Тойрог ба шүргэлтийн талаарх жишээ асуултууд
Тойрог нь матрицын геометрийн чухал сэдэв бөгөөд зай, өнцөг, хэлбэрийн талаарх гүнзгий ойлголтуудыг харуулдаг. Энэ сэдвээр байнга хэлэлцдэг нэг ойлголт бол тойрог руу чиглэсэн шүргэгч шугам юм. Энэ нийтлэлд бид тойрог ба шүргэгчтэй холбоотой хэд хэдэн жишээ бодлогыг авч үзэх болно.
Тойрог ба шүргэлтийн үндсэн ойлголтууд
Тойрог
Тойрог гэдэг нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн цэгээс тогтмол зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлогоос үүссэн геометрийн дүрс юм. Энэ тогтмол зайг тойргийн радиус гэж нэрлэдэг.
Тангенс
Тойрог руу чиглэсэн шүргэгч гэдэг нь тойрогт яг нэг цэг дээр хүрдэг шугам юм. Энэ цэгийг шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг. Шүргэгч нь дараах хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг.
– Шүргэлтийн шугам нь шүргэлтийн цэг дээрх тойргийн радиустай үргэлж перпендикуляр байна.
– Тойргийн гаднах цэгээс тойрог хүртэлх шүргэгчийн урт нь тухайн цэгээс хоёр шүргэгч татвал ижил байна.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Доор бид тойрог ба шүргэгч гэсэн ойлголтыг нарийвчлан авч үзсэн хэд хэдэн жишээ асуултыг өгөх болно.
Жишээ асуулт 1: Шүргэгч шугамын уртыг олох
Асуулт:
Төв нь \(O\) ба радиус нь \(r = 6\, \text{cm}\ бүхий тойрог өгөгдсөн. Тойргийн гаднах, тойргийн төвөөс 10 см зайд орших \(P\) цэгээс тойрог руу хоёр шүргэгч \(PA\) ба \(PB\) зурсан. Шүргэгчийн уртыг \(PA\) тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ бодлогод бид Пифагорын теоремыг ашиглаж болно. \(\triangle OAP\) гурвалжин зур:
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (тойргийн гаднах цэгээс төв хүртэлх зай)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (тойргийн радиус)
– \(PA\) нь олдох ёстой шүргэгч шугам юм.
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Тэгэхээр, шүргэгч шугамын урт (PA) нь 8 см байна.
Жишээ асуулт 2: Шүргэлтийн цэгийг олох
Асуулт:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) тэгшитгэлтэй тойрог болон \(y = 2x + 1\) шулуун өгөгдсөн. Тойрог ба шулуун шугамын хоорондох шүргэлтийн цэгийг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд бид тойргийн төв ба радиусыг тодорхойлно:
– Төв \(O(3, 4)\)
– Радиус \(r = \sqrt{25} = 5\)
Тангенцийн цэгийг олохын тулд тангенцийн цэг нь \(T(x_1, y_1)\) бөгөөд энэ нь \(y = 2x + 1\ шулуун дээр оршдог гэж үзье. Тэгвэл:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) нь мөн тойргийн тэгшитгэлийг хангах ёстой:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Тойргийн тэгшитгэлд \(y_1 = 2x_1 + 1\)-г орлуулна уу:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Бид хоёр квадратыг тооцоолох хэрэгтэй.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Хоёр үр дүнг нэгтгэ:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Хоёр талаас 25-ыг хас:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Квадрат тэгшитгэлийг бод:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
\(y_1\)-ийн утгыг тооцоол:
Энэ нь y = 2x + 1-ийг хангана:
– Хэрэв \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) бол \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\) байна.
– Хэрэв \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) бол \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\) байна.
Үнэлгээ:
Тиймээс бид тойргийн тэгшитгэлийн тэр шугамтай огтлолцох хоёр цэгийг олж авна.
Жишээ асуулт 3: Шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлох
Асуулт:
\((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\ тэгшитгэлтэй тойрог өгөгдсөн. \((6, 7)\) цэгээр дайран өнгөрөх тойрогтой шүргэсэн шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Мэдэгдэж буй гадаад цэгээс төв нь \((h, k)\) ба радиус нь \(r\) тойрог руу чиглэсэн тангенсыг дараах тэгшитгэлээр олж болно:
Шүргэгч шулуун нь гадаад цэг \((x_1, y_1)\)-ээр дайран өнгөрдөг:
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
\((6, 7)\) гадна цэгийг орлуулна уу:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Тангенс шугамын тэгшитгэл нь:
\[
x + y = 9
\]
Тиймээс тойргийн шугамын цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын тэгшитгэлийн хэлбэлзэл маш том бөгөөд үр дүн эсвэл дүрслэлээс хамааран өөрчлөгдөж болно.
Дүгнэлт
Тойрог ба шүргэгчийн тухай хэлэлцүүлэг нь Пифагорын теорем гэх мэт үндсэн томъёог хэрэглэхээс эхлээд квадрат тэгшитгэлийг бодох хүртэл математикийн хэд хэдэн үндсэн талыг хамардаг. Эдгээр жишээнүүдээр дамжуулан бид эдгээр ойлголтуудыг нэлээд төвөгтэй нөхцөл байдалд хэрхэн хэрэгжүүлэх талаар илүү сайн ойлголттой болж чадна. Энэ нийтлэл нь тойрог ба шүргэгчтэй холбоотой асуудлуудад хэрхэн хандах, шийдвэрлэх талаар тодорхой дүр зургийг гаргахад тусалсан гэж найдаж байна.
