Contoh Soal Pembahasan Vektor Berdimensi Dua pada Sistem Koordinat
Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor sering digunakan dalam berbagai topik matematika dan fisika untuk merepresentasikan berbagai fenomena. Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal vektor berdimensi dua pada sistem koordinat.
Konsep Dasar Vektor dalam Sistem Koordinat
Vektor dalam sistem koordinat dua dimensi dapat direpresentasikan sebagai \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), di mana \(a_1\) adalah komponen vektor pada sumbu x dan \(a_2\) adalah komponen vektor pada sumbu y. Vektor tersebut dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu komponen x dan komponen y.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Penjumlahan dua vektor \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) dan \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) adalah:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Sedangkan pengurangannya adalah:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Perkalian Skalar
Jika \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) dan \(k\) adalah skalar, maka \(k\vec{A}\) adalah:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Magnitudo Vektor
Magnitudo atau panjang vektor \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) adalah:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang sebesar satu satuan. Vektor satuan dari \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) adalah:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Dua vektor diberikan sebagai berikut: \(\vec{A} = (3, 4)\) dan \(\vec{B} = (1, 2)\). Tentukan hasil dari \(\vec{A} + \vec{B}\) dan \(\vec{A} – \vec{B}\).
Pembahasan:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Soal 2: Perkalian Skalar
Diberikan vektor \(\vec{C} = (2, -3)\), hitunglah \(3\vec{C}\) dan \(-2\vec{C}\).
Pembahasan:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Soal 3: Magnitudo Vektor
Hitunglah magnitudo dari vektor \(\vec{D} = (5, 12)\).
Pembahasan:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Soal 4: Vektor Satuan
Temukan vektor satuan (unit vector) dari vektor \(\vec{E} = (4, 3)\).
Pembahasan:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Soal 5: Posisi dan Jarak Vektor
Dua titik dalam bidang koordinat dua dimensi adalah P(2, 3) dan Q(5, 7). Tentukan vektor posisi dari titik P ke titik Q serta jaraknya.
Pembahasan:
Vektor posisi dari P ke Q adalah:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Jarak antara titik P dan Q adalah:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Soal 6: Hasil Dot Product
Jika \(\vec{F} = (-3, 4)\) dan \(\vec{G} = (2, 1)\), hitunglah hasil dot product dari \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).
Pembahasan:
Dot product dari dua vektor adalah:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Soal 7: Sudut Antara Dua Vektor
Jika \(\vec{H} = (7, -4)\) dan \(\vec{I} = (3, 0)\), tentukan sudut antara dua vektor tersebut.
Pembahasan:
Untuk menentukan sudut antara dua vektor, kita gunakan rumus:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Pertama, hitung dot product \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Kemudian, hitung magnitudo dari \(\vec{H}\) dan \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Sehingga, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
Soal 8: Projeksi Vektor
Untuk vektor \(\vec{J} = (2, 1)\) dan \(\vec{K} = (-1, 3)\), hitunglah projeksi \(\vec{J}\) pada \(\vec{K}\).
Pembahasan:
Projeksi dari \(\vec{J}\) pada \(\vec{K}\) adalah:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Pertama, hitung dot product \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Kemudian, magnitudo \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Sehingga,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Masukkan ke dalam rumus:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Demikianlah contoh soal dan pembahasan terkait vektor berdimensi dua pada sistem koordinat. Pemahaman yang baik tentang vektor dapat membantu dalam banyak aplikasi di bidang matematika, fisika, dan teknik. Berlatih dengan berbagai contoh dapat memperdalam pemahaman konsep ini sehingga dapat diterapkan secara efektif dalam berbagai situasi.
