Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi
Turunan merupakan konsep fundamental dalam kalkulus yang berperan penting dalam berbagai aplikasi matematika, fisika, teknik, dan ilmu pengetahuan lainnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal turunan fungsi beserta pembahasannya. Dengan memahami konsep turunan, kita akan lebih mudah dalam mengaplikasikannya pada berbagai masalah.
Pengertian Dasar Turunan
Turunan dari suatu fungsi menggambarkan laju perubahan fungsi tersebut terhadap variabel bebasnya. Secara intuitif, turunan fungsi \( f(x) \) pada titik \( x \) adalah kemiringan garis singgung yang bersinggungan dengan kurva \( f \) di titik \( x \). Notasi umum yang digunakan untuk turunan adalah \( f'(x) \) atau \( \frac{df}{dx} \).
Aturan Dasar Turunan
Untuk menyelesaikan soal-soal turunan, kita perlu mengetahui beberapa aturan dasar turunan:
1. Turunan Konstanta : Jika \( c \) adalah konstanta, maka turunan \( c \) adalah nol.
\[
\frac{d}{dx}(c) = 0
\]
2. Turunan Fungsi Linear : Jika \( f(x) = mx + b \), dimana \( m \) dan \( b \) adalah konstanta, maka:
\[
f'(x) = m
\]
3. Aturan Pangkat : Jika \( f(x) = x^n \), dimana \( n \) adalah bilangan real, maka:
\[
f'(x) = nx^{n-1}
\]
4. Aturan Jumlah : Jika \( f(x) = g(x) + h(x) \), maka:
\[
f'(x) = g'(x) + h'(x)
\]
5. Aturan Perkalian : Jika \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \), maka:
\[
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
\]
6. Aturan Pembagian : Jika \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), maka:
\[
f'(x) = \frac{g'(x)h(x) – g(x)h'(x)}{h(x)^2}
\]
7. Aturan Rantai : Jika \( f(x) = g(h(x)) \), maka:
\[
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
\]
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Soal : Tentukan turunan dari \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \).
Pembahasan :
Untuk menentukan turunan fungsi tersebut, kita akan menggunakan aturan pangkat serta aturan jumlah.
\[
f(x) = 3x^2 + 2x + 1
\]
Turunannya adalah:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)
\]
Berdasarkan aturan pangkat:
\[
\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot 1x^{1-1} = 2
\]
\[
\frac{d}{dx}(1) = 0
\]
Sehingga, turunan fungsi \( f \) adalah:
\[
f'(x) = 6x + 2
\]
Contoh Soal 2
Soal : Tentukan turunan dari fungsi \( g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3) \).
Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan perkalian.
\[
g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3)
\]
Jadi, turunan dari \( g(x) \) adalah:
\[
g'(x) = (2x^3 – x)'(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(x^2 + 3)’
\]
Pertama, kita tentukan turunan dari masing-masing fungsi:
\[
(2x^3 – x)’ = 6x^2 – 1
\]
\[
(x^2 + 3)’ = 2x
\]
Kemudian kita substitusikan ke dalam rumus:
\[
g'(x) = (6x^2 – 1)(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(2x)
\]
Selanjutnya, kita distribusikan:
\[
g'(x) = 6x^2 \cdot x^2 + 6x^2 \cdot 3 – 1 \cdot x^2 – 1 \cdot 3 + 2x^3 \cdot 2x – x \cdot 2x
\]
\[
g'(x) = 6x^4 + 18x^2 – x^2 – 3 + 4x^4 – 2x^2
\]
Akhirnya, kita dapatkan:
\[
g'(x) = 10x^4 + 15x^2 – 3
\]
Contoh Soal 3
Soal : Tentukan turunan dari \( h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1} \).
Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan pembagian.
\[
h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1}
\]
Jadi, turunan dari \( h(x) \) adalah:
\[
h'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x – 1) – (x^2 + 1)(x – 1)’}{(x – 1)^2}
\]
Pertama, kita tentukan turunan dari masing-masing fungsi:
\[
(x^2 + 1)’ = 2x
\]
\[
(x – 1)’ = 1
\]
Kemudian kita substitusikan ke dalam rumus:
\[
h'(x) = \frac{2x(x – 1) – (x^2 + 1)(1)}{(x – 1)^2}
\]
Selanjutnya, kita distribusikan:
\[
h'(x) = \frac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2}
\]
Kemudian kita sederhanakan:
\[
h'(x) = \frac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}
\]
Kesimpulan
Turunan fungsi adalah salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang memberikan informasi mengenai laju perubahan nilai suatu fungsi terhadap variabel bebasnya. Dengan memahami aturan-aturan turunan dasar seperti turunan konstanta, fungsi linear, aturan pangkat, jumlah, perkalian, dan pembagian, serta aturan rantai, kita dapat menyelesaikan berbagai macam soal turunan.
Contoh-contoh soal yang telah dibahas di atas merupakan langkah awal yang baik untuk memahami bagaimana mengaplikasikan konsep turunan. Dalam praktiknya, keterampilan dalam menghitung turunan akan semakin terasah dengan mengerjakan berbagai jenis soal dan variasi fungsi. Semoga artikel ini bermanfaat bagi para pembaca dalam memahami dan menguasai konsep turunan fungsi.
