Dòighean airson Meadhan-luach a thomhas airson Dàta Singilte agus Dàta Buidhnichte
’S e tomhas de chlaonadh meadhanach a th’ anns a’ mheadhan a thathas a’ cleachdadh gu tric ann an staitistig. Eu-coltach ris a’ chuibheasachd (meadhan), a bhios a’ cur ri chèile na luachan uile agus an uairsin ga roinn leis an àireamh de luachan, tha am meadhan a’ cur cuideam air “luach meadhanach” seata dàta air a sheòrsachadh. Air sgàth a’ chuideam a th’ aige air suidheachadh, tha am meadhan an ìre mhath seasmhach an aghaidh luachan anabarrach (luachan taobh a-muigh), leithid nuair a tha aon luach glè mhòr no glè bheag an taca ris na luachan eile. Sin as coireach gu bheil am meadhan air a chleachdadh gu farsaing ann am mion-sgrùdadh dàta eaconamach, foghlam, rannsachadh sòisealta, agus eadhon measadh sgòran deuchainn.
San artaigil seo, bruidhnidh sinn air dòighean airson am meadhan obrachadh a-mach airson dà sheòrsa dàta: dàta singilte (gun bhuidhneachadh) agus dàta buidhne (air a thaisbeanadh ann an clàr cuairteachaidh tricead). A bharrachd air an fhoirmle, bidh ceumannan practaigeach san deasbad airson a chur an gnìomh gu furasta.
-
1. Bun-bheachd Meadhanach
’S e am meadhan an luach meadhanach às dèidh an dàta a bhith air a sheòrsachadh bhon fheadhainn as lugha chun an fheadhainn as motha. Ma tha an àireamh de phuingean dàta neònach, ’s e am meadhan an luach meadhanach dìreach. Ma tha an àireamh de phuingean dàta cothromach, ’s e am meadhan cuibheasachd an dà luach meadhanach.
Gu h-intuitive, tha am meadhan a’ roinn an dàta ann an dà phàirt:
– Tha 50% den dàta fo (no co-ionann ris) am meadhan
– Tha 50% den dàta os cionn (no co-ionann ris) a’ mheadhain
Leis gu bheil am meadhan stèidhichte air òrdugh, is e a’ chiad cheum a dh’ fheumar cha mhòr an-còmhnaidh an dàta a sheòrsachadh.
-
2. A’ tomhas an Meadhan airson Dàta Singilte
Is e dàta singilte dàta a tha air a thaisbeanadh mar a tha e (mar eisimpleir liosta de ìrean oileanach), gun a bhith air a gheàrr-chunntas ann an clasaichean eadar-amail mar a tha ann an dàta buidhne.
A. Ceumannan Coitcheann
1. Seòrsaich an dàta bhon luach as lugha chun an luach as motha.
2. Obraich a-mach meud an dàta, mar eisimpleir n.
3. Obraich a-mach suidheachadh a’ mheadhain:
– Ma tha n neo-ionann, tha am meadhan aig an t-suidheachadh \((n+1)/2\).
– Ma tha n cothromach, ’s e am meadhan cuibheasachd an dàta aig na suidheachaidhean \(n/2\) agus \((n/2)+1\).
B. Foirmle Meadhanach airson Dàta Singilte
– Ma tha n neo-ionann:
\[
Mise = x_{(n+1)/2}
\]
Tha seo a’ ciallachadh gur e am meadhan luach an dàta san òrdugh \((n+1)/2\).
– Ma tha n cothromach:
\[
Mise = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Eisimpleir de Dhàta Singilte (n Odd)
Dàta: 7, 2, 9, 4, 3
1) Seòrsachadh: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (neo-chothromach)
3) Suidheachadh meadhanach = \((5+1)/2 = 3\)
Meadhan = 3mh dàta = 4
Mar sin is e 4 meadhan an dàta.
D. Eisimpleir de Dhàta Singilte (n Cothromach)
Dàta: 10, 4, 6, 8
1) Seòrsachadh: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (cothrom)
3) Is e an suidheachadh meadhanach an 2na agus an 3mh dàta
Meadhan = \((6 + 8)/2 = 7\)
Mar sin is e 7 meadhan an dàta.
E. Nota Chudromach: Dàta aig a bheil Tricead
Aig amannan faodar aon sheata dàta a thoirt seachad mar luach agus tricead (m.e., nochdaidh 60 dà uair, nochdaidh 70 còig tursan). Anns a’ chùis seo, lorgar am meadhan fhathast stèidhichte air “òrdachadh” an dàta, ach is urrainn dhuinn an tricead cruinnichte a chleachdadh gus an suidheachadh meadhanach a dhearbhadh gun na puingean dàta a liostadh leotha fhèin. Tha am prionnsapal mar an ceudna: lorg an (n+1)/2na suidheachadh (corr) no an (n/2) agus (n/2)+1d suidheachadh (cothrom), agus an uairsin coimhead air na luachan a tha a’ còmhdach an t-suidheachaidh sin stèidhichte air an tricead cruinnichte.
-
3. A’ tomhas an Meadhan airson Dàta Buidhnichte
Is e dàta buidhneichte dàta a chaidh a gheàrr-chunntas ann an eadar-ama clas agus an tricead. Mar eisimpleir: 3 daoine le àirde 150–154 cm, 8 daoine le àirde 155–159 cm, agus mar sin air adhart. Eu-coltach ri dàta singilte, mar as trice chan eil meadhan dàta buidhneichte air a dhearbhadh gu ceart leis nach eil fios againn air na luachan fa leth taobh a-staigh an eadar-ama. Mar sin, thèid am meadhan obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh tuairmse (meas) a’ cleachdadh foirmle a’ mheadhain airson cuairteachaidhean buidhneichte.
A. Teirmean Cudromach ann am Meadhan Dàta Buidhne
Mus cleachd sinn am foirmle, feumaidh sinn grunn phàirtean a thuigsinn:
– n = tricead iomlan (àireamh iomlan dàta)
– n/2 = meadhan-suidheachadh cruinnichte
– Clas meadhanach = a’ chiad chlas eadar-ama a bhios a’ toirt a-mach tricead cruinnichte ≥ n/2
– L = oir ìosal a’ chlas mheadhanaich (chan e an crìoch ìosal, ach oir a’ chlas; airson dàta leantainneach mar as trice cleachd atharrachadh 0,5 ma tha an dàta nan slàn-àireamhan)
– F = tricead cruinnichte ron chlas meadhanach
– f = tricead meadhanach clas
– c = fad a’ chlas (leud an eadar-ama)
B. Ceumannan gus Meadhan Dàta Buidhne a dhearbhadh
1. Cruthaich clàr sgaoilidh tricead agus cuir colbh tricead cruinnichte ris.
2. Obraich a-mach n (àireamh nan triceadan) agus co-dhùin n/2.
3. Obraich a-mach a’ chlas mheadhanach, is e sin a’ chlas anns a bheil n/2 suidheachadh stèidhichte air tricead cruinnichte.
4. Cuir na luachan a-steach don fhoirmle meadhanach airson dàta na buidhne.
C. Foirmle Meadhanach airson Dàta Buidhne
\[
Me = L + ∫(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\deas)\times c
\]
Bidh am foirmle seo a’ dèanamh eadar-lìneachadh loidhneach taobh a-staigh a’ chlas mheadhanaich, a’ gabhail ris gu bheil an dàta air a sgaoileadh gu cothromach thar raon a’ chlas.
D. Eisimpleir de Mheadhan Dàta Buidhne
Mar eisimpleir, an dàta sgòr deuchainn a leanas:
| Eadar-ama Luach | Tricead (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Tricead iomlan:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) Obraich a-mach n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Tricead cruinnichte:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Tha suidheachadh 20 sa chlas leis a’ chiad sgòr cruinnichte ≥ 20, is e sin 60–69. Mar sin is e seo am meadhan-chlas.
4) Co-dhùin na pàirtean:
– L = oir ìosal a’ chlas mheadhain. Airson an eadar-ama 60–69, is e 59,5 an oir ìosal (mas e luach slàn a th’ anns an dàta).
– F = tricead cruinnichte ron chlas meadhanach = 13
– f = tricead meadhanach clas = 12
– c = fad a’ chlas = 10
5) Cuir a-steach don fhoirmle:
\[
Mise = 59,5 + (20 – 13) × 12) × 10
\]
\[
Mise = 59,5 + ∫(frac{7}{12})∫ uair 10
\]
\[
Mise = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Mar sin tha meadhan dàta na buidhne timcheall air 65,33.
-
4. Mearachdan Cumanta
Seo cuid de mhearachdan cumanta nuair a thathar a’ tomhas a’ mheadhain:
1. Gun a bhith a’ seòrsachadh an dàta airson dàta singilte, agus mar sin chan eil an luach meadhanach ceart.
2. A’ dearbhadh suidheachadh a’ mheadhain gu ceàrr nuair a tha n cothromach (feumar cuibheasachd an dà luach mheadhanach a ghabhail).
3. Airson dàta buidhne, tha e ceàrr an clas meadhanach a thaghadh oir chan eil e a’ cruthachadh tricead cruinnichte.
4. A’ cleachdadh crìoch ìosal clas an oir ìosal (L) nuair a tha an dàta nan slàn-àireamhan leantainneach/eadar-amail.
5. A bhith a’ dearbhadh fad a’ chlas (c) gu ceàrr, gu h-àraidh mura h-eil na h-eadar-amaichean cunbhalach.
-
5. Co-dhùnadh
’S e tomhas sìmplidh ach cumhachdach de chlaonadh meadhanach a th’ anns a’ mheadhan, gu h-àraidh nuair a tha luachan fìor mhòr anns an dàta. Airson seataichean dàta singilte, thèid am meadhan a dhearbhadh gu dìreach bhon t-suidheachadh meadhanach às deidh don dàta a bhith air a sheòrsachadh, le làimhseachadh eadar-dhealaichte airson àireamhan neònach is cothromach de sheataichean dàta. Aig an aon àm, airson seataichean dàta buidhne, thèid am meadhan obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh foirmle eadar-phòlachaidh stèidhichte air clas a’ mheadhain, tricead cruinnichte, agus fad a’ chlas.
Le bhith a’ tuigsinn a’ bhun-bheachd agus nan ceumannan, faodaidh tu am meadhan obrachadh a-mach gu sgiobalta agus gu ceart, an dà chuid air dàta sìmplidh agus air dàta air a gheàrr-chunntas ann an clàran. Ann am mòran shuidheachaidhean anailis, tha am meadhan na roghainn nas riochdaiche na a’ chuibheasachd, gu h-àraidh nuair a tha an sgaoileadh dàta neo-chothromach no anns a bheil luachan neo-iomchaidh.
Ma thogras tu, is urrainn dhomh ceistean cleachdaidh a chur ris cuideachd còmhla ri còmhraidhean gus do thuigse air meadhan dàta singilte agus buidhne a neartachadh.
