Параллелограмм аргыг ашиглан хоёр векторыг нэмэх тухай хэлэлцэх жишээ асуулт
Векторын нэмэлт нь физик, математикийн чухал ойлголт бөгөөд байгалийн үзэгдэл болон өдөр тутмын амьдралын асуудлуудыг тодорхойлоход ихэвчлэн ашиглагддаг. Хоёр векторыг нэмэх хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь параллелограмм арга юм. Энэ арга нь зөвхөн ойлгомжтой төдийгүй хоёр вектор хэрхэн нэгдэж үр дүнгийн вектор үүсгэдэгийг хүчирхэг дүрслэлээр хангадаг. Энэ нийтлэлд бид параллелограмм аргыг ашиглан векторын нэмэлтийн хэд хэдэн жишээг тэдгээрийн шийдлүүдтэй хамт авч үзэх болно.
Вектор гэж юу вэ?
Жишээ бодлогуудыг авч үзэхээсээ өмнө бид векторын үндсэн тодорхойлолтыг ойлгох хэрэгтэй. Вектор гэдэг нь хэмжээ (урт) ба чиглэлтэй хэмжигдэхүүн юм. Векторын сонгодог жишээнд хурд, хурдатгал, хүч, шилжилт орно. Векторыг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд (i, j, k)-ээр Декартын координатаар эсвэл урт ба чиглэл (өнцөг)-ээр илэрхийлж болно.
Параллелограммын арга
Параллелограммын арга нь хоёр векторыг нэмэх нэг арга юм. Энэ аргаар бид хоёр векторыг параллелограммын хоёр тал болгон дүрсэлдэг. Үр дүнгийн вектор нь хоёр векторын эхлэлийн цэгээс эхлэн параллелограммын диагональ юм. Математикийн хувьд, хэрэв бидэнд хоёр вектор \(\vec{A}\) ба \(\vec{B}\) байвал үр дүн нь \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) байна.
Параллелограмм аргыг ашиглах алхам алхмаар арга нь дараах байдалтай байна.
1. Эхлэл цэгээс \(\vec{A}\) векторыг зур.
2. \(\vec{A}\) векторын төгсгөлөөс \(\vec{B}\) векторыг зур.
3. \(\vec{A}\) эхлэх цэгээс \(\vec{B}\) вектортой параллель шулуун зур.
4. \(\vec{B}\) векторын төгсгөлөөс \(\vec{A}\) вектортой параллель шулуун зур.
5. Үр дүнгийн вектор \(\vec{R}\)-г авахын тулд эхлэх цэгээс эсрэг булан хүртэл диагональ зур.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1
Бидэнд \(\vec{A}\) ба \(\vec{B}\) гэсэн хоёр вектор байгаа гэж үзье:
– \(\vec{A}\) нь 5 нэгж урт (магнитуд) ба 0° чиглэлтэй (эсвэл эерэг x тэнхлэгийн дагуу),
– \(\vec{B}\) нь 3 нэгж урттай ба 90° чиглэлтэй (эсвэл эерэг y тэнхлэгийн дагуу).
Параллелограмм аргыг ашиглан эдгээр хоёр векторыг нэмэхэд ямар үр дүн гарах вэ?
Хэлэлцүүлэг:
1. 5 нэгж урттай эерэг x тэнхлэгийн дагуу \(\vec{A}\) векторыг зур.
2. \(\vec{A}\) векторын төгсгөлөөс \(\vec{B}\) векторыг эерэг y тэнхлэгийн дагуу 3 нэгжийн урттайгаар зур.
3. \(\vec{A}\) эхлэх цэгээс \(\vec{B}\)-тэй параллель шулуун зур.
4. \(\vec{B}\)-ийн төгсгөлөөс \(\vec{A}\)-тэй параллель шугам зур.
5. Үр дүн нь үр дүнгийн вектор \(\vec{R}\) болох диагональтай параллелограмм юм.
\(\vec{A}\) ба \(\vec{B}\) нь бие биендээ перпендикуляр тул бид үр дүнгийн векторын уртыг тооцоолоход Пифагорын теоремыг ашиглаж болно:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
Үр дүнгийн векторын чиглэлийг тригонометр ашиглан тооцоолж болно. Хэрэв \(\theta\) нь үр дүнгийн болон \(\vec{A}\-ийн хоорондох өнцөг бол:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
тиймээс:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Тиймээс үүссэн вектор \(\vec{R}\) нь ойролцоогоор 5.83 нэгжийн хэмжээтэй бөгөөд \(\vec{A}\)-ээс ойролцоогоор 30.96° чиглэлтэй байна.
Асуулт 2
\(\vec{C}\) болон \(\vec{D}\) гэсэн хоёр векторыг дараах байдлаар өгнө:
– 4 нэгжийн урттай, 45° чиглэлтэй \(\vec{C}\).
– 6 нэгжийн урттай, 120° чиглэлтэй \(\vec{D}\).
Хоёр векторын нийлбэрээс үүссэн векторыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Бие биендээ перпендикуляр биш эсвэл өөр хэлбэртэй хоёр вектор нэмэхийн тулд та Декартын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ашиглаж болно.
1. \(\vec{C}\) болон \(\vec{D}\)-г x ба y бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задална.
\(\vec{C}\)-ийн хувьд:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\(\vec{D}\)-ийн хувьд:
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
2. Хоёр векторын x ба y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмнэ үү:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Үр дүнгийн векторын хэмжээ болон чиглэлийг тооцоол \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \approx 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
Үр дүн нь сөрөг тул бид зөв квадрантын систем дэх өнцгийг авахын тулд 180° нэмнэ:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
Тэгэхээр, үүссэн вектор \(\vec{R}\) нь ойролцоогоор 8.03 нэгжийн хэмжээтэй, чиглэл нь ойролцоогоор 271.93° буюу дөрөв дэх квадрантын сөрөг x тэнхлэгээс 91.93° орчим гэж хэлж болно.
Хаах
Параллелограммын арга нь хоёр вектор нэмэх үр дүнтэй бөгөөд харааны арга юм. Энэ арга нь энгийн векторуудын хувьд энгийн мэт санагдаж болох ч илүү нарийн төвөгтэй векторуудын хувьд бид үнэн зөв үр дүнд хүрэхийн тулд Декартын бүрэлдэхүүн хэсгүүд болон илүү дэвшилтэт алгебрийн техникийг ашиглах шаардлагатай болдог гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Дээрх жишээнүүд нь энэ аргыг янз бүрийн нөхцөлд хэрхэн ашиглаж болохыг тодорхой харуулна гэж найдаж байна.
