Modh nan Ceàrnagan as Lugha: Dòigh-obrach Matamataigeach airson Measadh
Pendahuuan
’S e dòigh staitistigeil a th’ ann an dòigh nan ceàrnagan as lugha a thathar a’ cleachdadh gus paramadairean ann am modail ath-tharraing a mheasadh le bhith a’ lughdachadh suim nam mearachdan ceàrnagach eadar na luachan fìor agus na luachan a tha air an ro-innse leis a’ mhodail. Tha an dòigh seo glè chumanta agus gu tric air a chleachdadh ann an diofar raointean leithid eaconamas, innleadaireachd, bith-eòlas agus na saidheansan sòisealta . Chaidh bun-bheachd nan ceàrnagan as lugha a mholadh an toiseach le Adrien-Marie Legendre tràth san 19mh linn, agus chaidh a leasachadh nas fhaide air adhart le Carl Friedrich Gauss.
Tuigse Bhunasach
San fharsaingeachd, tha an dòigh as lugha de cheàrnagan ag amas air an loidhne ath-tharraing as fheàrr a lorg airson seata dàta le bhith a’ lughdachadh suim cheàrnagan nan fuigheallan, no mearachdan ro-innse. Is e an fuigheall an diofar eadar an luach a chaidh fhaicinn agus an luach a chaidh a ro-innse.
Ma tha seata dàta againn anns a bheil paidhrichean de bhreithneachaidhean ((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)), is e ar n-amas an loidhne (y = mx + b) a lorgas suim nam mearachdan ceàrnagach sum( sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 ).
Faodar an dòigh seo a chur an sàs ann an ath-tharraing loidhneach sìmplidh agus ath-tharraing loidhneach iomadach. Ann an ath-tharraing loidhneach sìmplidh , chan eil againn ach aon chaochladair neo-eisimeileach (x), ach tha ath-tharraing loidhneach iomadach a’ toirt a-steach barrachd air aon chaochladair neo-eisimeileach.
Ath-thilleadh Lìnearach Sìmplidh
Tòisichidh sinn le ath-tharraing loidhneach sìmplidh. Ma tha seata dàta againn \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)). Is e am modail ath-tharraing loidhneach sìmplidh a tha sinn airson a chur ris:
[y = mx + b + epsilon]
far a bheil \(m \) na leathad, \(b \) na eadar-ghearradh, agus \(epsilon \) na mearachd air thuaiream.
A’ cleachdadh dòigh nan ceàrnagan as lugha, is urrainn dhuinn tuairmsean fhaighinn air na paramadairean \(m \) agus \(b \) le bhith a’ lughdachadh gnìomh mearachd ceàrnagach:
[S(m, b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 \]
Gus S(m, b) a lughdachadh, lorgaidh sinn na toraidhean pàirteach de S a thaobh m agus b, agus an uairsin fuasglaidh sinn an co-aontar seo airson m agus b:
\[ \begin{ailnithe}
\frac{\partial S}{\partial m} &= -2 \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i – (mx_i + b)) = 0 \\
\frac{\partial S}{\partial b} &= -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b)) = 0
\end{ailnithe} \]
Às dèidh sìmpleachadh, gheibh sinn an dà cho-aontar àbhaisteach a leanas:
\[ \begin{ailnithe}
n\bar{y} & = m \sum_{i=1}^{n} x_i + nb \\
∫\sum_{i=1}^{n}x_i y_i & = m ∫\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + b ∫\sum_{i=1}^{n}x_i
\end{ailnithe} \]
Le bhith a’ fuasgladh an t-siostaim cho-aontaran gu h-àrd, is urrainn dhuinn luachan \(m \) agus \(b \) a lorg a lughdaicheas a’ mhearachd cheàrnagach.
Ath-thilleadh Lìnearach Iomadach
Ann an ath-tharraing ioma-loidhneach, bidh sinn an aghaidh suidheachadh far a bheil barrachd air aon chaochladair neo-eisimeileach againn. Ma tha dàta againn ann an cruth tuple \((x_{i1}, x_{i2}, …, x_{ik}, y_i)\). Is e am modail ath-tharraing a bhios sinn a’ cleachdadh:
[y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + … + b_kx_k + \epsilon \]
Faodar an co-aontar seo a sgrìobhadh ann an cruth maitrís mar:
\[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{b} + \mathbf{\epsilon} \]
Càite:
– ’S e vectar colbh de luachan y a chaidh fhaicinn a th’ ann an \( \mathbf{y} \).
– ’S e maitrís de luachan x a chaidh fhaicinn a th’ ann an \( \mathbf{X} \) (a’ gabhail a-steach colbh 1 airson an eadar-ghearraidh).
– ’S e vectar colbh de na paramadairean (a’ gabhail a-steach b_0)) a th’ ann an \( \mathbf{b \).
Is e amas dòigh nan ceàrnagan as lugha an gnìomh mearachd ceàrnagach a leanas a lughdachadh:
\[ S(\mathbf{b}) = (\mathbf{y} – \mathbf{Xb})^ T (\mathbf{y} – \mathbf{Xb}) \]
Gus an gnìomh seo a lughdachadh, gabhaidh sinn an t-atharrachadh pàirteach de S a thaobh \( \mathbf{b} \) agus cuiridh sinn e gu neoni. Bheir seo a-mach an co-aontar àbhaisteach airson ath-tharraing ioma-loidhneach:
[\mathbf{X}^T \mathbf{X} = \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]
Le bhith a’ fuasgladh an t-siostaim cho-aontaran gu h-àrd, gheibh sinn tuairmse air a’ pharamadair \( \mathbf{b} \):
[b = (X^T X)^{-1} X^T y]
Buannachdan agus Cuingealachaidhean
Tha mòran bhuannachdan aig an dòigh cheàrnagach as lugha. Tha e na dhòigh glè èifeachdach agus sìmplidh ri chleachdadh. Tha e a’ tabhann fuasgladh gun samhail ma tha \( \mathbf{X}^T \mathbf{X} \) neo-thionndaidheach, ga dhèanamh earbsach airson mòran thagraidhean practaigeach.
Ach, tha crìochan aig an dòigh cheàrnagach as lugha cuideachd. Tha e glè mhothachail do dh’eas-chruthaichean oir tha am mearachd ceàrnagach a’ cur barrachd cuideam air eadar-dhealachaidhean mòra na feadhainn bheaga. A bharrachd air an sin, feumar coinneachadh ris a’ bharail chlasaigeach gu bheil sgaoileadh àbhaisteach aig na mearachdan le meadhan neoni agus caochlaideachd seasmhach airson deagh thoraidhean.
Cleachdaidhean Practaigeach
Bithear a’ cleachdadh an dòigh cheàrnag as lugha gu tric ann an mion-sgrùdadh gluasadan dàta, ro-innse, agus ionnsachadh innealan gus modalan ro-innseach a thogail. Anns a’ ghnìomhachas ionmhais, thathar a’ cleachdadh an dòigh cheàrnag as lugha gus prìsean stoc no coileanadh margaidh a ro-innse. Ann an leigheas, thathar ga chleachdadh gus modaladh a dhèanamh air a’ cheangal eadar dòs dhrogaichean agus freagairt euslaintich. Anns na saidheansan sòisealta, cuidichidh e le bhith a’ tuigsinn a’ cheangail eadar caochladairean leithid foghlam agus teachd-a-steach.
Co-dhùnadh
’S e dòigh nan ceàrnagan as lugha aon de na dòighean bunaiteach ann an staitistig agus mion-sgrùdadh dàta. Ged a tha e sìmplidh ann am bun-bheachd, tha cumhachd mòr aig an dòigh seo ann a bhith a’ modaladh agus a’ tuigsinn dàimhean eadar caochladairean. Le tagraidhean farsaing thar raon farsaing de raointean, tha tuigse làidir air an dòigh seo air leth luachmhor dha proifeiseantaich agus luchd-rannsachaidh le chèile. San àm ri teachd, leis an àireamh dàta a tha a’ sìor fhàs a tha ri lorg ann an linn an dàta mhòir, cha bhith atharrachadh agus cleachdadh dhòighean clasaigeach leithid na ceàrnagan as lugha ach a’ sìor fhàs buntainneach.
