Зерттеудегі статистикалық формулалар
Статистика - деректерді жинаумен, талдаумен, түсіндірумен және ұсынумен байланысты математика саласы. Зерттеулерде, жаратылыстану ғылымдарында, инженерияда, әлеуметтік ғылымдарда немесе тіпті гуманитарлық ғылымдарда болсын, статистика зерттеушілерге гипотезаларды тексеруге, болжамдар жасауға және қорытынды жасауға көмектесуде маңызды рөл атқарады. Бұл мақалада кейбір негізгі статистикалық формулалар және оларды зерттеулерде қолдану талқыланады.
1. Сипаттамалық статистика
Сипаттамалық статистика зерттеуде жиналған деректерді сипаттау үшін қолданылады. Олар деректерге жалпы шолу жасайтын әртүрлі өлшемдерді қамтиды.
a. Орташа (орташа)
Орташа мән - статистикада ең көп қолданылатын мән. Бұл деректер жиынындағы барлық мәндердің жалпы қосындысын мәндер санына бөлгендегі мән.
\[ \text{Mean} (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Қайда:
– \( \sum \) – қосынды белгісі, ол \(x \) функциясының 1-ден \(n \)-ге дейінгі барлық мәндерін қосуды білдіреді.
– \( x_i \) – деректер жиынындағы әрбір мән.
– \(n \) – деректер жиынындағы мәндердің жалпы саны.
b. Медиана
Медиана - сұрыпталған деректер жиынындағы ортаңғы мән. Егер деректердегі мәндер саны тақ болса, медиана - ортаңғы мән. Егер мәндер саны жұп болса, медиана - екі ортаңғы мәннің орташа мәні.
c. Режим
Режим – деректер жиынында ең жиі кездесетін мән. Деректер жиынында бір режим (унимодальды), бірнеше режим (мультимодальды) немесе мүлдем режим болмауы мүмкін.
d. Қашықтық
Диапазон - деректер жиынындағы ең үлкен және ең кіші мәндер арасындағы айырмашылық.
\[ \text{Ауқым} = \text{Ең көп}(x) – \text{Ең аз}(x) \]
д. Стандартты ауытқу
Стандартты ауытқу - деректердің орташа мән айналасындағы таралуын немесе дисперсиясын өлшеу. Популяцияның стандартты ауытқуының формуласы:
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N}} \]
Ал үлгі үшін:
\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}} \]
Қайда:
– \( \sigma \) – популяцияның стандартты ауытқуы.
– \( s \) – үлгінің стандартты ауытқуы.
– \( x_i \) – деректер жиынындағы әрбір мән.
– \( \mu \) – популяцияның орташа мәні.
– \( \bar{x} \) – үлгілік орташа мән.
– \( N \) - популяциядағы мәндердің жалпы саны.
– \( n \) - үлгідегі мәндердің жалпы саны.
2. Қорытынды статистика
Инференциалды статистика зерттеушілерге деректер үлгісіне негізделген популяция туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Ол гипотезаны тексеру, регрессия және дисперсияны талдау (ANOVA) сияқты әртүрлі әдістерді қамтиды.
а. Гипотезаны тексеру
Гипотезаны тексеру - бұл популяцияда шарттың шындыққа сәйкес келетіні туралы қорытынды жасау үшін деректер үлгісінде жеткілікті дәлелдердің бар-жоғын анықтау үшін қолданылатын статистикалық процесс.
i. Нөлдік гипотеза (H0) және балама гипотеза (H1)
– Нөлдік гипотеза (H0): Ешқандай айырмашылық немесе әсер жоқ.
– Балама гипотеза (H1): Айырмашылық немесе әсер бар.
Тестілеу t-тест, хи-квадрат тесті немесе ANOVA сияқты тест статистикасын пайдаланып және p-мәнін маңыздылық деңгейімен (\(\альфа\)), әдетте 0,05 салыстыру арқылы жүргізіледі.
ii. t-тесті
t-тест екі топтың орташа мәндерін салыстыру үшін қолданылады. t-тесттің бірнеше нұсқалары бар, мысалы, тәуелсіз үлгілер t-тест және жұптастырылған t-тест.
Тәуелсіз үлгілер үшін t-тестің негізгі формуласы:
\[ t = \frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right) + \left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)}} \]
b) Регрессия
Регрессия бір немесе бірнеше тәуелсіз айнымалылар (болжамдаушылар) мен тәуелді айнымалы (жауап) арасындағы байланысты модельдеу үшін қолданылады.
i. Қарапайым сызықтық регрессия
Қарапайым сызықтық регрессия бір тәуелсіз айнымалы мен бір тәуелді айнымалы арасындағы байланысты модельдейді.
Қарапайым сызықтық регрессия теңдеуі:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \]
Қайда:
– \( y \) тәуелді айнымалы.
– \( x \) тәуелсіз айнымалы.
– \( \beta_0 \) – қиылысу нүктесі.
– \( \beta_1 \) – регрессия коэффициенті.
– \( \epsilon \) қате болып табылады.
ii. Көптік сызықтық регрессия
Көптік сызықтық регрессия бірнеше тәуелсіз айнымалылар мен бір тәуелді айнымалы арасындағы байланысты модельдейді.
Көптік сызықтық регрессия теңдеуі:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_p x_p + \epsilon \]
Қайда:
– \( y \) тәуелді айнымалы.
– \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) тәуелсіз айнымалы болып табылады.
– \( \beta_0 \) – қиылысу нүктесі.
– \( \beta_p \) тәуелсіз айнымалы \( p \) үшін регрессия коэффициенті.
– \( \epsilon \) қате болып табылады.
c. Дисперсияны талдау (ANOVA)
ANOVA үш немесе одан да көп топтардың орташа мәндерін салыстыру үшін қолданылады. ANOVA топтар арасындағы өзгергіштікті топтар ішіндегі өзгергіштікпен салыстыру арқылы топтық орташа мәндер арасында айтарлықтай айырмашылық бар-жоғын анықтайды.
ANOVA-ның негізгі формуласы:
\[ F = \frac{\text{Топаралық айнымалылық}}{\text{Топішілік айнымалылық}} \]
F-статистикасы есептеліп, топтық орташа мәндер арасында айтарлықтай айырмашылық бар-жоғын анықтау үшін F үлестірімінің критикалық мәнімен салыстырылады.
3. Корреляция
Корреляция екі айнымалы арасындағы сызықтық байланыстың күші мен бағытын өлшейді.
a. Пирсон корреляция коэффициенті (r)
Пирсон корреляция коэффициенті екі айнымалы арасындағы сызықтық корреляцияны өлшеу үшін ең көп қолданылатын өлшем болып табылады.
Пирсон корреляция коэффициентінің формуласы:
\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}} \]
Қайда:
– \( r \) – Пирсон корреляция коэффициенті.
– \(x_i \) және \(y_i \) екі айнымалының мәндері болып табылады.
– \( \bar{x} \) және \( \bar{y} \) екі айнымалының орташа мәндері болып табылады.
\(r \) мәні -1-ден (толық теріс корреляция) +1-ге (толық оң корреляция) дейін ауытқиды, 0 корреляцияның жоқтығын көрсетеді.
Жабу
Статистика зерттеушілерге деректерді ұсынуға, талдауға және олардан қорытынды жасауға көмектесетін маңызды зерттеу құралы болып табылады. Бұл мақалада сипаттамалық және қорытынды статистикадағы бірнеше негізгі формулалар, сондай-ақ корреляция қарастырылады. Қарапайым болғанымен, бұл формулаларды толық түсіну дұрыс талдаулар жүргізу және зерттеу деректерінен дәл қорытындылар шығару үшін маңызды. Статистиканы меңгеру арқылы зерттеушілер өз тұжырымдарының сенімді және сенімді талдауға негізделгеніне көз жеткізе алады.
