ການຂຽນອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ

ການຂຽນອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ

Pendahuluan

ໃນຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະແຄລຄູລັສ, ອະນຸພັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ມີບົດບາດສຳຄັນໃນການນຳໃຊ້ທີ່ຫຼາກຫຼາຍ. ອະນຸພັນບໍ່ພຽງແຕ່ຖືກນຳໃຊ້ໃນຄະນິດສາດທິດສະດີເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງໃຊ້ໃນວິທະຍາສາດ, ວິສະວະກຳ, ເສດຖະສາດ ແລະ ສາຂາວິຊາອື່ນໆອີກຫຼາຍຢ່າງ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຢ່າງລະອຽດ, ເຊິ່ງກວມເອົາພື້ນຖານຂອງມັນ, ກົດລະບຽບທີ່ສຳຄັນ, ແລະ ຕົວຢ່າງການນຳໃຊ້.

ພື້ນຖານຂອງອະນຸພັນ

ຄໍານິຍາມຂອງອະນຸພັນ

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນອະທິບາຍອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນທຽບກັບຕົວແປອິດສະຫຼະຂອງມັນ. ໂດຍສັນຊາດຕະຍານແລ້ວ, ອະນຸພັນສາມາດຖືກນິຍາມວ່າເປັນຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນສຳຜັດທີ່ແຕະກຣາຟຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດໃດໜຶ່ງ.

ຖ້າ \( y = f(x) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນອະນຸພັນທຳອິດຂອງ \( f \) ທຽບກັບ \( x \) ຖືກສະແດງໂດຍ \( f'(x) \) ຫຼື \( \frac{dy}{dx} \). ຄຳນິຍາມທາງການຂອງອະນຸພັນແມ່ນໃຫ້ໂດຍຂອບເຂດຕໍ່ໄປນີ້:

\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]

ສັນຍະລັກອະນຸພັນ

ມີສັນຍາລັກຫຼາຍຢ່າງທີ່ໃຊ້ໃນການຂຽນອະນຸພັນ:

1. ສັນຍະລັກຂອງ Leibniz: \( \frac{dy}{dx} \)
2. ສັນຍະລັກ Lagrange: \( f'(x) \)
3. ສັນຍະລັກຂອງນິວຕັນ: \( y' \)
4. ສັນຍະລັກຂອງອອຍເລີ: \( Df(x) \)

ສັນຍະລັກແຕ່ລະອັນມີການນຳໃຊ້ ແລະ ສະພາບການສະເພາະທີ່ພວກມັນຖືກນຳໃຊ້ທົ່ວໄປ.

ກົດລະບຽບພື້ນຖານໃນການຈຳແນກຄວາມແຕກຕ່າງ

ກົດລະບຽບການບວກ ແລະ ການລົບ

ຖ້າ \( f(x) \) ແລະ \( g(x) \) ເປັນສອງຟັງຊັນທີ່ສາມາດແຍກຕ່າງກັນໄດ້, ແລ້ວ:

\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]

ກົດລະບຽບການຄູນ

ສຳລັບສອງຟັງຊັນ \( u(x) \) ແລະ \( v(x) \):

\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]

ກົດລະບຽບການແບ່ງກຸ່ມ

ຖ້າ \( u(x) \) ແລະ \( v(x) \) ເປັນສອງຟັງຊັນ, ແລະ \( v(x) \neq 0 \):

\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]

ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້

ສຳລັບອົງປະກອບຂອງສອງຟັງຊັນ \( f(u) \) ແລະ \( u(g) \):

\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

ຕົວຢ່າງຂອງຄໍາຮ້ອງສະຫມັກ

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພະຫຸພົດ

ສົມມຸດວ່າ \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນນີ້, ພວກເຮົານຳໃຊ້ກົດລະບຽບພື້ນຖານຂອງການດີເບຣຊັນ.

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1) \]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນເອັກໂປເນນຊຽວ ແລະ ຟັງຊັນໂລກາລິດ

ຖ້າ \( f(x) = e^x \), ຫຼັງຈາກນັ້ນອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນເອັກໂປເນນຊຽລແມ່ນ:

\[ f'(x) = e^x \]

ສຳລັບຟັງຊັນໂລກາລິດທຳມະຊາດ \( f(x) = \ln(x) \):

\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ

ສຳລັບຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິພື້ນຖານ:

- ຖ້າ f(x) = sin(x) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ f'(x) = cos(x) \)
- ຖ້າ f(x) = cos(x) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ f'(x) = -sin(x) \)
- ຖ້າ \( f(x) = \tan(x) \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ \( f'(x) = \sec^2(x) \)

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນປະສົມ

ສົມມຸດວ່າ \( f(x) = \sin(2x) \). ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ໄດ້:

\[ f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]

ອະນຸພັນຂັ້ນສູງ

ອະນຸພັນທີສອງ ແລະ ອະນຸພັນຕໍ່ມາ

ອະນຸພັນທີສອງແມ່ນອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນອະນຸພັນທີໜຶ່ງ. ຖ້າ \( y = f(x) \) ແລ້ວອະນຸພັນທີສອງຈະຖືກສະແດງໂດຍ \( f”(x) \) ຫຼື \( \frac{d^2y}{dx^2} \). ແລະຕໍ່ໄປສຳລັບອະນຸພັນທີສາມ \( f”'(x) \) ຫຼື \( \frac{d^3y}{dx^3} \).

ສົມມຸດວ່າ \( f(x) = x^4 \):

\[ f'(x) = 4x^3 \]
\[ f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
\[ f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
\[ f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]

ການນຳໃຊ້ອະນຸພັນໃນຟີຊິກສາດ

ໃນຟີຊິກສາດ, ອະນຸພັນມັກຖືກໃຊ້ເພື່ອກຳນົດຄວາມໄວ ແລະ ຄວາມເລັ່ງ. ສົມມຸດວ່າ \( s(t) \) ເປັນຟັງຊັນຂອງຕຳແໜ່ງທຽບກັບເວລາ \( t \). ຄວາມໄວ \( v(t) \) ເປັນອະນຸພັນທຳອິດຂອງຕຳແໜ່ງ:

v(t) = s'(t) \]

ຄວາມເລັ່ງ \(a(t)\) ແມ່ນອະນຸພັນອັນດັບໜຶ່ງຂອງຄວາມໄວ ຫຼື ອະນຸພັນອັນດັບສອງຂອງຕຳແໜ່ງ:

\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]

ສະຫຼຸບ

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນແຄລຄູລັສທີ່ມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ. ຄວາມເຂົ້າໃຈໂດຍສະຫຼາດຂອງອະນຸພັນໃນຖານະເປັນຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນສຳຜັດໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ສຳຄັນກ່ຽວກັບຄຸນສົມບັດ ແລະ ພຶດຕິກຳຂອງຟັງຊັນ. ຄວາມເຂົ້າໃຈ ແລະ ການສາມາດນຳໃຊ້ກົດການແຍກສ່ວນເຊັ່ນ: ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້, ກົດຜົນຄູນ, ແລະ ກົດການຫານແມ່ນສິ່ງຈຳເປັນສຳລັບທຸກຄົນທີ່ສຶກສາແຄລຄູລັສ. ຜ່ານຕົວຢ່າງ ແລະ ການນຳໃຊ້ງ່າຍໆໃນຟີຊິກ, ບົດຄວາມນີ້ຫວັງວ່າຈະໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ຄົບຖ້ວນກ່ຽວກັບການຂຽນອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ.