Mion-sgrùdadh Ath-tharraing Lìnearach Sìmplidh
’S e dòigh staitistigeil a th’ ann an ath-tharraing sìmplidh loidhneach a thathar a’ cleachdadh gus an dàimh eadar dà chaochladair cainneachdail a sgrùdadh. Canar an caochladair eisimeileach no freagairt ris a’ chaochladair a tha sinn a’ feuchainn ri ro-innse, agus canar an caochladair neo-eisimeileach no ro-innse ris a’ chaochladair a thathar a’ cleachdadh gus an ro-innse a dhèanamh. Ann an ath-tharraing sìmplidh loidhneach, bidh sinn a’ feuchainn ris an loidhne dhìreach as fheàrr a lorg a tha a’ toirt cunntas air an dàimh eadar an dà chaochladair seo.
Bun-bheachdan Ath-tharraing Loidhneach Shìmplidh
Tha ath-tharraing loidhneach shìmplidh stèidhichte air a’ bharail gu bheil dàimh loidhneach eadar an caochladair eisimeileach \(Y\) agus an caochladair neo-eisimeileach \(X\). Is e cruth coitcheann modail ath-tharraing loidhneach shìmplidh:
[Y = β0 + β1 X + epsilon]
Càite:
– Is e \(Y \) an caochladair eisimeileach.
– Is e \(X \) an caochladair neo-eisimeileach.
– ’S e (β0) an eadar-ghearradh, ’s e sin luach (Y) nuair a tha (X = 0).
– ’S e β1 an leathad no an claonadh, ’s e sin an t-atharrachadh cuibheasach ann an Y airson gach aonad atharrachaidh ann an X.
– ’S e \( \epsilon \) an teirm mearachd no fuigheall a tha a’ riochdachadh an atharrachadh ann an \(Y\) nach gabh a mhìneachadh le \(X\).
Is e amas ath-tharraing loidhneach shìmplidh na paramadairean β0 agus β1 a mheasadh gus an gabh am modail a chleachdadh gus luach β a tha co-cheangailte ri luach β X a ro-innse.
Modh nan Ceàrnagan as Lugha
Is e aon de na dòighean as cumanta airson modail ath-tharraing loidhneach sìmplidh a chur an sàs an dòigh Least Squares. Tha an dòigh seo ag amas air suim cheàrnagan nan diallaidhean dìreach eadar na beachdan fhèin agus na luachan a tha air an ro-innse leis a’ mhodail a lughdachadh. Ma tha n beachdan againn anns a bheil paidhrichean \((x_i, y_i)\) airson \(i = 1, 2, …, n\). Is e an gnìomh a tha ri lughdachadh:
[S(β0, β1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (β0 + β1 x_i))^2 \]
Gus β₀ agus β₁ a lorg a lughdaicheas an gnìomh seo, gabhaidh sinn na toraidhean pàirteach de S(β₀, β₁) a thaobh gach paramadair agus cuiridh sinn na toraidhean sin gu neoni. Faodar an àireamhachadh matamataigeach a dhèanamh nas sìmplidhe mar a leanas:
[β1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}]
\[ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \]
Càite:
– Is e \(\bar{x}\) cuibheasachd \(X\)
– Is e \(\bar{y}\) cuibheasachd \(Y\)
Às dèidh na paramadairean β0 agus β1 fhaighinn, faodar modail ath-tharraing loidhneach sìmplidh a chleachdadh gus luach β a ro-innse airson gach luach β.
Beachdan ann an Ath-thilleadh Lìnearach Sìmplidh
Airson toraidhean dligheach is earbsach, tha ath-tharraing loidhneach sìmplidh a’ gabhail ris grunn rudan:
1. Lìnearachd: Feumaidh an dàimh eadar an caochladair eisimeileach agus an caochladair neo-eisimeileach a bhith loidhneach.
2. Neo-eisimeileachd: Feumaidh beachdan a bhith neo-eisimeileach bho chèile.
3. Co-ionannachd: Feumaidh an caochlaideachd fuigheallach a bhith seasmhach air feadh raon luachan a’ chaochladair neo-eisimeileach.
4. Normalachd Fuigheallach: Feumaidh fuigheallan (mearachdan) sgaoileadh àbhaisteach a leantainn.
Mura tèid coinneachadh ris na barailean sin, bidh toraidhean modail ath-tharraing loidhneach sìmplidh neo-earbsach agus is dòcha nach bi e comasach dhaibh ro-innse ceart a dhèanamh.
Measadh Modail Ath-thilleadh
Is e aon dhòigh air measadh a dhèanamh air dè cho math ’s a tha modail sìmplidh ath-tharraing loidhneach air ro-innse a bhith a’ cleachdadh an Co-èifeachd Dearbhaidh (\(R^2\)). Tha an co-èifeachd dearbhaidh a’ sealltainn na co-roinn de atharrachadh anns a’ chaochladair eisimeileach a dh’ fhaodar a mhìneachadh leis an atharrachadh anns na caochladairean neo-eisimeileach.
[ R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2} \]
Càite:
– Is e \(\hat{y}_i\) an luach ro-innseach de \(Y\).
– ’S e \(y_i\) fìor luach \(Y\).
– ’S e cuibheasachd luachan Y a th’ ann an \(\bar{y}\).
Tha an luach \(R^2\) eadar 0 agus 1. Tha luach \(R^2\) faisg air 1 a’ comharrachadh gum faod am modail a’ mhòr-chuid den atharrachadh anns a’ chaochladair eisimeileach a mhìneachadh.
Buileachadh ann an Cànan Prògramaidh
Gus ath-tharraing loidhneach sìmplidh a chur an gnìomh, is urrainn dhuinn diofar bhathar-bog staitistigeil no cànanan prògramaidh a chleachdadh. Seo eisimpleir de chur an gnìomh ann am Python a’ cleachdadh an leabharlann `scikit-learn`:
“` python
import numpy mar np
toirt a-steach matplotlib.pyplot mar plt
bho sklearn.linear_model import LinearRegression
bho sklearn.metrics a’ toirt a-steach mearachd_ceàrnagach_mean, sgòr_r2
Dàta
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]).astype(np.float64)
y = np.array([1.5, 3.6, 3.5, 2.9, 5.5]).astype(np.float64)
modail
model = Tilleadh loidhneach ()
modail.fit (X, y)
Ro-innse
y_pred = modail.ro-innse(X)
Co-èifeachd
beta_0 = modail.eadar-ghabhail_
beta_1 = modail.coef_[0]
clò-bhuail(f'Eadar-ghabhail: {beta_0}')
clò-bhuail(f'Leathad: {beta_1}')
clò-bhuail(f'Mearachd cheàrnagach chuibheasach: {mean_squared_error(y, y_pred)}')
clò-bhuail(f'Co-èifeachd dearbhaidh (R^2): {r2_score(y, y_pred)}')
Plota dàta agus loidhne ath-tharraing
plt.scatter(X, y, dath='gorm')
plt.plot(X, y_pred, dath='dearg')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
“`
Anns an eisimpleir gu h-àrd, bidh sinn an toiseach a’ toirt a-steach na leabharlannan riatanach, a’ mìneachadh an dàta \(X\) agus \(Y\), agus an uairsin a’ cleachdadh an nì `LinearRegression` bho `scikit-learn` gus modail a chur ris an dàta. Cho luath ‘s a bhios am modail air a chur ris, bidh sinn a’ dèanamh ro-innse agus a’ tomhas nan co-èifeachdan, a bharrachd air a’ mhearachd cheàrnagach chuibheasach agus an co-èifeachd dearbhaidh. Mu dheireadh, bidh sinn a’ plotadh an dàta agus an loidhne ath-tharraing.
Co-dhùnadh
’S e inneal cumhachdach airson mion-sgrùdadh staitistigeil a th’ ann an ath-tharraing loidhneach shìmplidh a thathar a’ cleachdadh gus mìneachadh a dhèanamh air a’ cheangal eadar dà chaochladair cainneachdail. Le beagan barailean bunaiteach mu dheidhinn loidhneachd, neo-eisimeileachd, co-sheòrsachd, agus àbhaisteachd, is urrainn dhuinn luach a’ chaochladair eisimeileach a ro-innse stèidhichte air luachan nan caochladairean neo-eisimeileach. Tha dòigh nan Ceàrnagan as Lugha a’ toirt seachad dòigh èifeachdach airson loidhne ath-tharraing a shuidheachadh agus paramadairean as fheàrr a dhearbhadh. Bheir measadh modail tron cho-èifeachd dearbhaidh (R2) sealladh dhuinn air cho math ’s a tha ar modail a’ coileanadh.
Ged a tha cuingealachaidhean aig ath-tharraing loidhneach sìmplidh, leithid a bhith comasach air dìreach dà chaochladair a làimhseachadh agus na barailean a dh’ fheumar a choileanadh, tha an dòigh seo fhathast na bhunait chudromach ann an staitistig agus mion-sgrùdadh dàta, agus gu tric bidh e air a chleachdadh mar a’ chiad cheum ann a bhith a’ tuigsinn a’ chàirdeis eadar caochladairean mus tèid gluasad air adhart gu dòighean nas iom-fhillte.
