Хавтгай хавтгайн талбайг тооцоолоход интегралуудыг хэрэглэх жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Математикийн заах арга зүйд интегралуудыг ихэвчлэн тооцоололд ашигладаг. Интегралын хамгийн алдартай хэрэглээний нэг бол муруй эсвэл хавтгай доорх талбайг тооцоолох явдал юм. Энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээ бодлогыг авч үзэх бөгөөд хавтгайн талбайг тооцоолоход интегралуудыг хэрхэн хэрэглэх талаар авч үзэх болно.
Онолын танилцуулга
Жишээ бодлого руу шилжихээсээ өмнө интеграл ашиглан муруйн доорх талбайг тооцоолох үндсэн ойлголтыг авч үзье. Хэрэв бидэнд [a, b] интервал дээр тасралтгүй f(x) функц байгаа бол x = a-аас x = b хүртэлх y = f(x) муруйн доорх талбай нь:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Геометрийн хувьд энэ нь бид x = a-аас x = b хүртэл маш нимгэн тэгш өнцөгтийн талбайг нэгтгэж байна гэсэн үг юм.
Жишээ асуулт 1
Soal
[1, 3] интервал дахь y = x² муруйн доорх талбайг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Талбайг тооцоолохын тулд бид интегралыг ашиглана:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Бид \(x^2 \)-ийн эсрэг уламжлалыг олохоос эхэлнэ. \(x^2 \)-ийн эсрэг уламжлал нь \( \frac{x^3}{3} \) байна. Тэгвэл интеграл нь дараах хэлбэртэй болно:
\[ L = \зүүн[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Бид интегралын хязгаарт антидеривативыг үнэлэх ёстой гэдгийг санаарай:
\[ L = \зүүн( \frac{3^3}{3} \right) – \зүүн( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \зүүн( \frac{27}{3} \right) – \зүүн( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Тэгэхээр, x = 1-ээс x = 3 хүртэлх y = x² муруйн доорх талбай нь:
\[ \frac{26}{3} \, \text{талбайн нэгж} \]
Жишээ асуулт 2
Soal
y = x³ муруй болон x = 1 ба x = 2 шугамаар хязгаарлагдсан бүсийн талбайг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг
Талбайг тооцоолохын тулд бид интегралыг ашиглана:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Ердийнх шигээ бид \(x^3 \)-ийн эсрэг уламжлалыг олохоос эхэлнэ. \(x^3 \)-ийн эсрэг уламжлал нь \( \frac{x^4}{4} \) байна. Интеграл нь дараах хэлбэртэй байна:
\[ L = \зүүн[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Интегралын хязгаарыг тооцоол:
\[ L = \зүүн( \frac{2^4}{4} \right) – \зүүн( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \зүүн( \frac{16}{4} \right) – \зүүн( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Тэгэхээр, x = 1-ээс x = 2 хүртэлх y = x³ муруйн доорх талбай нь:
\[ \frac{15}{4} \, \text{талбайн нэгж} \]
Жишээ асуулт 3
Soal
x = 0-ээс x = 1 хүртэлх интервал дахь y = x² + 1 ба y = 2x + 2 муруйнуудтай хязгаарлагдсан хэсгийн талбайг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг
Эхлээд бид интегралын хязгаарыг тодорхойлохын тулд огтлолцлын цэгүүдийг олох хэрэгтэй. \(x^2 + 1 = 2x + 2 \)-ийн шийдэл:
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Квадрат томъёог ашиглан:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Гэсэн хэдий ч 0 ба 1 хоорондох дээд ба доод хязгаарын хувьд бид квадрат шийдлийг ашиглах шаардлагагүй, зүгээр л 0-ээс 1 хүртэлх ердийн интеграл хязгаарыг ашиглана. Дараа нь эдгээр хязгаарын дагуу дээд y муруйн талбайг доод y муруйн хассан дүнг тооцоолно уу:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Функцийг хялбаршуулах:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Дараа нь бид антидеривативыг олно:
\( (-x^2) \)-ийн эсрэг уламжлал нь \( -\frac{x^3}{3} \),
\( (2x) \)-ийн эсрэг уламжлал нь \( x^2 \),
\( (1) \)-ийн эсрэг уламжлал нь \( x \) байна.
Тэгэхээр,
\[ L = \зүүн. \зүүн(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Дараагийн үнэлгээ:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Тэгэхээр, [0, 1] интервал дээрх y = x² + 1 болон y = 2x + 2 муруйгаар хязгаарлагдсан хэсгийн талбай нь:
\[ \frac{5}{3} \, \text{талбайн нэгж} \]
-
Дээрх жишээнүүдээс бид муруйн доорх эсвэл хоёр муруйн хоорондох талбайг тооцоолоход интегралуудыг хэрхэн ашиглаж болохыг харж болно. Интегралын үндсэн ойлголтууд болон антидеривативын техникүүдийг зөв ойлгосноор эдгээр талбайг тооцоолох нь маш системчилсэн бөгөөд үр дүнтэй болдог. Энэ нийтлэл нь интегралуудыг бодит ертөнцөд, ялангуяа хавтгай гадаргуугийн талбайг хэмжих салбарт хэрэглэх талаарх бидний ойлголтыг нэмэгдүүлсэн гэж найдаж байна.
