Статистикалық деректердегі орташа ауытқуды анықтау әдістері
Статистикада деректердің «орташа мәнін» түсінудің өзі жеткіліксіз, мысалы, орташа мән немесе медиана арқылы. Екі деректер жиынтығы бірдей орташа мәнге ие болуы мүмкін, бірақ олардың «өзгеру» деңгейлері бойынша айтарлықтай ерекшеленеді. Сондықтан дисперсия өлшемдері маңызды. Дисперсияның түсінуге және пайдалануға салыстырмалы түрде оңай өлшемдерінің бірі - орташа ауытқу. Бұл мақалада статистикалық деректердің әртүрлі формаларындағы орташа ауытқуды анықтау әдістері , есептеу қадамдары мен мысалдары қарастырылады.
Орташа ауытқуды түсіну
Орташа ауытқу - бұл әрбір деректер нүктесінің орталық тенденция өлшемінен, әдетте арифметикалық орташадан (орташа) немесе медианадан орташа қашықтығын көрсететін өлшем. Қарастырылып отырған қашықтық - деректер мен орталық мән арасындағы айырмашылықтың абсолютті мәні, сондықтан ешқандай теріс айырмашылық оң айырмашылықты «жояды».
Жалпы алғанда, орташа ауытқу деректердің орталық мәнінен қаншалықты алыс орналасқанын сипаттайды . Орташа ауытқу неғұрлым аз болса, деректер орталықтың айналасында соғұрлым тығыз шоғырланады ; мән неғұрлым үлкен болса, деректер соғұрлым өзгермелі болады.
Неліктен абсолютті мәнді пайдалану керек?
Егер деректер мен орташа мән арасындағы айырмашылықтардың орташа мәнін абсолютті мәнсіз есептесек, айырмашылықтардың қосындысы әрқашан нөлге тең болады (өйткені орташа мән тепе-теңдік нүктесі болып табылады). Мысалы, егер +5 және -5 айырмашылықтары болса, олардың қосындысы 0-ге тең болады. Сондықтан, абсолютті мәндер ауытқулар деректердің орталықтан қашықтығын шынымен көрсететіндей етіп қолданылады.
Жеке деректер үшін орташа ауытқу формуласы
Жеке деректер үшін (топтастырылмаған) орташа мәннен орташа ауытқу келесідей тұжырымдалады:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Ақпарат:
– \( SR \): орташа ауытқу
– \( x_i \): i-ші деректер
– \( \bar{x} \): арифметикалық орташа (орташа)
– \( n \): деректер көлемі
Бір деректерді есептеу әдісі (Қадамдар)
1. Барлық деректердің орташа мәнін есептеңіз.
2. Әрбір деректер мен орташа мән арасындағы айырмашылықты есептеңіз: \( x_i – \bar{x} \).
3. Әрбір айырмашылықтың абсолютті мәнін алыңыз: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Айырмашылықтардың барлық абсолютті мәндерін қосыңыз.
5. Деректер санына бөліңіз \(n \).
Бір деректер мысалы
Мән деректері: 6, 8, 10, 12, 14
1) Орташа мәні:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Айырманың абсолютті мәні:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Барлығы = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Орташа ауытқу:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
Бұл орташа есеппен әрбір мәннің орташа мәннен (10) 2,4 бірлікке ауытқуын білдіреді.
Жиі (дискретті) деректер үшін орташа ауытқу
Егер деректер мәндер мен жиіліктер түрінде ұсынылса (мысалы, кесте), формула келесідей болады:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Ақпарат:
– \( f_i \): деректер жиілігі \( x_i \)
Жиілік деректерін есептеу әдістері
1. Орташа мәнді есептеңіз: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. \( |x_i-\bar{x}| \) есептеңіз.
3. Жиілікке көбейтіңіз: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. 3-қадамның барлық нәтижелерін қосыңыз
5. Жалпы жиілікке бөліңіз
Дискретті деректер мысалдары
| Мәні (x) | Жиілік (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Жалпы жиілік: \(2+3+1=6\)
Ортасы:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Ауытқуды есептеңіз:
– x=5 үшін: |5−6,67|=1,67 → f=2 → 3,34 көбейтіндісі
– x=7 үшін: |7−6,67|=0,33 → f=3 → 0,99 көбейтіндісі
– x=9 үшін: |9−6,67|=2,33 → f=1 → 2,33 көбейтіндісі
Барлығы: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Орташа ауытқу:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Топталған деректер үшін орташа ауытқу (класс аралығы)
Топтастырылған деректерде (мысалы, интервалдық жиілік үлестірімдері ) деректер мәндері жеке көрсетілмейді, керісінше кластарда көрсетіледі. Осы мақсатта класс ішіндегі деректерді көрсету үшін midpoint (xi) класы қолданылады.
Формула:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Дегенмен, \(x_i\) класының ортаңғы нүктесі болып табылады.
Топтық деректерді есептеу әдістері
1. Әр сыныптың орта нүктесін анықтаңыз:
\[
x_i=\frac{\text{төменгі шегі + жоғарғы шегі}}{2}
\]
2. Топтық орташа мәнді есептеңіз:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. \( |x_i-\bar{x}| \) есептеңіз.
4. Жиілігіне көбейтіңіз \( f_i \)
5. Барлық нәтижелерді қосып, жалпы жиілікке бөліңіз.
Топтық деректер мысалы
| Класс | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Орта нүкте:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Барлығы f = 10
Ортасы:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Ауытқу:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Барлығы = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Орташа ауытқу:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Медианадан орташа ауытқу
Орташа мәннен басқа, орташа ауытқуды медианадан да есептеуге болады. Принцип бірдей, тек орталық мән ғана ерекшеленеді. Бұл деректерде ауытқулар болған кезде пайдалы, себебі медиана экстремалды мәндерге төзімдірек.
Бірыңғай деректер үшін:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
Жиілік деректері үшін:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
Орташа ауытқудың артықшылықтары мен шектеулері
Артық:
1. Деректер орталығынан «орташа қашықтықты» пайдаланатындықтан, түсіну оңай.
2. Барлық деректерді пайдаланыңыз (тек белгілі бір деректерді ғана емес).
3. Әртүрлі формалар үшін есептелуі мүмкін деректерді ұсыну.
Кетербатасан:
1. Стандартты ауытқудан гөрі танымал емес статистикалық талдау озық.
2. Абсолютті мәндерді пайдалану кейбір алгебралық манипуляциялар үшін оны онша ыңғайлы етпейді.
3. Көптеген инференциалды әдістерде стандартты ауытқу сияқты күшті емес.
Жабу
Статистикалық деректердегі орташа ауытқуды анықтау әдісі негізінен біркелкі үлгіге сүйенеді: орталық мәнді (орташа немесе медиана) анықтаңыз, әрбір деректер нүктесінің (немесе сыныптың ортаңғы нүктесінің) орталықтан абсолютті қашықтығын есептеңіз, содан кейін деректер кестеде көрсетілген жағдайда жиілікті ескере отырып, олардың орташа мәнін есептеңіз. Орташа ауытқу деректер өзгергіштігін интуитивті түрде сипаттау үшін дисперсияның ыңғайлы өлшемі болып табылады. Қадамдарды түсіну арқылы сіз деректер жиынтықтарындағы вариацияны салыстыра аласыз және деректер жиынының тұрақтылығын толығырақ бағалай аласыз.
Қаласаңыз, мен сізге осы мақаланың мектеп тапсырмасы форматында (кіріспе-талқылау-қорытынды) нұсқасын жасауға көмектесе аламын немесе талқылаумен бірге жаттығу сұрақтарын қоса аламын.
