (k v_1, k v_2, k v_3)
\]
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1
Вектор \(\mathbf{v} = (3, -4, 5)\) ба скаляр \(k = 2\) гэж үзье. Скаляр ба векторын үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг 1
Вектороор скаляр үржвэрийн тодорхойлолтыг ашиглан:
\[
k \mathbf{v} = 2 \cdot (3, -4, 5)
\]
Тооцооллын алхамууд дараах байдалтай байна.
\[
k \mathbf{v} = (2 \cdot 3, 2 \cdot -4, 2 \cdot 5)
\]
\[
k \mathbf{v} = (6, -8, 10)
\]
Тэгэхээр, скаляр \(2\)-ийн \((3, -4, 5)\) векторын үржвэр нь \((6, -8, 10)\) байна.
Асуулт 2
Хэрэв вектор \(\mathbf{w} = (-1, 0, 7)\) ба скаляр \(k = -3\) байвал скаляр үржвэрийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг 2
Өмнөхтэй адил томъёог ашиглан:
\[
k \mathbf{w} = -3 \cdot (-1, 0, 7)
\]
Тооцооллын алхамууд дараах байдалтай байна.
\[
k \mathbf{w} = (-3 \cdot -1, -3 \cdot 0, -3 \cdot 7)
\]
\[
k \mathbf{w} = (3, 0, -21)
\]
\(-3\) скалярын \(-1, 0, 7)\) векторын үржвэр нь \((3, 0, -21)\) байна.
Асуулт 3
Вектор байна. Хэрэв векторыг скаляр √ ...
Хэлэлцүүлэг 3
Үүнтэй ижил томъёог ашиглан:
\[
k \mathbf{u} = \frac{1}{2} \cdot (2, -1, 4)
\]
Тооцооллын алхамууд дараах байдалтай байна.
\[
k \mathbf{u} = \left(\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot -1, \frac{1}{2} \cdot 4\right)
\]
\[
k \mathbf{u} = (1, -0.5, 2)
\]
Тэгэхээр, скаляр \(\frac{1}{2}\)-ийн \((2, -1, 4)\) векторын үржвэр нь \((1, -0.5, 2)\) байна.
Асуулт 4
Вектор \(\mathbf{a} = (6, 8, -3)\) ба скаляр \(k = 0\) өгөгдсөн. Тэдний үржвэрийг ол.
Хэлэлцүүлэг 4
Вектортой скаляр үржүүлэх томъёог ашиглан:
\[
k \mathbf{a} = 0 \cdot (6, 8, -3)
\]
Тооцооллын алхамууд дараах байдалтай байна.
\[
k \mathbf{a} = (0 \cdot 6, 0 \cdot 8, 0 \cdot -3)
\]
\[
k \mathbf{a} = (0, 0, 0)
\]
скаляр \(0\)-ийн скаляр \((6, 8, -3)\) векторын үржвэр нь \((0, 0, 0)\) байна. Энэ нь векторыг скаляр \(0\)-ээр үржүүлэхэд тэг вектор гарна гэдгийг харуулж байна.
Асуулт 5
\(\mathbf{b} = (7, -2, 3)\) ба \(\mathbf{c} = (-5, 4, 6)\) гэсэн хоёр вектор байгаа гэж үзье. \(4\)-ийн скаляр үржвэрийг хоёр векторын нийлбэрээр тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг 5
Эхний алхам бол хоёр векторыг нэмэх явдал юм:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7, -2, 3) + (-5, 4, 6)
\]
Векторын нэмэлтийг харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх замаар гүйцэтгэнэ:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7 + (-5), -2 + 4, 3 + 6)
\]
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (2, 2, 9)
\]
Дараагийн алхамд үр дүнг скаляр \(4\)-аар үржүүлнэ үү:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = 4 \cdot (2, 2, 9)
\]
Тооцооллын алхамууд нь:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (4 \cdot 2, 4 \cdot 2, 4 \cdot 9)
\]
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (8, 8, 36)
\]
Тэгэхээр, \(4\)-ийн скаляр үржвэр ба хоёр векторын нийлбэр нь \((8, 8, 36)\) байна.
Дүгнэлт
Скалярыг вектороор үржүүлэх нь шинжлэх ухааны олон салбарт энгийн боловч үндсэн үйлдэл юм. Скалярыг векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрээр үржүүлснээр бид векторын хэмжээг чиглэлийг нь өөрчлөхгүйгээр хялбархан өөрчилж чадна. Энэ нийтлэлд уг ойлголтыг тайлбарлаж, энэ үйлдэл хэрхэн ажилладагийг тодруулах жишээ, шийдлүүдийг өгсөн болно. Энэхүү үндсэн үйлдлийг ойлгох нь математик, физикийн илүү дэвшилтэт ойлголтуудыг эзэмшихэд хялбар болгоно.
Энэхүү нийтлэл болон жишээ асуултуудын тусламжтайгаар уншигчид вектороор скаляр үржвэрийг илүү сайн ойлгож, бодит нөхцөл байдал, бодлогод хэрэгжүүлж чадна гэж найдаж байна.
