Хэвийн тархалтын функцийн жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Гауссын тархалт гэгддэг хэвийн тархалт нь статистик болон өгөгдлийн шинжилгээний хамгийн үндсэн магадлалын тархалтын нэг юм. Энэхүү тархалт нь дундаж утгын эргэн тойронд тэгш хэмтэй хонхны муруйгаар тодорхойлогддог бөгөөд өгөгдлийн тархалт нь түүний эргэн тойрон дахь утгуудын стандарт хазайлтыг тусгадаг. Хэвийн тархалт нь дүгнэлтийн статистикийн олон ойлголтын үндэс суурь бөгөөд эдийн засаг, сэтгэл судлал, нийгмийн шинжлэх ухаан зэрэг янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг.
Энэ нийтлэлд бид хэвийн тархалтын функцийг илүү сайн ойлгохын тулд зарим жишээ бодлого болон тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Хэвийн тархалтын үндсэн ойлголтууд
Хэвийн тархалтыг хоёр үндсэн параметрээр тодорхойлно:
1. Дундаж (μ): Өгөгдлийн багцын дундаж.
2. Стандарт хазайлт (σ): Өгөгдлийн тархалт дунджийн орчимд хэр байгааг хэмждэг.
Хэвийн тархалтын магадлалын нягтралын функц нь:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Хэвийн тархалтыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх зарим үндсэн алхмуудыг энд оруулав.
1. Z утгыг тодорхойлох: Z утга нь өгөгдөл нь стандарт хазайлтын нэгжээр илэрхийлсэн дундаж утгаас хэр хол байгааг хэмждэг бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. Z хүснэгтийг ашиглах нь: Z хүснэгт эсвэл стандарт хэвийн тархалтын хүснэгтийг тодорхой Z утгаас доогуур эсвэл дээш байх магадлал эсвэл өгөгдлийн хувийг олоход ашигладаг.
Хэвийн тархалтын жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Асуулт 1
Ангийн математикийн шалгалтын дундаж оноо 70, стандарт хазайлт нь 10 байна. Хэрэв шалгалтын оноо хэвийн тархалттай бол сурагчдын хэдэн хувь нь 85-аас дээш оноо авсан бэ?
Хэлэлцүүлэг:
1. Z-оноог тодорхойлох: Эхлээд X = 85 байх үед Z-оноог тооцоолно уу.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Z хүснэгтийг харах нь: Бид Z хүснэгтээс Z = 1.5-ын магадлалын утгыг хайна. Z = 1.5-ын магадлалын утга нь 0.9332 байна. Энэ нь утгуудын 93.32% нь Z = 1.5-аас доогуур байна гэсэн үг юм.
3. Хувь хэмжээг тооцоолох: Бид 85-аас дээш оноо авсан оюутнуудын хувийг тооцоолох шаардлагатай тул 1 – 0.9332 = 0.0668 гэж тооцоолно.
Тиймээс сурагчдын 6.68% нь 85-аас дээш оноо авсан.
Асуулт 2
Тухайн улсын насанд хүрсэн эрэгтэйчүүдийн өндөр нь дундаж нь 175 см, стандарт хазайлт нь 6 см гэсэн хэвийн тархалтыг дагадаг. 170 см-ээс 180 см-ийн хооронд өндөртэй эрчүүдийн хувийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
1. 170 см-ийн Z-оноог тодорхойлно уу:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \approx -0.83 \]
2. 180 см-ийн Z-оноог тодорхойлно уу:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \ойролцоогоор 0.83 \]
3. Z хүснэгтийг харах:
– Z = -0.83 байх магадлал нь 0.2033 байна.
– Z = 0.83 байх магадлал нь 0.7967 байна.
4. Хувь хэмжээг тооцоолох нь:
– 170 см-ээс 180 см-ийн хоорондох өндрийн магадлал 0.7967 – 0.2033 = 0.5934 байна.
– Тэгэхээр эрчүүдийн 59.34% нь 170-180 см өндөртэй байна.
Асуулт 3
IQ тест нь дундаж нь 100, стандарт хазайлт нь 15 гэсэн хэвийн тархалтыг ашигладаг. 85 дахь перцентильд ямар оноо багтдаг вэ?
Хэлэлцүүлэг:
1. 85 дахь перцентилийн Z утгыг олох: Z хүснэгтээс эсвэл тооны машин ашиглан 85 дахь перцентил нь Z = 1.04-тэй тохирч байна.
2. IQ оноог тооцоолох нь:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = 1.04 \15 + 100-г үржүүлнэ \]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
Тиймээс 85 дахь хувь дотор багтах IQ оноо нь 115.6 орчим байна.
Асуулт 4
Хэрэв ахлах сургуулийн сурагчдын танин мэдэхүйн тестийн дундаж оноо 65, стандарт хазайлт нь 12 гэж мэдэгдэж байгаа бол 25 дахь перцентилд ямар оноо багтах вэ?
Хэлэлцүүлэг:
1. 25 дахь перцентилийн Z утгыг олох: Z хүснэгтээс эсвэл тооны машин ашиглан 25 дахь перцентилийн Z нь ойролцоогоор -0.674 байна.
2. Шалгалтын оноог тооцоолох:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = -0.674 \үргэлт 12 + 65 \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \ойролцоогоор 56.912 \]
Тэгэхээр, 25 дахь хувь хэмжээнд байгаа утга нь 56.912 орчим байна.
Дүгнэлт
Хэвийн тархалт нь статистикийн чухал ойлголт бөгөөд өгөгдлийг магадлалын үүднээс шинжлэх, ойлгох боломжийг олгодог. Хэвийн тархалтын аргыг ашиглан бид хувийг тооцоолж, хувь дээр үндэслэн тодорхой утгыг тодорхойлж, өгөгдлийг дундажтай харьцуулж чадна.
Хэвийн тархалтын бодлогуудыг бодох нь зөвхөн шалгалт болон эрдэм шинжилгээний судалгаанд ашигтай төдийгүй сэтгэл судлал, бизнес, нийгмийн ухаан зэрэг бодит амьдралын олон салбарт практик хэрэглээтэй байдаг. Дээрх жишээ, хэлэлцүүлгээр дамжуулан та хэвийн тархалтын функц болон түүнийг янз бүрийн нөхцөлд хэрхэн хэрэгжүүлэх талаар илүү сайн ойлголттой болно гэж найдаж байна.
