Mion-sgrùdadh Sgaoileadh Dàta a’ cleachdadh Claonadh Coitcheann
Ann an staitistig, chan eil e gu leòr dìreach "meadhan" seata dàta a thuigsinn. Faodaidh an aon chuibheasachd a bhith aig dà sheata dàta, ach tha na feartan aca gu math eadar-dhealaichte air sgàth an ìre sgapaidh. Seo far a bheil bun-bheachd sgapaidh dàta cudromach. Is e aon de na tomhasan sgapaidh as mòr-chòrdte, as làidire agus as trice a thathas a’ cleachdadh ann an diofar raointean - bho fhoghlam agus eaconamas gu slàinte agus saidheans dàta - an claonadh àbhaisteach. Tha an artaigil seo a’ beachdachadh air bun-bheachd, àireamhachadh, mìneachadh agus cleachdadh claonadh àbhaisteach gus sgrùdadh a dhèanamh air mar a tha dàta sgapte bhon luach meadhanach aige.
1. Carson a dh’fheumar mion-sgrùdadh a dhèanamh air sgaoileadh dàta?
Smaoinich air dà chlas le sgòr cuibheasach de 80 ann an deuchainn matamataigs. Ann an clas A, fhuair cha mhòr a h-uile sgoilear sgòr eadar 78 agus 82. Ann an clas B, fhuair cuid de sgoilearan sgòr de 50 agus cuid eile 100. Tha na cuibheasachdan mar an ceudna, ach tha na suidheachaidhean anns an dà chlas gu math eadar-dhealaichte. Tha coileanadh cunbhalach aig Clas A, agus tha eadar-dhealachadh mòr aig Clas B.
Le bhith a’ dèanamh anailis air an sgaoileadh, is urrainn dhuinn:
- Dèan measadh air cunbhalachd no atharrachadh ann an rud sònraichte.
– A’ tomhas cunnart (m.e. atharrachadh ann an toradh tasgaidh).
– A’ dèanamh coimeas eadar seasmhachd phròiseasan (m.e. càileachd cinneasachaidh).
- Lorg ana-cainnt no dàta anabarrach a dh’fhaodadh a bhith ann.
’S e an claonadh àbhaisteach am prìomh inneal airson seo oir tha e a’ tomhas dè cho fada ’s a tha an dàta air a sgaoileadh bhon mheadhan.
2. Mìneachadh air Claonadh Coitcheann
’S e freumh ceàrnagach an atharrachaidh an claonadh àbhaisteach. Ged a tha an caochlaideachd a’ tomhas cuibheasachd cheàrnagan nan diofaran eadar an dàta agus a’ mheadhan, bidh an claonadh àbhaisteach a’ tilleadh nan aonadan tomhais chun sgèile thùsail aca (me, sgòran deuchainn, cileagraman, rupiah, msaa.). Tha seo a’ dèanamh an claonadh àbhaisteach nas fhasa a mhìneachadh.
Gu h-intuitive:
– Claonadh àbhaisteach beag → tha an dàta a chaidh a chruinneachadh faisg air a’ chuibheasachd (nas aonfhoirmeile).
– Claonadh àbhaisteach mòr → tha dàta sgaoilte fada bhon mheadhan (nas eugsamhaile).
3. Foirmle Claonadh Coitcheann: Àireamh-shluaigh an aghaidh Sampall
Ann an staitistig, bidh sinn a’ dèanamh eadar-dhealachadh eadar obrachadh a-mach claonadh àbhaisteach airson sluagh agus sampallan.
a) Claonadh Inbhe Sluaigh (σ)
Ma tha an dàta a thathar a’ sgrùdadh a’ toirt a-steach a h-uile ball den t-sluagh, is e seo am foirmle:
\[
∫sigma = ∫sqrt{\frac{\sum(x_i – \mu)^2}{N}}
\]
Fiosrachadh:
– \(x_i\) = luach dàta an i-mh
– \(\mu\) = cuibheasachd sluaigh
– \(N\) = àireamh dàta sluaigh
b) Claonadh Coitcheann Sampall (ean)
Ma tha an dàta a thathar a’ sgrùdadh dìreach mar phàirt den t-sluagh (sampall), is e seo am foirmle:
\[
s = \sqrt{\frac{\sum(x_i – \bar{x})^2}{n-1}}
\]
Fiosrachadh:
– \(\bar{x}\) = cuibheasachd an t-sampall
– \(n\) = àireamh dàta sampall
– Canar na ceumannan saorsa (ceartachadh Bessel) ri \(n-1\), air an cleachdadh gus am bi an tuairmse air caochlaideachd/claonadh àbhaisteach neo-chlaon.
Ann an cleachdadh làitheil, mar as trice bidh an dàta a th’ againn ann an cruth shamhlaichean, agus mar sin tha am foirmle \(n-1\) air a chleachdadh gu math cumanta.
4. Ceumannan airson Claonadh Coitcheann obrachadh a-mach
Gus am pròiseas a thuigsinn, seo na ceumannan coitcheann airson claonadh àbhaisteach sampall obrachadh a-mach:
1. Obraich a-mach a’ chuibheasachd (\(\bar{x}\)).
2. Obraich a-mach an diofar eadar gach dàta agus a’ chuibheasachd (\(x_i – \bar{x}\)).
3. Ceàrnaich an diofar (x_i – x).
4. Cuir na ceàrnagan uile ri chèile.
5. Roinn le \(n-1\) gus an caochlaideachd sampall fhaighinn.
6. Gabh freumh ceàrnagach an toraidh gus an claonadh àbhaisteach (an) fhaighinn.
Eisimpleir Shìmplidh
Ma tha luachan an dàta mar a leanas: 70, 75, 80, 85, 90 (n = 5)
– Cuibheasach: \(\bar{x} = (70+75+80+85+90)/5 = 80\)
– Diofar: -10, -5, 0, 5, 10
– Eadar-dhealachadh ceàrnagach: 100, 25, 0, 25, 100
– Àireamh cheàrnagan: 250
– Caochlaideachd sampall: \(250/(5-1)=62,5\)
– Claonadh àbhaisteach: \(s = \sqrt{62,5} \approx 7,91\)
An mìneachadh sìmplidh: tha na luachan a’ dol eadar iad fhèin le cuibheasachd de mu 7,91 puingean bhon chuibheasachd de 80.
5. Mìneachadh air Claonadh Coitcheann ann an Mion-sgrùdadh Dàta
Chan eil claonadh àbhaisteach na aonar; tha a bhrìgh an urra ri co-theacsa. Ach, faodaidh cuid de stiùiridhean coitcheann a bhith feumail:
– Ma tha an claonadh àbhaisteach faisg air 0, tha an dàta gu math dùmhail timcheall air a’ chuibheasachd.
– Ma tha an claonadh àbhaisteach mòr, tha an dàta nas caochlaideach, a’ nochdadh neo-chunbhalachd.
Bithear tric a’ cleachdadh claonadh àbhaisteach airson:
– A’ dèanamh coimeas eadar dà bhuidheann: mar eisimpleir dà chlas leis an aon chuibheasachd, ach diofar chlaonaidhean àbhaisteach.
– A’ measadh seasmhachd phròiseis: tha cinneasachadh factaraidh le claonadh àbhaisteach beag ann am meud toraidh a’ ciallachadh càileachd nas cunbhalaiche.
– A’ tomhas luaineachd: ann an ionmhas, thathas gu tric a’ cleachdadh an claonadh àbhaisteach de thilleadh stoc mar chomharradh cunnairt.
6. Ceangal eadar Claonadh Coitcheann agus Sgaoileadh Àbhaisteach
Ann an dàta a leanas sgaoileadh àbhaisteach, tha mìneachadh làidir aig an diall àbhaisteach tron riaghailt empirigeach:
– Tha mu 68% den dàta anns an raon \(\bar{x} \pm 1s\)
– Tha mu 95% den dàta anns an raon \(\bar{x} \pm 2s\)
– Tha mu 99,7% den dàta anns an raon \(\bar{x} \pm 3s\)
Tha an riaghailt seo feumail airson tuairmse a dhèanamh air dè an ìre dàta a tha “àbhaisteach” timcheall air a’ chuibheasachd agus ga dhèanamh nas fhasa luachan fìor a lorg. Ach, tha e cudromach cuimhneachadh nach eil an riaghailt seo ceart ach ma tha an dàta dha-rìribh faisg air an àbhaist.
7. Claonadh Coitcheann an aghaidh Tomhasan Eile de Sgaoileadh
Ged a tha claonadh àbhaisteach glè chumanta, tha tomhasan eile de sgapadh ann a tha cudromach cuideachd:
– Raon: an diofar eadar na luachan as àirde agus as ìsle. Sìmplidh ach glè mhothachail air luachan neo-àbhaisteach.
– IQR (raon eadar-chairteal): an raon eadar cairteal 1 agus cairteal 3. Nas seasmhaiche ri luachan a-muigh na an claonadh àbhaisteach.
– MAD (claonadh iomlan meadhanach): tomhas làidir stèidhichte air a’ mheadhan, freagarrach airson dàta le mòran de dh’àireamhan as ìsle.
Tha an claonadh àbhaisteach nas fheàrr nuair a tha an dàta caran “glan” agus nach eil cus earbaill air an sgaoileadh. Ma tha mòran luachan neo-àbhaisteach anns an dàta, faodaidh an claonadh àbhaisteach a bhith nas motha agus nas lugha a’ riochdachadh a’ mhòr-chuid den dàta.
8. Buannachdan agus Cuingealachaidhean Claonadh Coitcheann
Còrr
– A’ cleachdadh a h-uile dàta (chan e dìreach luachan anabarrach).
– Tha bunait teòiridheach làidir aige agus gu tric bidh e air a chleachdadh ann am mòran dhòighean staitistigeil adhartach.
– Furasta a mhìneachadh leis gu bheil na h-aonadan mar an ceudna ris an dàta tùsail.
Teòraidhean
– Glè mhothachail do nithean neo-àbhaisteach oir tha e a’ toirt a-steach ceàrnag an eadar-dhealachaidh.
– Tha mìneachadh “mòr” no “beag” an urra ri sgèile agus co-theacsa.
– Ann an sgaoilidhean nach eil àbhaisteach idir, is dòcha nach bi an claonadh àbhaisteach cho riochdachail.
9. Co-dhùnadh
Tha sgrùdadh sgapadh dàta na cheum deatamach ann a bhith a’ tuigsinn feartan seata dàta. Tha an claonadh àbhaisteach a’ toirt seachad tomhas soilleir air dè cho fada ‘s a tha dàta a’ sgaoileadh bhon mheadhan, gar cuideachadh le bhith a’ measadh cunbhalachd, cunnart agus càileachd pròiseas no iongantas. Le bhith a’ tuigsinn mar a nì sinn obrachadh a-mach agus a mhìneachadh, is urrainn dhuinn co-dhùnaidhean nas fiosraichte a dhèanamh, ge bith an ann an rannsachadh acadaimigeach, measadh coileanaidh, smachd càileachd no mion-sgrùdadh gnìomhachais.
Aig a’ cheann thall, chan e dìreach àireamh a th’ ann an claonadh àbhaisteach, ach geàrr-chunntas cudromach air a’ mhì-chinnt agus an atharrachadh a tha anns an dàta. Airson mion-sgrùdadh nas làidire, bu chòir claonadh àbhaisteach a chleachdadh còmhla ri tomhasan eile - leithid am meadhan, IQR, no lèirsinn dàta - gus dealbh nas coileanta agus nas cruinne den sgaoileadh a thoirt seachad.
