Статистикалық деректердегі квартилдерді, децилдерді және пайыздарды қалай есептеу керек
Статистикада бізге көбінесе деректер жиынындағы мәннің орнын анықтау қажет болады. Орташа мәнді немесе медиананы есептеу жеткіліксіз, себебі бұл өлшемдер деректердің қалай таратылатынын және бақылаудың басқалармен қалай салыстырылатынын сипаттай алмайды. Міне, осы жерде квартилдер, децильдер және процентильдер рөл атқарады. Бұл үшеуі сұрыпталған деректерді тең бөліктерге бөлетін позициялық өлшемдер. Бұл мақалада жеке және топтастырылған деректер жиындары үшін анықтамалар, жалпы қадамдар және квартилдерді, децильдерді және процентильдерді қалай есептеу керектігі талқыланады.
-
1. Негізгі түсінік: Деректер сұрыпталуы керек
Квартилдерді, децильдерді немесе процентильдерді есептемес бұрын, ең маңызды қадам - деректерді ең кішісінен ең үлкеніне қарай сұрыптау. Деректер сұрыпталғаннан кейін, біз квартилдердің, децильдердің немесе процентильдердің индекстік орындарына негізделген орнын анықтай аламыз.
Жалпы алғанда:
– Квартилдер деректерді 4 бөлікке бөледі.
– Децилдер деректерді 10 бөлікке бөледі.
– Перцентильдер деректерді 100 бөлікке бөледі.
Іс жүзінде квартилдер, децильдер және процентильдер тест нәтижелерін, табыс туралы деректерді, антропометриялық өлшемдерді (бой/салмақ) және өнімділікті бағалауды талдау үшін жиі қолданылады.
-
2. Квартилдерді қалай есептеу керек (1-тоқсан, 2-тоқсан, 3-тоқсан)
A. Жеке деректердегі квартилдер (топталмаған)
Квартилдер мыналардан тұрады:
– 1-ші тоқсан: төменгі квартиль (деректердің 25%-ы одан төмен)
– 2-ші тоқсан: медиана (50%)
– 3-тоқсан: жоғарғы квартиль (75%)
Жеке деректер квартильдерін есептеу қадамдары:
1. Деректерді сұрыптаңыз.
2. Квартильді позицияны позиция формуласын пайдаланып есептеңіз:
– Q1 позициясы = \((n+1)/4\)
– Q2 позициясы = \(2(n+1)/4\) немесе \((n+1)/2\)
– Q3 позициясы = \(3(n+1)/4\)
Егер позиция бүтін сан болса, сол позициядағы мәнді алыңыз. Егер позиция бөлшек сан болса, интерполяция жасаңыз (екі ең жақын деректер нүктесінің арасындағы мәнді алыңыз).
Жылдам мысал:
Сұрыпталған деректер: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Q1 позициясы = (8+1)/4 = 2,25 → 2-ші және 3-ші деректер арасында орналасқан.
Сонымен, 1-ші сұрақ 6 мен 7 аралығында. Интерполяция:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Топтастырылған деректердегі квартилдер (жиілік бойынша таралу)
Топтастырылған деректер үшін (мысалы, сынып аралықтары) квартилдер келесі формула бойынша есептеледі:
\[
Q_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{4}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Ақпарат:
– \(Q_k\): k-шы квартиль (k = 1,2,3)
– \(L\): квартиль класының төменгі шеті
– \(n\): деректер саны (жалпы жиілік)
– \(F\): квартиль класына дейінгі кумулятивтік жиілік
– \(f\): квартиль класындағы жиілік
– \(c\): сынып ұзындығы
Жалпы қадамдар:
1. Кумулятивтік жиілікті жасаңыз.
2. Квартильдің орнын анықтаңыз: \(k/4 \times n\).
3. Сол позицияны қамтитын класты табыңыз.
4. Формулаға енгізіңіз.
-
3. Децилдерді қалай есептеу керек (D1-ден D9-ға дейін)
Децилдер деректерді 10 бөлікке бөледі, осылайша:
– \(D_1\) деректердің ең төменгі 10% шегін көрсетеді,
– \(D_5\) медианаға тең,
– \(D_9\) 90% деректер шегін көрсетеді.
A. Жеке деректердегі децилдер
Децильдік позиция формуласы:
\[
\text{Position } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
\(k = 1,2,\dots,9\) арқылы.
Орын алынғаннан кейін, мәнді алу әдісі квартиль үшін де бірдей: егер ол бүтін болса, оны тікелей алыңыз, егер бөлшек болса, интерполяциялаңыз.
-
B. Топталған деректердегі децилдер
Топтастырылған деректер үшін дециль формуласы:
\[
D_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{10}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Сипаттамасы квартильмен бірдей, тек бөлгіші 10-ға тең.
Лангка:
1. \(k/10 \n\ есе) есептеңіз.
2. Кумулятивті жиілікке негізделген дециль класын анықтаңыз.
3. Формулаға ауыстырыңыз.
Децильдер көбінесе экономикалық талдауда қолданылады, мысалы, адамдардың табысын 10 топқа бөлу (1-дециль ең кедей, ал 10-дециль ең бай).
-
4. Перцентильдерді қалай есептеу керек (P1-ден P99-ға дейін)
Процентильдер деректерді 100 бөлікке бөлетіндіктен егжей-тегжейлі болып табылады. P25 мәні = Q1, P50 = медиана және P75 = Q3. Бұл квартилдер шын мәнінде процентильдердің ерекше жағдайы екенін білдіреді.
A. Жеке деректердегі пайыздар
Процентильді позиция формуласы:
\[
\text{Position } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
\(k = 1,2,\dots,99\) арқылы.
Процедура бірдей: деректерді сұрыптаңыз, позицияны есептеңіз, содан кейін мәнді алыңыз немесе интерполяциялаңыз.
-
B. Топталған деректердегі пайыздар
Топтастырылған деректер пайыздық формуласы:
\[
P_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{100}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Қадамдар дециль/квартилдермен бірдей:
1. Орынды анықтаңыз \(k/100 \times n\).
2. Кумулятивті жиіліктің процентильдік класын табыңыз.
3. Формуланы пайдаланыңыз.
Процентильдер көбінесе академиялық және денсаулық жағдайын бағалауда қолданылады. Мысалы, баланың бойы 80-ші процентильде болса, бұл оның өз жасындағы балалардың 80%-ынан ұзын екенін білдіреді.
-
5. Маңызды кеңестер және жиі кездесетін қателіктер
1. Деректер сұрыпталуы керек (әсіресе жеке деректер үшін). Сұрыпталмайынша, квартилдер/децилдер/перцентильдер мағынасыз болады.
2. Үздіксіз ұғымдарды пайдалансаңыз, топтастырылған деректерде класс шекараларын емес, класс жиектерін пайдалануды ұмытпаңыз.
3. Жиынтық жиілік дұрыс болуы керек, себебі квартил/децил/перцентиль класы жинақталған жиіліктен анықталады.
4. Класс ұзындығына назар аударыңыз (c). Класс ұзындығы қате болмауы керек, себебі ол есептеу нәтижелеріне әсер етеді.
5. Позициялар дөңгелектелмеген кезде интерполяция маңызды. Көптеген студенттер дәлдікті төмендетуі мүмкін болса да, позицияларды бірден дөңгелектейді.
-
6. Қорытынды
Квартилдер, децильдер және процентильдер деректердің таралуын түсіну үшін маңызды статистикалық құралдар болып табылады. Квартилдер қарапайым қорытындылар үшін жарамды (мысалы, қорап сызбасында), децильдер табысты талдау сияқты егжей-тегжейлі топтастыру үшін пайдалы, ал процентильдер өте нақты адамның популяциядағы орнын бағалауға көмектеседі. Негізгі қадамдарды - деректерді ретке келтіруді, орнын анықтауды және жеке немесе топтастырылған деректер үшін тиісті формулаларды пайдалануды түсіну арқылы сіз квартилдерді, децильдерді және процентильдерді дәлірек және сенімді түрде есептей аласыз.
Қаласаңыз, топтастырылған деректер кестесінің толық мысалын (интервал, жиілік, жинақталған жиілік) қосып, жаттығуды жеңілдету үшін Q1, D7 және P85 мәндерін егжей-тегжейлі есептей аламын.
