לינעאַרע גלייכונגען אין צוויי וועריאַבאַלן: דעפֿיניציע, אַפּליקאַציע און לייזונג
לינעאַרע גלייכונגען אין צוויי וועריאַבאַלן, אדער LLEs, זענען אַ יסודותדיקער באַגריף וואָס מען שטודירט אָפט אין מיטלשול מאַטעמאַטיק. די גלייכונגען ווערן ברייט גענוצט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער ווי עקאָנאָמיק, פֿיזיק, אינזשעניריע און אַנדערע צוליב זייער פֿעיִקייט צו פֿאַרפּשוטערן און סאָלווען פּראָבלעמען. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן אין טיפֿקייט די דעפֿיניציע, אַפּליקאַציע און מעטאָדן פֿאַר סאָלווען לינעאַרע גלייכונגען אין צוויי וועריאַבאַלן.
פֿאַרשטיין לינעאַרע גלייכונגען אין צוויי וועריאַבאַלן
א לינעארע גלייכונג אין צוויי וועריאַבלען איז אַ גלייכונג וואָס האט די אַלגעמיינע פאָרעם:
\[ אַקס + ביי = c \]
וואו:
– \(x \) און \(y \) זענען וועריאַבאַלן.
– \(a \), \(b \), און \(c \) זענען קאָנסטאַנטן (רעאַלע נומערן).
אין דעם גלייכונג, ווערן ביידע וועריאַבלען (x) און (y) אויפגעהויבן צו דער מאַכט פון איינס, אַזוי ווערט עס גערופן "לינעאַר". א פּשוט בייַשפּיל פון אַ לינעאַר גלייכונג איז (2x + 3y = 6), וואו (a = 2), (b = 3), און (c = 6).
אַפּליקאַציע פון PLDV אין טעגלעך לעבן
טראָץ איר אויסזעענדיקער פּשוטקייט, האט PLDV פילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. עטלעכע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אַרייַננעמען:
1. עקאָנאָמיק און געשעפט:
– ברעיק-איווען אנאליז: קאלקולאציע פון די ברעיק-איווען פונקט וואו גאנצע איינקונפט איז גלייך צו גאנצע קאסטן.
– צושטעל און פאָדערונג: לינעאַרע גלייכונגען ווערן אָפט געניצט צו באַשרײַבן די באַציִונג צווישן צושטעל און פאָדערונג פֿאַר אַ פּראָדוקט.
2. פיזיש:
– גיכקייט: די באַציִונג צווישן דיסטאַנץ, גיכקייט און צייט קען אָפט מאָדעלירט ווערן מיט לינעאַרע גלייכונגען.
– עלעקטרישער שטראָם: אָהמס געזעץ (\(V = IR \)) אין אַן עלעקטרישן קרייַז איז אַ בייַשפּיל פון אַ לינעאַר גלייכונג.
3. אינזשעניריע און קאמפיוטער וויסנשאפט:
– אַלגעריטם: סאָלווינג אָפּטימיזאַציע פּראָבלעמען אָפט ינוואַלווז לינעאַר גלייכונגען.
– גראַפיקס: טראַנספאָרמאַציעס אין קאָמפּיוטער גראַפיקס און רענדערינג אַלגעריטמען נוצן אָפט לינעאַרע גלייכונגען.
מעטאָדן פֿאַר סאָלווינג לינעאַר גלייכונגען אין צוויי וועריאַבאַלן
עס זענען דא עטלעכע מעטאָדן צו סאָלווען לינעאַרע גלייכונגען אין צוויי וועריאַבאַלן. דאָ זענען עטלעכע פון די הויפּט מעטאָדן וואָס ווערן אָפט געניצט:
די סובסטיטוציע מעטאָדע איז איינער פון די גרונטלעכע וועגן צו סאָלווען אַ סיסטעם פון לינעאַרע גלייכונגען אין צוויי וועריאַבאַלן. די טריט זענען:
– אפגעזונדערט איינע פון די וועריאַבלען אין איינע פון די גלייכונגען.
– שטעל אריין דעם רעזולטאט אין דער אנדערער גלייכונג.
– לייזט די רעזולטירנדיקע איינציקע גלייכונג.
– לייג אריין די ווערטן אין דער אריגינעלער גלייכונג כדי צו באקומען די ווערטן פון די אנדערע וועריאַבלען.
בייַשפּיל:
לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ סיסטעם פון צוויי גלייכונגען:
\[ 2x + 3y = 6 \]
\[ x – y = 1 \]
פֿון דער צווייטער גלייכונג, איזאָלירן מיר Σ(x)Σ):
\[x = y + 1 \]
מיר שטעלן אריין \((y + 1)\) אין דער ערשטער גלייכונג:
\[ 2(y + 1) + 3y = 6 \]
\[ 2y + 2 + 3y = 6 \]
\[ 5y + 2 = 6 \]
\[ 5y = 4 \]
\[ y = \frac{4}{5} \]
דערנאך לייגן מיר אריין דעם ווערט פון \(y \) צוריק אין דער אפגעזונדערטקייט גלייכונג:
[x = \frac{4}{5} + 1 \]
[x = \frac{9}{5} \]
אַלזאָ, די לייזונגען צו דער סיסטעם זענען \(x = \frac{9}{5} \) און \(y = \frac{4}{5} \).
די עלימינאַציע מעטאָדע איז אַ מעטאָדע אין וועלכער מיר עלימינירן איין וועריאַבל דורך צולייגן אָדער אַראָפּרעכענען די גלייכונגען. די טריט זענען:
– צופּאַסן דעם קאָעפֿיציענט פֿון איינער פֿון די וועריאַבלען צו זײַן די זעלבע.
– צולייגן אדער אַראָפּרעכענען די צוויי גלייכונגען צו עלימינירן די וועריאַבל.
– לייזט די רעזולטירנדיקע איינציקע גלייכונג.
– לייג אריין דעם רעזולטאט צוריק אין איינע פון די ארגינעלע גלייכונגען כדי צו באקומען דעם ווערט פון דער אנדערער וואריאבל.
בייַשפּיל:
ניצנדיק די זעלבע גלייכונג:
\[ 2x + 3y = 6 \]
\[ x – y = 1 \]
טאפלט די צווייטע גלייכונג מיט 2 אזוי אז די קאעפיציענטן פון \(x \) זענען די זעלבע:
\[ 2x + 3y = 6 \]
\[ 2x – 2y = 2 \]
אַראָפּרעכענען די צוויי גלייכונגען:
\[ (2x + 3y) - (2x - 2y) = 6 - 2 \]
\[ 5y = 4 \]
\[ y = \frac{4}{5} \]
דערנאך לייג אריין \(y \) אין דער צווייטער גלייכונג:
[x – \frac{4}{5} = 1 \]
[x = 1 + \frac{4}{5} \]
[x = \frac{9}{5} \]
די רעזולטאַטן זענען די זעלבע ווי די סובסטיטוציע מעטאָדע, נעמלעך \( x = \frac{9}{5} \) און \( y = \frac{4}{5} \).
3. גראַפֿישע מעטאָדע
מעטאָדע גראַפֿירן באַשטייט פֿון שאַפֿן אַ גראַף פֿון ביידע גלייכונגען אויף אַ קאָאָרדינאַט־פֿלאַך און געפינט דעם פונקט פון דורכשניט פון די צוויי ליניעס. די טריט זענען:
– צייכנט יעדע גלייכונג אויף דער קאָאָרדינאַט־פלאַך.
– דער פונקט וואו די צוויי ליניעס זיך שניידן איז די לייזונג צו דער סיסטעם פון גלייכונגען.
בייַשפּיל:
פֿאַר דער גלייכונג:
\[ 2x + 3y = 6 \]
\[ x – y = 1 \]
לאָמיר מאַכן דעם גראַפיק:
– די ערשטע גלייכונג קען געשריבן ווערן ווי:
\[ y = \frac{6 – 2x}{3} \]
– די צווייטע גלייכונג קען געשריבן ווערן ווי:
\[ y = x – 1 \]
צייכנט ביידע גלייכונגען אויף דער פלאַך \( (x, y) \):
– די ערשטע ליניע (2x + 3y = 6) וועט זיך דורכשניידן מיט דער y-אַקס ביי y = 2 (אויב x = 0) און מיט דער x-אַקס ביי x = 3 (אויב y = 0).
– די צווייטע ליניע (x – y = 1) וועט זיך דורכשניידן מיט דער y-אַקס ביי y = -1 (אויב x = 0) און מיט דער x-אַקס ביי x = 1 (אויב y = 0).
פֿון דער גראַפיק קענען מיר זען וואו די צוויי ליניעס זיך דורכשניידן און דאָס איז די לייזונג צו דער סיסטעם פֿון גלייכונגען.
קעסימפּולאַן
לינעאַרע גלייכונגען אין צוויי וועריאַבלען זענען אַ יסודותדיקער טייל פון מאַטעמאַטיק, ברייט געניצט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פון וויסנשאַפֿט און וואָכעדיק לעבן. דורך פֿאַרשטיין און נוצן לייזונג מעטאָדן ווי סאַבסטיטוציע, עלימינאַציע און גראַפֿיק, קענען מיר אויספֿאָרשן און סאָלווען פילע פּראָבלעמען אין דער רעאַלער וועלט. פאָרזעצן צו פּראַקטיצירן און פֿאַרטיפֿן זיך אין דעם מאַטעריאַל צו מאַקסאַמיזירן אייערע אַנאַליטישע און מאַטעמאַטישע פֿעיִקייטן.
איך פֿאַרשטיי נאָך אַלץ נישט פּונקט דעם ערשטן אופֿן