ສູດເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ

ສູດເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ: ບັນຫາແນວຄວາມຄິດ, ວິທີການ, ແລະຕົວຢ່າງ

ເວັກເຕີ ແມ່ນປະລິມານທີ່ມີທັງຂະໜາດ ແລະ ທິດທາງ. ໃນຟີຊິກສາດ ແລະ ຄະນິດສາດ, ເວັກເຕີມັກຖືກໃຊ້ເພື່ອອະທິບາຍປະກົດການຕ່າງໆເຊັ່ນ: ຄວາມໄວ, ແຮງ, ແລະ ການຍ້າຍບ່ອນ. ການຄິດໄລ່ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ, ຜົນບວກຂອງເວັກເຕີສອງຕົວ ຫຼື ຫຼາຍກວ່ານັ້ນ, ເປັນທັກສະທີ່ສຳຄັນທີ່ມັກໃຊ້ໃນການໃຊ້ງານທາງວິທະຍາສາດ ແລະ ເຕັກນິກຕ່າງໆ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງເວັກເຕີ, ວິທີການຄິດໄລ່ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ, ແລະ ໃຫ້ບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງເພື່ອຊີ້ແຈງຄວາມເຂົ້າໃຈ.

ເຂົ້າໃຈເວັກເຕີ ແລະ ເວັກເຕີຜົນໄດ້ຮັບ

vector

ເວັກເຕີ ແມ່ນໜ່ວຍງານທາງຄະນິດສາດທີ່ມີລັກສະນະຫຼັກສອງຢ່າງຄື:
1. ຂະໜາດ: ຂະໜາດຂອງຄ່າເວັກເຕີ.
2. ທິດທາງ: ທິດທາງຂອງເວັກເຕີສະແດງເຖິງທິດທາງຂອງເວັກເຕີໃນອະວະກາດ.

ເວັກເຕີມັກຖືກສະແດງເປັນລູກສອນ, ບ່ອນທີ່ຄວາມຍາວຂອງລູກສອນສະແດງເຖິງຂະໜາດ ແລະ ທິດທາງຂອງລູກສອນສະແດງເຖິງທິດທາງຂອງເວັກເຕີ.

ເວັກເຕີຜົນໄດ້ຮັບ

ເວັກເຕີຜົນໄດ້ຮັບແມ່ນເວັກເຕີດຽວທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງການລວມກັນຂອງສອງຫຼືຫຼາຍກວ່າເວັກເຕີ. ຂະບວນການຂອງການເພີ່ມເວັກເຕີຍັງເປັນທີ່ຮູ້ຈັກກັນໃນນາມ "ການບວກເວັກເຕີ". ມີຫຼາຍວິທີທີ່ສາມາດໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ເວັກເຕີຜົນໄດ້ຮັບ, ລວມທັງວິທີການກຣາບຟິກ ແລະ ການວິເຄາະ.

ວິທີການຄິດໄລ່ຜົນໄດ້ຮັບຂອງເວັກເຕີ

ວິທີການກຣາບຟິກ

ວິທີການກຣາບຟິກກ່ຽວຂ້ອງກັບການເປັນຕົວແທນເວັກເຕີໃນລັກສະນະເລຂາຄະນິດ ແລະ ການໃຊ້ກົດຂອງການບວກເວັກເຕີເພື່ອຊອກຫາຜົນໄດ້ຮັບ. ສອງກົດຫຼັກຂອງວິທີການກຣາບຟິກແມ່ນ:

1. ວິທີການສາມຫຼ່ຽມ: ໃນວິທີການນີ້, ເວັກເຕີທີສອງຖືກແຕ້ມມາຈາກຈຸດສິ້ນສຸດຂອງເວັກເຕີທຳອິດ. ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບແມ່ນເວັກເຕີທີ່ແຕ້ມຈາກຈຸດເລີ່ມຕົ້ນຂອງເວັກເຕີທຳອິດໄປຫາຈຸດສິ້ນສຸດຂອງເວັກເຕີທີສອງ.
2. ວິທີການຮູບຫຼາຍຫຼ່ຽມ: ວິທີການນີ້ໃຊ້ເພື່ອບວກເວັກເຕີຫຼາຍກວ່າສອງຕົວ. ເວັກເຕີຖືກແຕ້ມຕາມລຳດັບຈາກຈຸດເລີ່ມຕົ້ນຫາຈຸດສິ້ນສຸດ, ແລະເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບແມ່ນເວັກເຕີທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນຂອງເວັກເຕີທຳອິດໄປຫາຈຸດສິ້ນສຸດຂອງເວັກເຕີສຸດທ້າຍ.

ວິທີການວິເຄາະ

ວິທີວິເຄາະກ່ຽວຂ້ອງກັບການໃຊ້ຄະນິດສາດ ແລະ ຕີໂກໂນເມຕຣີເພື່ອຄິດໄລ່ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ. ສອງວິທີຫຼັກໃນວິທີວິເຄາະຄື:

1. ວິທີການປະກອບ: ໃນວິທີການນີ້, ແຕ່ລະເວັກເຕີຈະຖືກແຍກອອກເປັນສ່ວນປະກອບຂອງມັນຕາມແກນ x ແລະ y. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ສ່ວນປະກອບເຫຼົ່ານີ້ຈະຖືກລວມເຂົ້າກັນເພື່ອໃຫ້ໄດ້ສ່ວນປະກອບຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ. ສຸດທ້າຍ, ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບຈະຖືກຄິດໄລ່ໂດຍໃຊ້ທິດສະດີບົດປີທາໂກຣນ ແລະ ຕີໂກໂນເມຕຣີ.
2. ວິທີການໂຄໄຊນ໌: ວິທີການນີ້ຖືກໃຊ້ເມື່ອຮູ້ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີສອງອັນ ແລະ ມຸມລະຫວ່າງພວກມັນ. ສູດໂຄໄຊນ໌ຖືກໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ.

ສູດເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ

ວິທີການປະກອບ

ສຳລັບສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ທີ່ມີອົງປະກອບຕ່າງໆ:

\[
\mathbf{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}
\]
\[
\mathbf{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}
\]

ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\) ແມ່ນ:

\[
\mathbf{R} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j}
\]

ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\) ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ທິດສະດີບົດ Pythagorean:

\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{(A_x + B_x)^2 + (A_y + B_y)^2}
\]

ທິດທາງຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບແມ່ນຖືກກຳນົດໂດຍມຸມ \(\theta\) ທີ່ປະກອບກັບແກນ x:

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{A_y + B_y}{A_x + B_x}\right)
\]

ວິທີໂຄໄຊນ໌

ຖ້າສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ມີຂະໜາດ \(A\) ແລະ \(B\) ແລະມຸມ \(\theta\) ລະຫວ່າງພວກມັນ, ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\) ແມ່ນ:

\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}
\]

ທິດທາງຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດຕີໂກນມິຕິ:

\[
\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}
\]

ບ່ອນທີ່ \(\alpha\) ແມ່ນມຸມທີ່ສ້າງຂຶ້ນໂດຍເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບກັບເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\).

ຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາເວັກເຕີຜົນໄດ້ຮັບ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1: ວິທີການປະກອບ

ຄຳຖາມ:
ສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ມີອົງປະກອບຕໍ່ໄປນີ້:
\[
\mathbf{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}
\]
\[
\mathbf{B} = 1\hat{i} + 2\hat{j}
\]
ຄິດໄລ່ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\).

ວິທີແກ້ໄຂ:

1. ຕື່ມອົງປະກອບຕ່າງໆໃສ່ແກນ x ແລະ y:
\[
R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4
\]
\[
R_y = A_y + B_y = 4 + 2 = 6
\]

2. ຄິດໄລ່ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ:
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 7,21
\]

3. ຄິດໄລ່ທິດທາງຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6}{4}\right) = \tan^{-1}(1,5) = 56,31^\circ
\]

ດັ່ງນັ້ນ, ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\) ມີຂະໜາດ 7,21 ແລະ ທິດທາງ 56,31 ອົງສາກັບແກນ x.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2: ວິທີການໂຄໄຊນ໌

ຄຳຖາມ:
ສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ມີຂະໜາດເປັນໜ່ວຍ \(A = 5\), ໜ່ວຍ \(B = 7\), ແລະມຸມລະຫວ່າງພວກມັນແມ່ນ 60°. ຈົ່ງຄິດໄລ່ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\).

ວິທີແກ້ໄຂ:

1. ໃຊ້ສູດໂຄໄຊນ໌ເພື່ອຄິດໄລ່ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ:
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{25 + 49 + 70 \cdot 0,5}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{25 + 49 + 35}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{109} = 10,44 \, \text{unit}
\]

ສະນັ້ນ, ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\) ແມ່ນ 10,44 ໜ່ວຍ.

ຕົວຢ່າງທີ 3: ຜົນຂອງສາມເວັກເຕີ

ຄຳຖາມ:
ສາມເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), ແລະ \(\mathbf{C}\) ມີອົງປະກອບຕໍ່ໄປນີ້:
\[
\mathbf{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -1\hat{i} + 4\hat{j}
\]
\[
\mathbf{C} = 3\hat{i} – 2\hat{j}
\]
ຄິດໄລ່ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{R}\).

ວິທີແກ້ໄຂ:

1. ຕື່ມອົງປະກອບຕ່າງໆໃສ່ແກນ x ແລະ y:
\[
R_x = A_x + B_x + C_x = 2 – 1 + 3 = 4
\]
\[
R_y = A_y + B_y + C_y = 3 + 4 − 2 = 5
\]

2. ຄິດໄລ່ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ:
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} = 6,4
\]

3. ຄິດໄລ່ທິດທາງຂອງເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \tan^{-1}(1,25) = 51,34^\circ
\]

ດັ່ງນັ້ນ, ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ຮັບ \(\mathbf{

R\) ມີຂະໜາດ 6,4 ແລະ ທິດທາງ 51,34 ອົງສາກັບແກນ x.

ສະຫຼຸບ

ການຄິດໄລ່ຜົນໄດ້ຂອງເວັກເຕີແມ່ນທັກສະທີ່ສຳຄັນໃນຟີຊິກ ແລະ ຄະນິດສາດ. ໂດຍການໃຊ້ວິທີການກຣາບຟິກ ຫຼື ການວິເຄາະ, ພວກເຮົາສາມາດກຳນົດຜົນໄດ້ຂອງເວັກເຕີສອງຕົວ ຫຼື ຫຼາຍກວ່ານັ້ນ. ວິທີການຂອງອົງປະກອບ ແລະ ວິທີການຂອງໂຄໄຊນ໌ ແມ່ນສອງເຕັກນິກຫຼັກໃນການຄິດໄລ່ວິເຄາະທີ່ຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ຂະໜາດ ແລະ ທິດທາງຂອງເວັກເຕີຜົນໄດ້ຮັບໄດ້ຢ່າງຖືກຕ້ອງ. ຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງສະແດງໃຫ້ເຫັນເຖິງການນຳໃຊ້ແນວຄວາມຄິດເຫຼົ່ານີ້ໃນທາງປະຕິບັດ, ຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈ ແລະ ນຳໃຊ້ເວັກເຕີໃນສະຖານະການທາງວິທະຍາສາດ ແລະ ເຕັກນິກຕ່າງໆ.