Орталық бейімділікті өлшеу
Орталық үрдісті өлшеу статистикадағы ең негізгі және маңызды ұғымдардың бірі болып табылады. Оның мақсаты қарапайым: деректер жиынтығын деректердің орталығын «білдіретін» бірыңғай мәнге қорытындылау. Басқаша айтқанда, орталық үрдіс бізге «Типтік мән қандай?», «Бұл деректер қандай санға сәйкес келеді?» немесе «Жақын орташа мән қандай?» сияқты сұрақтарға жауап беруге көмектеседі. Бұл ұғым зерттеулерде, білім беруді бағалауда, бизнес-талдауда, денсаулық сақтауда және тіпті күнделікті шешім қабылдауда кеңінен қолданылады.
Жалпы, орталық үрдістің ең көп қолданылатын үш өлшемі бар: орташа (орташа), медиана (орташа мән) және мода (ең жиі кездесетін мән). Әрқайсысының өзіндік есептеу әдісі, артықшылықтары мен шектеулері бар. Әрбір өлшемді қашан қолдану керектігін түсіну талдауыңызды дәлірек және аз жаңылыстыруға көмектеседі.
1. Орташа (орташа)
Орташа мән - орталық тенденцияның ең танымал өлшемі. Ол барлық деректер мәндерін қосып, содан кейін деректер нүктелерінің санына бөлу арқылы алынады. Математикалық тұрғыдан алғанда, бір деректер нүктесі үшін:
\[
\bar{x} = \frac{\sum x}{n}
\]
Ақпарат:
– \(\bar{x}\) = орташа
– \(\sum x\) = барлық деректер мәндерінің қосындысы
– \(n\) = деректер көлемі
Мысал: Бес студенттің емтихандағы ұпайлары 70, 80, 85, 90, 75 болсын. Орташа мәні:
\[
\bar{x} = \frac{70+80+85+90+75}{5} = \frac{400}{5} = 80
\]
Сонымен, орташа балл 80.
Орташа артық
1. Толық шолу жасау үшін барлық деректерді пайдаланыңыз.
2. Есептеу және түсіну оңай.
3. Дисперсия, стандартты ауытқу, регрессия және т.б. сияқты кеңейтілген талдауда кеңінен қолданылады.
Орташа шектеулер
Орташа мән экстремалды мәндерге (ауытқуларға) өте сезімтал. Мысалы, егер бір деректер нүктесі өте үлкен немесе өте кішкентай болса, орташа мән «типтік» мәннен айтарлықтай ауытқуы мүмкін. Мысалы, үш адамның табысы туралы деректерді қарастырайық: 3 миллион, 3,5 миллион және 50 миллион. Орташа мән жоғары, дегенмен көпшілік 3-3,5 миллион шамасында табады.
Сондықтан, орташа мән деректер салыстырмалы түрде симметриялы болғанда және айқын ауытқулары болмаған кезде қолдануға жарамды.
2. Медиана (орташа мән)
Медиана - деректер ең кішісінен ең үлкеніне қарай сұрыпталғаннан кейінгі орташа мән. Егер деректер нүктелерінің саны тақ болса, медиана - орташа мән. Егер деректер нүктелерінің саны жұп болса, медиана - екі ортаңғы мәннің орташа мәні.
Мысал (тақ): Деректер: 2, 3, 5, 7, 9. Медиана = 5.
Мысал (жұп): Деректер: 2, 3, 5, 7. Медиана = (3 + 5) / 2 = 4.
Орташа артықшылықтар
1. Аутсайдерлерге қатты әсер етпейді, сондықтан ол ұштарында «таңқаларлық» деректер үшін тұрақтырақ.
2. Табыс деректері, үй бағалары немесе ауруханада болу ұзақтығы сияқты таралуы бұрмаланған деректерге жарамды.
Орташа шектеулер
Медиана деректер мәндері туралы барлық ақпаратты тікелей пайдаланбайды. Ол деректер арасындағы айырмашылықтардың шамасына емес, тек реті мен орнына сүйенеді. Бұл, мысалы, белгілі бір кеңейтілген статистикалық есептеулер үшін барлық мәндерді толықтай ескеру қажет болған жағдайда, медиананы онша ақпараттық емес етеді.
3. Режим (ең жиі пайда болатын мән)
Режим - деректер жиынында ең жиі пайда болатын мән. Ол ең «танымал» немесе ең жиі кездесетін мәндерді анықтау үшін өте пайдалы.
Мысал: Деректер: 1, 2, 2, 3, 4. Режим = 2.
Кейбір жағдайларда деректерде мыналар болуы мүмкін:
– Бір режим (унимодальды): ең жиі тек бір мән пайда болады.
– Екі режим (бимодальды): бірдей ең жоғары жиіліктегі екі мән бар.
– Бірнеше режим (мультимодальды): ең жиі кездесетін екіден көп мән.
– Режим жоқ: егер барлық мәндер бірдей жиілікте пайда болса.
Режимнің артықшылықтары
1. Санаттық деректерде (мысалы, сүйікті түс, ең көп сатылатын өнім түрі) пайдаланылуы мүмкін, ал орташа мән мен медиана санаттар үшін әрқашан маңызды бола бермейді.
2. Әсіресе жиілік таралуында табу оңай.
3. «Көптеген таңдаулар» немесе «ең көп таралған жағдайлар» туралы практикалық ақпарат беріңіз.
Режим шектеулері
Бұл режим бірегей болмауы немесе тіпті мүлдем болмауы мүмкін. Сонымен қатар, ол деректердің жалпы таралуын ескермейді. Екі түрлі деректер жиынтығы бірдей режимге ие болуы мүмкін, бірақ олардың таралу сипаттамалары өте әртүрлі.
4. Топтастырылған деректердегі орталық үрдіс
Іс жүзінде деректер көбінесе жиілік үлестірім кестесі (топтастырылған деректер) түрінде ұсынылады. Орталық үрдісті есептеу мүмкін, бірақ қосымша қадамдарды қажет етеді.
– Топтастырылған деректердің орташа мәні сыныптың ортаңғы нүктесін (ортаңғы аралық мәнін) оның жиілігіне көбейту, содан кейін жалпы жиілікке бөлу арқылы есептеледі.
– Топтастырылған деректердің медианасы медиана класын, атап айтқанда деректердің ортаңғы позициясын қамтитын класты анықтауды талап етеді.
– Топтастырылған деректердің режимі ең жоғары жиіліктегі класс (режим класы) негізінде анықталады, содан кейін бағалауды топтастырылған режим формуласын пайдаланып есептеуге болады.
Топтастырылған деректер тәсілі деректер соншалықты үлкен болған кезде пайдалы, оны аралықтарға жеңілдетуге болады.
5. Орталық бейімділіктің дұрыс өлшемін таңдау
Барлық жағдайлар үшін орталық үрдістің «ең жақсы» өлшемі жоқ. Таңдау деректердің мақсаты мен сипатына байланысты.
1. Егер деректер сандық болса және ауытқулар көп болмаса және таралу салыстырмалы түрде симметриялы болса, орташа мәнді пайдаланыңыз.
2. Егер деректерде айқын ауытқулар болса немесе таралу бұрмаланған болса, мысалы, байлық, табыс немесе баға деректері сияқты медиананы пайдаланыңыз.
3. Ең жиі пайда болатын мәнді білгіңіз келсе немесе деректер санатқа бөлінген болса, режимді пайдаланыңыз.
Мысалы, «орташа жалақы» есебінде орташа мән жалпы шолуды бере алады, бірақ медиана көбінесе жұмысшылардың көпшілігінің жағдайын жақсырақ көрсетеді деп саналады, себебі оған өте жоғары табыс табатын бірнеше адам аз әсер етеді.
6. Кесімпулан
Орталық үрдістің өлшемдері деректерді қорытындылау және түсіну үшін маңызды құралдар болып табылады. Орташа мән барлық деректер мәндерін пайдалана отырып, орташа мәнді береді, бірақ ауытқуларға сезімтал. Медиана экстремалды мәндерге төзімдірек орташа мәнді береді, бұл оны асимметриялық деректерге қолайлы етеді. Мода ең жиі кездесетін мәнді көрсетеді және әсіресе категориялық деректер үшін немесе жалпы үрдістерді анықтау үшін пайдалы.
Жақсы статистикалық талдауда бұл үш өлшем көбінесе бірге қолданылады. Орташа мәнді, медиананы және мода мәндерін салыстыру арқылы біз деректердің сипаттамалары туралы толығырақ түсінік ала аламыз — ол симметриялы ма, ауытқулар бар ма және қандай мәндер жиі кездеседі. Бұл түсінік сайып келгенде бізге ақпараттандырылған, деректерге негізделген шешімдер қабылдауға көмектеседі.
Қаласаңыз, мақаланы тиімдірек ету үшін толық мысал сұрақтарды (жеке және топтастырылған деректер), жаттығуларды және қадамдық талқылауларды қоса аламын.
