Жеке және топтастырылған деректер үшін медиананы есептеу әдістері
Медиана - статистикада жиі қолданылатын орталық үрдістің өлшемі. Барлық мәндерді қосып, содан кейін мәндер санына бөлетін орташа мәннен (орташа мәннен) айырмашылығы, медиана сұрыпталған деректер жиынының «орташа мәнін» ерекшелейді. Орынға бағытталғандықтан, медиана бір мән басқаларымен салыстырғанда өте үлкен немесе өте аз болған кездегі сияқты экстремалды мәндерге (ауытқуларға) салыстырмалы түрде төзімді. Сондықтан медиана экономикалық деректерді талдауда, білім беруде, әлеуметтік зерттеулерде және тіпті тест нәтижелерін бағалауда кеңінен қолданылады.
Бұл мақалада біз екі түрлі деректер үшін медиананы есептеу әдістерін талқылаймыз: жеке деректер (топталмаған) және топтастырылған деректер (жиілік үлестірім кестесінде көрсетілген). Формуладан басқа, талқылауда оңай іске асыруға арналған практикалық қадамдар қамтылады.
-
1. Медиананың негізгі ұғымы
Медиана - деректер ең кішісінен ең үлкеніне қарай сұрыпталғаннан кейінгі орташа мән. Егер деректер нүктелерінің саны тақ болса, медиана - дәл орташа мән. Егер деректер нүктелерінің саны жұп болса, медиана - екі орташа мәннің орташа мәні.
Интуитивті түрде, медиана деректерді екі бөлікке бөледі:
– Деректердің 50%-ы медианадан төмен (немесе оған тең)
– Деректердің 50%-ы медианадан жоғары (немесе оған тең)
Медиана ретке негізделгендіктен, әрқашан дерлік қажет болатын алғашқы қадам - деректерді сұрыптау.
-
2. Жеке деректер үшін медиананы есептеу
Жеке деректер – топтық деректердегідей аралық сыныптарда қорытындыланбаған, сол қалпында ұсынылған деректер (мысалы, оқушылардың бағаларының тізімі).
A. Жалпы қадамдар
1. Деректерді ең кіші мәннен ең үлкен мәнге қарай сұрыптаңыз.
2. Деректер көлемін анықтаңыз, мысалы, n.
3. Медиананың орнын анықтаңыз:
– Егер n тақ болса, медиана \((n+1)/2\) күйінде болады.
– Егер n жұп болса, медиана - бұл \(n/2\) және \((n/2)+1\) позицияларындағы деректердің орташа мәні.
B. Жеке деректерге арналған медиана формуласы
– Егер n тақ болса:
\[
Me = x_{(n+1)/2}
\]
Бұл медиананың \((n+1)/2\)-ші реттегі деректер мәні екенін білдіреді.
– Егер n жұп болса:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Бірыңғай деректердің мысалы (n тақ)
Деректер: 7, 2, 9, 4, 3
1) Сұрыптау: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (тақ)
3) Орташа позиция = \((5+1)/2 = 3\)
Медиана = 3-ші деректер = 4
Демек, деректердің медианасы 4-ге тең.
D. Жеке деректердің мысалы (n жұп)
Деректер: 10, 4, 6, 8
1) Сұрыптау: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (жұп)
3) Орташа позиция - 2-ші және 3-ші деректер
Медиана = \((6 + 8)/2 = 7\)
Демек, деректердің медианасы 7-ге тең.
E. Маңызды ескерту: Жиілігі бар деректер
Кейде бір деректер жиынтығы мән және жиілік ретінде берілуі мүмкін (мысалы, 60 екі рет, 70 бес рет пайда болады). Бұл жағдайда медиана деректердің «реттелуіне» негізделіп табылады, бірақ біз деректер нүктелерін жеке тізімдемей, медиана позициясын анықтау үшін жинақталған жиілікті пайдалана аламыз. Принцип бірдей: (n+1)/2-ші позицияны (тақ) немесе (n/2) және (n/2)+1-ші позицияны (жұп) табыңыз, содан кейін жинақталған жиілікке негізделіп, сол позицияны қамтитын мәндерді қараңыз.
-
3. Топтастырылған деректер үшін медиананы есептеу
Топталған деректер – бұл сынып аралықтары мен олардың жиіліктеріне жинақталған деректер. Мысалы: бойы 150–154 см болатын 3 адам, бойы 155–159 см болатын 8 адам және тағы басқалар. Жеке деректерден айырмашылығы, топтастырылған деректердің медианасы әдетте дәл анықталмайды, себебі біз аралықтағы жеке мәндерді білмейміз. Сондықтан медиана топтастырылған үлестірімдер үшін медиана формуласын қолдана отырып, жуықтау (бағалау) арқылы есептеледі.
A. Топтық деректер медианасындағы маңызды терминдер
Формуланы қолданар алдында бірнеше компоненттерді түсінуіміз керек:
– n = жалпы жиілік (деректердің жалпы саны)
– n/2 = жинақталған медиана позициясы
– Медиана класы = кумулятивті жиілік ≥ n/2 түзетін бірінші интервал класы
– L = медиана класының төменгі шегі (төменгі шегі емес, клас шегі; үздіксіз деректер үшін, егер деректер бүтін сандар болса, әдетте 0,5 түзету қолданылады)
– F = медиана класына дейінгі кумулятивтік жиілік
– f = медиана жиілігі
– c = сынып ұзындығы (аралық ені)
B. Топтық деректердің медианасын анықтау қадамдары
1. Жиілік үлестірім кестесін жасаңыз және жиынтық жиілік бағанын қосыңыз.
2. n (жиілік санын) есептеп, n/2 анықтаңыз.
3. Медиана класын, атап айтқанда, кумулятивті жиілікке негізделген n/2 позицияларды қамтитын класты анықтаңыз.
4. Топтық деректер үшін мәндерді медиана формуласына енгізіңіз.
C. Топтық деректер үшін медиана формуласы
\[
Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\times c
\]
Бұл формула деректер сынып аралығы бойынша біркелкі бөлінген деп есептеп, медиана класында сызықтық интерполяцияны орындайды.
D. Топтық деректердің медианасының мысалы
Мысалы, келесі тест нәтижелерінің деректері:
| Мән аралығы | Жиілік (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Жалпы жиілік:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) n/2 есептеңіз:
\[
n/2 = 20
\]
3) Жиынтық жиілік:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
20-орын бірінші жиынтық ұпайы ≥ 20, атап айтқанда 60–69 болатын сыныпта орналасқан. Демек, бұл медиана сынып.
4) Құрамдас бөліктерді анықтаңыз:
– L = медиана класының төменгі шеті. 60–69 аралығында төменгі шеті 59,5-ке тең (егер деректер бүтін сан болса).
– F = медиана класына дейінгі кумулятивтік жиілік = 13
– f = медиана класс жиілігі = 12
– c = сынып ұзындығы = 10
5) Формулаға енгізіңіз:
\[
Mе = 59,5 + \left(\frac{20 – 13}{12}\right)\times 10
\]
\[
Mе = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\times 10
\]
\[
Мен = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Сонымен, топтық деректердің медианасы шамамен 65,33 құрайды.
-
4. Жиі кездесетін қателіктер
Медиананы есептеу кезіндегі кейбір жиі кездесетін қателіктер:
1. Деректерді жеке деректер бойынша сұрыптамайды, сондықтан орташа мән дәл емес.
2. n жұп болған кезде медиананың орнын дұрыс анықтамау (екі ортаңғы мәннің орташасын алу керек).
3. Топтық деректер үшін медиана класын таңдау дұрыс емес, себебі ол кумулятивті жиілік жасамайды.
4. Деректер үздіксіз болғанда/аралықтар бүтін сандар болғанда төменгі жиек (L) класының төменгі шегін пайдалану.
5. Әсіресе, интервалдар сәйкес келмесе, сынып ұзақтығын (c) дұрыс анықтамау.
-
5. Қорытынды
Медиана - орталық тенденцияның қарапайым, бірақ күшті өлшемі, әсіресе деректерде экстремалды мәндер болған кезде. Жеке деректер жиынтықтары үшін медиана деректер сұрыпталғаннан кейін тікелей ортаңғы позициядан анықталады, деректер жиынтықтарының тақ және жұп сандары үшін әртүрлі өңдеу жүргізіледі. Сонымен қатар, топтастырылған деректер жиынтықтары үшін медиана медиана класына, кумулятивті жиілікке және клас ұзындығына негізделген интерполяция формуласын пайдаланып есептеледі.
Тұжырымдама мен қадамдарды түсіну арқылы сіз медиананы қарапайым деректер бойынша да, кестелерде жинақталған деректер бойынша да тез және дәл есептей аласыз. Көптеген аналитикалық жағдайларда медиана орташа мәнге қарағанда көбірек репрезентативті таңдау болып табылады, әсіресе деректердің таралуы асимметриялық болғанда немесе ауытқуларды қамтыған кезде.
Қаласаңыз, жеке және топтық деректердің медианасын түсінуіңізді нығайту үшін талқылаулармен қатар жаттығу сұрақтарын да қоса аламын.
