Векторын хасах жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Пендахулуан
Математик, физикийн чиглэлээр векторууд нь олон байгалийн болон инженерийн үзэгдлийг тайлбарлахад хэрэглэгддэг үндсэн ойлголт юм. Вектор гэдэг нь хэмжээ ба чиглэл хоёулаа байдаг хэмжигдэхүүн юм. Векторуудын зарим чухал жишээ бол шилжилт, хурд, хурдатгал, хүч юм. Энэ нийтлэлд бид векторын хасалтыг авч үзэх боловч энэ сэдвийг векторын хослолын хүрээнд ихэвчлэн онцолдог.
Векторын хасалт нь векторын шинжилгээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг үндсэн үйлдэл юм. Энэ ойлголтыг илүү гүнзгий судлахын тулд векторын хасалттай холбоотой зарим жишээ бодлого, хэлэлцүүлгийг авч үзье.
Векторын хасалт
Векторын хасалтыг {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} гэж тодорхойлдог бөгөөд үүнийг {\displaystyle -\mathbf{B}} вектортой {\displaystyle \mathbf{A}} векторыг нэмэх үйлдэл гэж тодорхойлдог бөгөөд энд {\displaystyle -\mathbf{B}} нь {\displaystyle \mathbf{B}}-тэй ижил хэмжээтэй боловч эсрэг чиглэлтэй вектор юм. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичиж болно:
{\ displaystyle \ mathbf {A} – \ mathbf {B} = \ mathbf {A} + (-\ mathbf {B})}
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1: Хоёр хэмжээст векторыг хасах
Декартын координатад хоёр вектор байна гэж бодъё:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} ба {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} гэж тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний алхам бол {\displaystyle \mathbf{B}}-ийн сөрөг векторыг олох явдал юм, тухайлбал:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Дараа нь {\displaystyle -\mathbf{B}}-тэй {\displaystyle \mathbf{A}} векторыг нэмнэ үү:
{\ displaystyle \ mathbf {A} – \ mathbf {B} = (4, 3) + (-1, -2)}
x ба y бүрэлдэхүүн бүрийг нэмж векторын нэмэлтийг гүйцэтгэнэ үү:
{\ displaystyle \ mathbf {A} – \ mathbf {B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\ displaystyle \ mathbf {A} – \ mathbf {B} = (3, 1)}
Тэгэхээр, {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} векторуудыг хассаны үр дүн нь (3, 1) вектор юм.
Асуулт 2: Гурван хэмжээст векторуудыг хасах
Гурван хэмжээст координатад хоёр вектор өгөгдсөн:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} ба {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} гэж тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний алхам бол {\displaystyle \mathbf{Q}}-ийн сөрөг векторыг олох явдал юм:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Дараа нь {\displaystyle -\mathbf{Q}} бүхий {\displaystyle \mathbf{P}} векторыг нэмнэ үү:
{\ displaystyle \ mathbf {P} – \ mathbf {Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
x, y, болон z бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмж векторын нэмэлтийг гүйцэтгэнэ үү:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\ displaystyle \ mathbf {P} – \ mathbf {Q} = (5, -9, -1)}
Тэгэхээр, {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} векторуудыг хассаны үр дүн нь (5, -9, -1) вектор юм.
Асуулт 3: Комплекс хавтгай дахь векторын хасалт
Комплекс тоонуудаар илэрхийлэгдсэн хоёр вектор байна гэж үзье:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} ба {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i} гэж тооцоол. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} гэж тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний алхам бол {\displaystyle \mathbf{N}}-ийн сөрөг векторыг олох явдал юм:
{\ displaystyle -\ mathbf {N} = -1 – 2i}
Дараа нь {\displaystyle -\mathbf{N}} бүхий {\displaystyle \mathbf{M}} векторыг нэмнэ үү:
{\ Displaystyle \ mathbf {M} – \ mathbf {N} = (3 + 4i) + (-1 - 2i)}
Бодит болон төсөөллийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмж векторын нэмэлтийг гүйцэтгэнэ үү:
{\ displaystyle \ mathbf {M} – \ mathbf {N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Тэгэхээр, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} векторуудыг хассаны үр дүн нь 2 + 2i комплекс тоо болно.
Асуулт 4: Туйлын координатын систем дэх векторын хасалт
Туйлын координатад хоёр вектор байна гэж бодъё:
{\displaystyle \mathbf{U}} нь 5-ын хэмжээтэй, 30° өнцөгтэй,
мөн {\displaystyle \mathbf{V}} нь 3-ын хэмжээтэй ба 150° өнцөгтэй.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}-г тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний алхам бол {\displaystyle \mathbf{U}} болон {\displaystyle \mathbf{V}} векторуудыг Декартын координат руу хөрвүүлэх явдал юм.
{\displaystyle \mathbf{U}}-д:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Тэгэхээр Декартын хэл дээрх {\displaystyle \mathbf{U}} нь (4.33, 2.5) байна.
{\displaystyle \mathbf{V}}-ийн хувьд:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Тэгэхээр Декартын хэл дээрх {\displaystyle \mathbf{V}} нь (-2.598, 1.5) байна.
Дараагийн алхамд Декарт хэл дээрх векторын хасалтыг тооцоолно уу:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Энэ нь векторын сөрөг тоог нэмэх гэсэн үг юм:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Тэгэхээр, Декартын координатад {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} векторыг хассаны үр дүн нь (6.928, 1) байна.
Дүгнэлт
Векторын хасалт нь векторын шинжилгээг ашигладаг олон салбарт чухал математикийн үйлдэл юм. Хоёр хэмжээст, гурван хэмжээст, нарийн төвөгтэй эсвэл туйлын координатын системд үндсэн зарчим нь хэвээрээ байна: нэг векторыг нөгөөгийнх нь сөрөг тоон дээр нэмэх. Дээрх жишээнүүд нь энэ үйлдлийг өөр өөр нөхцөлд хэрэгжүүлэх янз бүрийн аргыг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь бидэнд уг ойлголтыг илүү гүнзгий, практик байдлаар ойлгоход тусалдаг.
