ຄຸນສົມບັດຂອງຟັງຊັນອະນຸພັນ

ຄຸນສົມບັດຂອງຟັງຊັນອະນຸພັນ

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນແຄລຄູລັສທີ່ວັດແທກອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດທີ່ກຳນົດໃຫ້. ອະນຸພັນໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ສຳຄັນກ່ຽວກັບພຶດຕິກຳ ແລະ ຄຸນສົມບັດຂອງຟັງຊັນ, ລວມທັງແນວໂນ້ມຂອງຄ່າຂອງຟັງຊັນທີ່ຈະເພີ່ມຂຶ້ນ ຫຼື ຫຼຸດລົງ, ຈຸດປ່ຽນ, ແລະ ຂໍ້ມູນສຳຄັນອື່ນໆ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບຄຸນສົມບັດຕ່າງໆຂອງອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ ແລະ ການນຳໃຊ້ຂອງມັນໃນສະພາບການຕ່າງໆ.

1. ຄໍານິຍາມຂອງອະນຸພັນ

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \(f\) ຢູ່ຈຸດ \(x\) ແມ່ນຂີດຈຳກັດຂອງການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນ \(f\) ທຽບກັບການປ່ຽນແປງຂອງຕົວແປ \(x\) ເມື່ອການປ່ຽນແປງເຂົ້າໃກ້ສູນ. ໃນທາງຄະນິດສາດ, ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \(f\) ຢູ່ຈຸດ \(x\), ໝາຍເປັນ \(f'(x)\) ຫຼື \(\frac{df}{dx}\), ຖືກນິຍາມວ່າເປັນ:

\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} \]

ອະນຸພັນນີ້ອະທິບາຍວ່າຟັງຊັນ \(f\) ປ່ຽນແປງແນວໃດດ້ວຍການປ່ຽນແປງເລັກນ້ອຍໃນ \(x\).

2. ກົດລະບຽບພື້ນຖານຂອງຄວາມແຕກຕ່າງ

ມີກົດລະບຽບພື້ນຖານບາງຢ່າງທີ່ເປັນປະໂຫຍດຫຼາຍໃນການຄິດໄລ່ຄວາມແຕກຕ່າງ. ນີ້ແມ່ນບາງສ່ວນຂອງພວກມັນ:

ກ. ກົດເກນຄົງທີ່

ຖ້າ \(c\) ເປັນຄ່າຄົງທີ່, ແລ້ວອະນຸພັນຂອງ \(c\) ເປັນສູນ.

\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 \]

ຂ. ກົດລະບຽບກ່ຽວກັບຕົວຕົນ

ອະນຸພັນຂອງ x = 1.

\[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \]

ຄ. ກົດລະບຽບການຈັດອັນດັບ

ຖ້າ \(n\) ເປັນຈຳນວນຈິງ, ແລ້ວອະນຸພັນຂອງ \(x^n\) ແມ່ນ:

\[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \]

ງ. ຟັງຊັນຄູນກົດຄົງທີ່

ຖ້າ \(c\) ເປັນຄ່າຄົງທີ່, ແລ້ວອະນຸພັນຂອງ \(cf(x)\) ແມ່ນ:

\[ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x) \]

ອ. ກົດລະບຽບການບວກ

ອະນຸພັນຂອງຜົນບວກຂອງສອງຟັງຊັນແມ່ນຜົນບວກຂອງອະນຸພັນຂອງແຕ່ລະຟັງຊັນ.

\[ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \]

f. ກົດລະບຽບການຄູນ

ອະນຸພັນຂອງຜົນຄູນຂອງສອງຟັງຊັນ \(f\) ແລະ \(g\) ແມ່ນໄດ້ມາຈາກ:

\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

ກ. ກົດລະບຽບການແຈກຢາຍ

ອະນຸພັນຂອງການຫານຂອງສອງຟັງຊັນ \(f\) ແລະ \(g\) ແມ່ນໄດ້ມາຈາກ:

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]

ຮ. ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້

ຖ້າຟັງຊັນ \( y\) ປະກອບດ້ວຍສອງຟັງຊັນຄື \( y = f(g(x))\), ຫຼັງຈາກນັ້ນອະນຸພັນຂອງມັນແມ່ນໄດ້ຮັບຈາກກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້:

\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

3. ຄຸນສົມບັດທີ່ໄດ້ມາ

ກ. ຄວາມຕໍ່ເນື່ອງ ແລະ ຄວາມຍືນຍົງ

ຖ້າຟັງຊັນ \(f\) ມີອະນຸພັນຢູ່ຈຸດ \(a\), ແລ້ວຟັງຊັນຕ້ອງຕໍ່ເນື່ອງຢູ່ຈຸດນັ້ນ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ຄວາມຕໍ່ເນື່ອງຂອງຟັງຊັນຢູ່ຈຸດໜຶ່ງບໍ່ໄດ້ຮັບປະກັນວ່າຟັງຊັນມີອະນຸພັນຢູ່ຈຸດນັ້ນ. ຕົວຢ່າງ, ຟັງຊັນຄ່າຢ່າງແທ້ຈິງ \(f(x) = |x|\) ແມ່ນຕໍ່ເນື່ອງຢູ່ \(x = 0\), ແຕ່ບໍ່ມີອະນຸພັນຢູ່ຈຸດນັ້ນ.

ຂ. ອະນຸພັນອັນດັບສອງ ແລະ ສູງກວ່າ

ໂດຍການປະຕິບັດການແຍກຄວາມແຕກຕ່າງຊ້ຳໆ, ພວກເຮົາສາມາດໄດ້ຮັບອະນຸພັນທີສອງ \( f”(x) \), ອະນຸພັນທີສາມ \( f”'(x) \), ແລະອື່ນໆ. ອະນຸພັນທີສອງໃຫ້ຂໍ້ມູນກ່ຽວກັບຄວາມໂຄ້ງຂອງກຣາຟຂອງຟັງຊັນ. ຖ້າອະນຸພັນທີສອງເປັນບວກ, ກຣາຟຂອງຟັງຊັນຈະໂຄ້ງຂຶ້ນເທິງ, ແລະຖ້າມັນເປັນລົບ, ກຣາຟຂອງຟັງຊັນຈະໂຄ້ງລົງລຸ່ມ.

ຄ. ຈຸດວິກິດ

ຈຸດວິກິດຂອງຟັງຊັນ \(f\) ແມ່ນຈຸດທີ່ອະນຸພັນທີໜຶ່ງ \(f'(x)\) ເປັນສູນ ຫຼື ບໍ່ມີຢູ່. ຈຸດວິກິດສາມາດເປັນຈຸດທີ່ຢູ່ນິ້ງ (ຈຸດຕໍ່າສຸດທ້ອງຖິ່ນ, ຈຸດສູງສຸດທ້ອງຖິ່ນ, ຫຼື ຈຸດສັນ). ການວິເຄາະຕື່ມອີກດ້ວຍການທົດສອບອະນຸພັນທີສອງ ຫຼື ອະນຸພັນທີໜຶ່ງແມ່ນໃຊ້ເພື່ອຈັດປະເພດປະເພດຂອງຈຸດວິກິດ.

ງ. ອັດຕາການປ່ຽນແປງ

ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນສາມາດຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອກໍານົດອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງປະກົດການ. ໃນຟີຊິກສາດ, ອະນຸພັນຂອງຕໍາແໜ່ງທຽບກັບເວລາໃຫ້ຄວາມໄວ, ແລະອະນຸພັນຂອງຄວາມໄວທຽບກັບເວລາໃຫ້ຄວາມເລັ່ງ. ໃນເສດຖະສາດ, ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕົ້ນທຶນທັງໝົດທຽບກັບຜົນຜະລິດໃຫ້ຕົ້ນທຶນຂອບ.

ອ. ເພີ່ມ ແລະ ຫຼຸດຟັງຊັນ

ຖ້າ \( f'(x) > 0 \) ໃນຊ່ວງເວລາທີ່ກຳນົດ, ແລ້ວ \( f \) ຈະເພີ່ມຂຶ້ນຢ່າງເປັນລຳດັບໃນຊ່ວງນັ້ນ. ໃນທາງກັບກັນ, ຖ້າ \( f'(x) < 0 \), ແລ້ວ \( f \) ຈະຫຼຸດລົງຢ່າງເປັນລຳດັບໃນຊ່ວງນັ້ນ. ສິ່ງນີ້ມີປະໂຫຍດຫຼາຍໃນການວິເຄາະຟັງຊັນເພື່ອກຳນົດພຶດຕິກຳຂອງຟັງຊັນໃນຊ່ວງຕ່າງໆຂອງໂດເມນຂອງມັນ. 4. ການນຳໃຊ້ອະນຸພັນໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ ກ. ເສດຖະສາດ ໃນເສດຖະສາດ, ອະນຸພັນຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອວິເຄາະການຫຼຸດຂອບເຂດ. ຕົວຢ່າງ, ຕົ້ນທຶນຂອບ, ເຊິ່ງເປັນອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕົ້ນທຶນທັງໝົດທຽບກັບປະລິມານການຜະລິດ. ສິ່ງນີ້ຊ່ວຍກຳນົດຕົ້ນທຶນເພີ່ມເຕີມຂອງການຜະລິດໜຶ່ງຫົວໜ່ວຍເພີ່ມເຕີມຂອງຜະລິດຕະພັນ.

\[ \text{ຕົ້ນທຶນຂອບ} = \frac{d}{dQ}[\text{ຕົ້ນທຶນທັງໝົດ}] \] ຂ. ວິສະວະກຳ ໃນວິສະວະກຳ, ອະນຸພັນຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອກຳນົດອັດຕາການປ່ຽນແປງໃນລະບົບທາງກາຍະພາບ, ເຊັ່ນ: ຄວາມໄວ ແລະ ຄວາມເລັ່ງໃນການເຄື່ອນທີ່ກົນຈັກ, ຫຼື ການປ່ຽນແປງຂອງອຸນຫະພູມໃນຂະບວນການຄວາມຮ້ອນ. ຄ. ວິທະຍາສາດຂໍ້ມູນ ແລະ ການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ ໃນວິທະຍາສາດຂໍ້ມູນ ແລະ ການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ, ການປ່ຽນແປງລະດັບ — ເຊິ່ງເປັນເວັກເຕີຂອງອະນຸພັນບາງສ່ວນ — ຖືກນຳໃຊ້ໃນອັລກໍຣິທຶມການເພີ່ມປະສິດທິພາບເພື່ອຫຼຸດຜ່ອນການສູນເສຍ ຫຼື ຟັງຊັນຕົ້ນທຶນ. ຕົວຢ່າງ, ອັລກໍຣິທຶມການຫຼຸດລະດັບຄວາມຊັນແມ່ນອີງໃສ່ອະນຸພັນການຄິດໄລ່ເພື່ອຊອກຫາພາລາມິເຕີທີ່ດີທີ່ສຸດໃນຮູບແບບການຮຽນຮູ້ຂອງເຄື່ອງຈັກ. ງ. ຟີຊິກ ໃນຟີຊິກ, ອະນຸພັນຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອອະທິບາຍປະກົດການທຳມະຊາດຕ່າງໆ. ຕົວຢ່າງ, ກົດການເຄື່ອນທີ່ຂອງນິວຕັນໃຊ້ອະນຸພັນເພື່ອກຳນົດຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງແຮງ, ມວນສານ, ແລະ ຄວາມເລັ່ງ. \[ F = ma \quad \text{with} \quad a = \frac{dv}{dt} \] ຈ. ການເງິນ ໃນການເງິນ, ອະນຸພັນຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອກຳນົດຄວາມອ່ອນໄຫວຂອງລາຄາຂອງຕົວເລືອກ ຫຼື ເຄື່ອງມືທາງການເງິນອື່ນໆຕໍ່ການປ່ຽນແປງໃນຕົວແປຕ່າງໆ, ທີ່ຮູ້ຈັກກັນໃນນາມ "ຊາວກຣີກ." ສະຫຼຸບ ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ ແລະ ກວ້າງຂວາງໃນແຄລຄູລັສທີ່ມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນເກືອບທຸກຂົງເຂດວິທະຍາສາດ. ຕັ້ງແຕ່ພື້ນຖານຂອງສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລຈົນເຖິງການນຳໃຊ້ທີ່ຊັບຊ້ອນໃນວິສະວະກຳ, ເສດຖະສາດ, ແລະ ວິທະຍາສາດຂໍ້ມູນ, ການເຂົ້າໃຈຄຸນສົມບັດຂອງອະນຸພັນແມ່ນສິ່ງຈຳເປັນສຳລັບການວິເຄາະ ແລະ ການແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ຄົບຖ້ວນໃນຫຼາຍສາຂາວິຊາ. ໃນຖານະເປັນເຄື່ອງມືວິເຄາະ, ອະນຸພັນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດສ້າງແບບຈຳລອງ, ສຳຫຼວດ, ແລະ ເພີ່ມປະສິດທິພາບປະກົດການທີ່ສັບສົນໃນໂລກຕົວຈິງ.