Contoh Soal Pembahasan Fungsi Logaritma
Logaritma adalah salah satu konsep penting dalam matematika, khususnya dalam bidang aljabar dan analisis. Logaritma berkaitan erat dengan eksponen dan sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan eksponensial serta dalam berbagai aplikasi sains dan teknik. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal logaritma yang sering muncul, serta pembahasan lengkap untuk masing-masing soal.
Pengantar Logaritma
Logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Jika kita memiliki persamaan eksponensial \(b^y = x\), maka bentuk logaritmanya adalah \(y = \log_b{x}\), yang berarti “y adalah logaritma dari x dengan basis b”. Beberapa logaritma yang sering digunakan adalah logaritma alami (basis \(e\)) dan logaritma desimal (basis 10).
Sifat-Sifat Logaritma
Berikut adalah beberapa sifat dasar logaritma yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal:
1. Logaritma dari hasil kali:
\[
\log_b{(xy)} = \log_b{x} + \log_b{y}
\]
2. Logaritma dari hasil bagi:
\[
\log_b{(\frac{x}{y})} = \log_b{x} – \log_b{y}
\]
3. Logaritma dari pangkat:
\[
\log_b{(x^a)} = a \cdot \log_b{x}
\]
4. Perubahan basis logaritma:
\[
\log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}
\]
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Soal 1:
Temukan nilai dari \( \log_2{32} \).
Pembahasan:
Kita tahu bahwa \(32\) bisa ditulis sebagai \(2^5\). Oleh karena itu:
\[
\log_2{32} = \log_2{(2^5)} = 5 \cdot \log_2{2}
\]
Karena \(\log_2{2} = 1\):
\[
\log_2{32} = 5 \cdot 1 = 5
\]
Jadi, nilai dari \( \log_2{32} \) adalah 5.
2. Soal 2:
Jika \( \log_3{x} = 4 \), temukan nilai \( x \).
Pembahasan:
Berdasarkan definisi logaritma, \( \log_3{x} = 4 \) bisa ditulis kembali ke bentuk eksponensial:
\[
3^4 = x
\]
Menghitung \(3^4\):
\[
3^4 = 81
\]
Jadi, nilai \( x \) adalah 81.
3. Soal 3:
Sebuah persamaan diberikan \( \log_{10}{x} = -2 \). Temukan nilai \( x \).
Pembahasan:
Ubah bentuk logaritma ke bentuk eksponensial:
\[
10^{-2} = x
\]
Menghitung \(10^{-2}\):
\[
10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01
\]
Jadi, nilai \( x \) adalah 0.01.
4. Soal 4:
Temukan nilai \( \log_5{(125 \cdot 25)} \).
Pembahasan:
Kita tahu bahwa \(125 = 5^3\) dan \(25 = 5^2\). Maka:
\[
\log_5{(125 \cdot 25)} = \log_5{(5^3 \cdot 5^2)}
\]
Berdasarkan sifat hasil kali logaritma:
\[
\log_5{(5^3 \cdot 5^2)} = \log_5{5^5}
\]
Menggunakan sifat pangkat logaritma:
\[
\log_5{5^5} = 5 \cdot \log_5{5}
\]
Karena \(\log_5{5} = 1\):
\[
5 \cdot 1 = 5
\]
Jadi, nilai dari \( \log_5{(125 \cdot 25)} \) adalah 5.
5. Soal 5:
Temukan nilai dari \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \).
Pembahasan:
Kita tahu bahwa \(8 = 2^3\) dan \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\). Maka:
\[
\log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} = \log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})}
\]
Berdasarkan sifat hasil kali logaritma:
\[
\log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})} = \log_{2}{(2^{3 + 1/2})} = \log_{2}{(2^{3.5})}
\]
Menggunakan sifat pangkat logaritma:
\[
\log_{2}{(2^{3.5})} = 3.5 \cdot \log_{2}{2}
\]
Karena \(\log_{2}{2} = 1\):
\[
3.5 \cdot 1 = 3.5
\]
Jadi, nilai dari \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) adalah 3.5.
6. Soal 6:
Jika \( \log_4{y} – \log_4{2} = 3 \), temukan nilai \( y \).
Pembahasan:
Berdasarkan sifat hasil bagi logaritma:
\[
\log_4{(\frac{y}{2})} = 3
\]
Ubah bentuk logaritma ke eksponensial:
\[
4^3 = \frac{y}{2}
\]
Menghitung \(4^3\):
\[
4^3 = 64
\]
Jadi:
\[
64 = \frac{y}{2}
\]
Maka:
\[
y = 64 \cdot 2 = 128
\]
Jadi, nilai \( y \) adalah 128.
7. Soal 7:
Temukan nilai dari \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \).
Pembahasan:
Kita tahu bahwa \(36 = 6^2\). Maka:
\[
\log_{6}{\frac{1}{36}} = \log_{6}{(6^{-2})}
\]
Menggunakan sifat pangkat logaritma:
\[
\log_{6}{(6^{-2})} = -2 \cdot \log_{6}{6}
\]
Karena \(\log_{6}{6} = 1\):
\[
-2 \cdot 1 = -2
\]
Jadi, nilai dari \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) adalah -2.
Kesimpulan
Logaritma adalah alat matematika yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi ilmiah dan teknik. Dengan memahami sifat-sifat dasar logaritma, kita dapat menyelesaikan banyak masalah dengan lebih mudah. Artikel ini telah menguraikan beberapa soal dan pembahasan mengenai logaritma yang sering muncul dalam berbagai konteks. Latihan dan pemahaman yang baik tentang konsep ini akan sangat membantu dalam menguasai topik logaritma.
