Сипаттамалық статистикадағы орташа, медиана және мода арасындағы айырмашылықтар
Сипаттамалық статистикада негізгі мақсаттардың бірі - деректерді оңай түсіну үшін қорытындылау. Үлкен, әртүрлі және кейде «шатастырылған» деректер орталық үрдістің өлшемдері түрінде ұсынылған кезде ақпараттық болады. Орталық үрдістің ең көп қолданылатын үш өлшемі - орташа, медиана және мода. Үшеуі де деректер жиынтығының «репрезентативті мәнін» көрсетуге бағытталғанымен, олардың жұмыс істеу әдістері, ауытқуларға сезімталдығы және тиісті пайдалану жағдайлары айтарлықтай ерекшеленеді.
Бұл мақалада талданатын деректер үшін ең қолайлы өлшемді таңдау үшін мағынасы, қалай есептеу керектігі, артықшылықтары мен кемшіліктері, сондай-ақ орташа мәннің, медиананың және моданың қолданылу мысалдары талқыланады.
1. Орташа (орташа): анықтамасы және қалай есептеу керек
Орташа мән - барлық деректер мәндерінің қосындысын деректер нүктелерінің санына бөлу. Көбінесе "орташа" деп аталатын орташа мән күнделікті өмірде ең көп кездеседі. Ол барлық мәндерді пропорционалды түрде қарастыру арқылы деректердің орталығының суретін береді.
Орташа формула:
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
Ақпарат:
– \(\sum x_i\) = барлық деректер мәндерінің қосындысы
– \(n\) = деректер саны
Мысал:
Бес студенттің емтихандағы ұпайлары: 70, 75, 80, 85, 90 болсын делік.
Орташа = (70 + 75 + 80 + 85 + 90) / 5 = 400 / 5 = 80
Орташа артықшылықтар
1. Пайдаланылған ақпарат толық болуы үшін барлық деректерді пайдаланыңыз.
2. Есептеу оңай және кеңейтілген талдауда кеңінен қолданылады (мысалы, дисперсия, стандартты ауытқу).
3. Сандық деректер мен салыстырмалы симметриялы үлестірімдерге жарамды.
Орташа тапшылық
1. Аутсайдерлерге өте сезімтал. Бір экстремалды мән орташа мәнді көптеген деректерден алыстата алады.
2. Деректердің таралуы бұрмаланған болса, әрқашан «типтік мәндерді» білдірмейді.
Сыртқы әсерлердің мысалдары:
Табыс туралы деректер (миллион рупия): 3, 3, 4, 4, 5, 50
Орташа = (3+3+4+4+5+50)/6 = 69/6 = 11,5
Табыстардың көпшілігі 3-5 миллион аралығында болғанымен, орташа көрсеткіш онша емес.
2. Медиана (орташа мән): анықтамасы және қалай есептеу керек
Медиана - деректер ең кішісінен ең үлкеніне қарай сұрыпталған кездегі ортадағы мән. Медиана жалпы шамаға емес, позицияға баса назар аударады, бұл оны ауытқуларға төзімді етеді.
Медиананы қалай анықтауға болады:
1. Деректерді сұрыптаңыз.
2. Егер деректер саны тақ болса, медиана - ортаңғы позициядағы мән.
3. Егер деректер саны жұп болса, медиана екі ортаңғы мәннің орташа мәні болып табылады.
Мысал (тақ):
Деректер: 2, 3, 5, 7, 9
Медиана = орташа мән = 5
Мысал (жұп):
Деректер: 10, 20, 30, 40
Медиана = (20 + 30) / 2 = 25
Орташа артықшылықтар
1. Шектен тыс мәндерге және экстремалды мәндерге төзімді.
2. Табыс, үй бағалары немесе күту уақыты сияқты бұрмаланған деректерге қолайлы.
3. Реттік деректер үшін пайдаланылуы мүмкін (мысалы, қанағаттанушылық рейтингтері: өте қанағаттанған, қанағаттанған, бейтарап, қанағаттанбаған).
Орташа кемшіліктер
1. Есептеулерінде барлық деректер мәндерін пайдаланбайды (көбірек «позицияға негізделген»).
2. Орташа қасиеттерді қажет ететін кеңейтілген математикалық талдау үшін онша қолайлы емес.
Егер табыс мысалына қайта оралсақ: 3, 3, 4, 4, 5, 50
Деректер сұрыпталған, 6 деректер үшін медиана 3-ші және 4-ші мәндердің орташа мәніне тең: (4 + 4) / 2 = 4
Бұл медиана көпшілік жағдайларын әлдеқайда жақсы көрсетеді.
3. Мода (ең үлкен мән): анықтамасы және қалай анықтау керек
Режим – деректер жиынында ең жиі пайда болатын мән. Кейбір жағдайларда деректерде мыналар болуы мүмкін:
– Бір режим (унимодальды): бір мән жиі пайда болады
– Екі режим (бимодальды): екі мән жиі кездеседі
– Көп режимді (көп режимді)
– Режим жоқ: егер барлық мәндер бірдей жиілікте пайда болса
Мысал:
Деректер: 2, 3, 3, 4, 5
Режим = 3 (ең жиі пайда болады)
Бимодальды мысал:
Деректер: 1, 2, 2, 3, 3, 4
Режим = 2 және 3
Режимнің артықшылықтары
1. Атаулы деректер үшін пайдаланылуы мүмкін орталық үрдістің жалғыз өлшемі (мысалы, сүйікті түс, ең көп қалаған бренд).
2. Түсіну оңай, себебі ол ең басым санатты/мәнді бірден көрсетеді.
3. Шектен тыс мәндер ең жиі кездесетін мәндердің жиілігін өзгертпейтіндіктен, ауытқулар әсер етпейді.
Режимнің болмауы
1. Кейде ол бірегей емес (бірнеше болуы мүмкін) немесе тіпті жоқ та болады.
2. Тұрақтылығы төмен болуы мүмкін; деректердегі шағын өзгерістер режимді өзгертуі мүмкін.
3. Деректердің «орталығын» математикалық тұрғыдан әрқашан көрсете бермейді.
4. Орташа, медиана және мода арасындағы негізгі айырмашылықтар
Қысқаша айтқанда, үшеуінің арасындағы айырмашылықтарды есептеу әдісінен, ауытқуларға сезімталдықтан және қолайлы деректер түрлерінен көруге болады:
1. Орташа мән барлық мәндерді пайдаланады, симметриялы сандық деректер үшін ең жақсы, бірақ ауытқуларға сезімтал.
2. Орынға негізделген медиана, бұрмаланған деректерге жарамды, ауытқуларға қарсы сенімдірек.
3. Жиілікке негізделген режим, санаттық/номиналды деректерге және ең басым мәнді көруге жарамды.
Көптеген статистикалық кітаптарда үш үлестірім арасында жалпы байланыс бар:
– Симметриялық үлестірім: орташа ≈ медиана ≈ мода
– Оңға қарай қисайған таралу (оңға қисайған): орташа > медиана > режим
– Солға қисайған үлестірім: орташа < медиана < режимі Дегенмен, бұл абсолютті ереже емес, үрдіс. 5. Орташа, медиана немесе режимді қашан қолдану керек? Орталық үрдістің тиісті өлшемін таңдау деректердің сипатына және талдау мақсатына байланысты. Орташа мәнді келесі жағдайларда қолданыңыз: - Деректер сандық (аралық/қатынас). - Тарату салыстырмалы түрде симметриялы. - Шектен тыс ауытқулар болмаса немесе ауытқулар өңделген болса. - Басқа статистикалық есептеулер үшін негіз қажет. Мысал жағдай: ұпайлардың әділ таралуы бар орташа сыныптық тест нәтижелері.
