פאַרגלייַך צווישן פאַרהעלטעניש און פּראָפּאָרציע
אין מאטעמאטיק און טעגלעך לעבן, פארגלייכן מיר אָפט צוויי זאכן: פּרייַז קעגן קוואַנטיטעט, דיסטאַנץ קעגן צייט, אָדער די צאָל זכר קעגן ווייַבלעך סטודענטן. די צוויי קאָנצעפּטן וואָס ווערן אָפט געניצט צו דיסקוטירן אַזעלכע פארגלייכן זענען פאַרהעלטעניש און פּראָפּאָרציע. כאָטש זיי קענען אויסזען ענלעך, און ווערן אָפט פארמישט מיט דער זעלבער זאַך, האָבן זיי אין פאַקט פאַרשידענע ראָלעס און נוצן. דער אַרטיקל דיסקוטירט קלאָר דעם פארגלייך צווישן פאַרהעלטעניש און פּראָפּאָרציע, מיט ביישפילן פֿאַר גרינג פארשטאנד.
פֿאַרשטיין פּראָפּאָרציע
א פּראָפּאָרציע איז אַ פאַרגלייַך צווישן צוויי ענלעכע אָדער פאַרגלייַכלעכע קוואַנטיטעטן. עס ווײַזט וויפיל מאָל איין ווערט ווערט פאַרגליכן מיט אַן אַנדערן. פּראָפּאָרציעס קענען געשריבן ווערן אין עטלעכע פֿאָרמען, למשל:
– א : ב (לייענט "א פארגלייכט ב")
– א/ב
– אין וואָרט־פאָרעם, למשל "a קאַמפּערד צו b"
למשל, אויב אין אַ קלאַס זענען דאָ 12 זכר סטודענטן און 18 ווייַבלעך סטודענטן, דעמאָלט איז די פּראָפּאָרציע פון מענער צו פרויען:
– 12 : 18
די פּראָפּאָרציע קען מען פֿאַרפּשוטערן דורך צעטיילן ביידע מיט 6:
– 2 : 3
דאָס מיינט אַז פֿאַר יעדע 2 זכר סטודענטן, זענען דאָ 3 ווייַבלעך סטודענטן.
קעראַקטעריסטיקס פון פאַרהעלטענישן
1. פאַרגלייכן צוויי קוואַנטיטעטן (אָדער מער, אָבער בכלל צוויי).
2. קען ווערן פארפּשוטעט ווי אַ בראָכצאָל.
3. ווײַזט נישט שטענדיק אויף "גלייכקייט"; פּראָפּאָרציע ווײַזט נאָר אויף פֿאַרגלײַך.
פֿאַרשטיין פּראָפּאָרציע
פּראָפּאָרציע איז די גלייכקייט פון צוויי פּראָפּאָרציעס. אויב די פּראָפּאָרציע פון A צו B איז די זעלבע ווי די פּראָפּאָרציע פון C צו D, דאַן ווערט די באַציִונג גערופן אַ פּראָפּאָרציע. מען שרייבט עס געוויינטלעך:
– א : ב = ג : ד
אָדער
– א/ב = ג/ד
קאָנטעקסט:
אויב 2/3 = 4/6, דעמאָלט איז דאָס אַ פּראָפּאָרציע ווײַל די צוויי פּראָפּאָרציעס זענען גלייך.
אין דער ווירקלעכקייט, ווערן פּראָפּאָרציעס אָפט גענוצט צו סאָלווען פּראָבלעמען פֿאַרבונדן מיט וואָג, רעצעפּטן, גיכקייט, איינהייט־פּרייזן, און אַזוי ווייטער.
קעראַקטעריסטיקס פון פּראָפּאָרציע
1. שטענדיק נעמט אריין צוויי פראפארציעס וואס ווערן פארגליכן.
2. ווייזט גלייכקייט (דער פארגלייכבארער ווערט איז דער זעלבער).
3. בכלל געניצט צו געפֿינען אומבאַקאַנטע ווערטן (וואַריאַבאַלן).
שליסל אונטערשיידן צווישן פאַרהעלטעניש און פּראָפּאָרציע
כאָטש זיי זענען פֿאַרבונדן, האָבן פּראָפּאָרציע און פאַרהעלטעניש יסודותדיקע אונטערשיידן אין דעפֿיניציע און פֿונקציע. דאָ איז אַ וויכטיקער פֿאַרגלייַך:
1. דעפֿיניציע פֿון באַגריף
– פאַרהעלטעניש: פאַרגלייַך פון צוויי קוואַנטיטעטן.
– פּראָפּאָרציע: די גלייכקייט פון צוויי פּראָפּאָרציעס.
פּראָפּאָרציע איז ווי "פאַרגלייַכן", בשעת פּראָפּאָרציע איז ווי "פאַרגלייַכן צוויי פּראָפּאָרציעס".
2. פאָרעם פון דערקלערונג
– די פּראָפּאָרציע ווערט פשוט געשריבן ווי a : b .
– די פּראָפּאָרציע ווערט געשריבן ווי a : b = c : d אדער a/b = c/d .
3. טודזשואַן פּענגונאַן
– פּראָפּאָרציעס ווערן גענוצט צו אויסדריקן באַדינגונגען אָדער קאָמפּאָזיציע.
– פּראָפּאָרציעס ווערן גענוצט צו סאָלווען פּראָבלעמען וואָס דאַרפן קאָמפּאַראַטיווע גלייכקייט.
4. צי עס איז דא גלייכרעכטיקייט אדער נישט
– די פּראָפּאָרציע פֿאָדערט נישט גלייַכהייט מיט אַנדערע פּראָפּאָרציעס.
– פּראָפּאָרציע ווײַזט שטענדיק די גלייכקייט פֿון צוויי פּראָפּאָרציעס.
ביישפילן פון פּראָפּאָרציעס אין וואָכעדיק לעבן
בייַשפּיל 1: געמיש צוזאַמענשטעלונג
א געטראַנק ווערט געמאַכט פֿון סירופּ און וואַסער אין אַ פּראָפּאָרציע פֿון 1:5. דאָס מיינט:
– יעדע 1 טייל סירופּ געמישט מיט 5 טיילן וואַסער.
עס איז אַ פּראָפּאָרציע ווײַל עס ווײַזט נאָר דעם פֿאַרגלײַך פֿון קאָמפּאָזיציעס.
בייַשפּיל 2: פאַרגלייַך פון דיסטאַנץ און צייט
אַ מענטש פֿאָרט 120 קילאָמעטער אין 2 שעה. די פּראָפּאָרציע פֿון דיסטאַנץ צו צייט איז:
– 120 : 2 = 60 : 1
עס איז אָפט פֿאַרבונדן מיט שנעלקייט, אָבער די ערשטע עסענץ איז פּראָפּאָרציע.
ביישפילן פון פּראָפּאָרציעס אין וואָכעדיק לעבן
בייַשפּיל 1: מאַפּע וואָג
מאַפּע סקאַלע 1:100.000 מיינט 1 ס״מ אויף דער מאַפּע = 100.000 ס״מ אין פאַקטישן לעבן.
אויב די דיסטאַנץ אויף דער מאַפּע איז 3 ס״מ, וואָס איז די פאַקטישע דיסטאַנץ?
מיר מאַכן די פּראָפּאָרציע:
– 1/100.000 = 3/x
אַזוי:
– x = 3 × 100.000 = 300.000 ס״מ = 3 קילאָמעטער
דאָס איז אַ פּראָפּאָרציע ווײַל עס באַטראַפֿט די גלייכקייט פֿון צוויי פּראָפּאָרציעס און ווערט גענוצט צו געפֿינען דעם ווערט פֿון x.
בייַשפּיל 2: קאָכן רעצעפּט
א רעצעפּט פֿאַר 4 מענטשן דאַרף 200 גראַם מעל. וויפֿל גראַם דאַרף מען פֿאַר 10 מענטשן?
מיר מאַכן די פּראָפּאָרציע:
– 200/4 = x/10
x = (200 × 10) / 4 = 500 גראַם
דאָס איז אַ קלאַסיש בייַשפּיל פֿון פּראָפּאָרציע אין אומגעקערטן אָדער פּראָפּאָרציאָנעלן פֿאַרגלײַך.
באַציִונג צווישן פאַרהעלטעניש און פּראָפּאָרציע
פּראָפּאָרציע און פאַרהעלטעניש זענען נישט איינער דעם אַנדערן אויסשליסנדיק. פּראָפּאָרציע איז טאַקע געבויט אויף דעם באַגריף פון פאַרהעלטעניש. אָן פֿאַרשטיין פאַרהעלטעניש, וועט עס זיין שווער צו פֿאַרשטיין פּראָפּאָרציע. אָבער, האָבן אַ פאַרהעלטעניש אַליין איז נישט גענוג צו באַשטעטיקן פּראָפּאָרציע; מיר דאַרפֿן אַן אַנדער, עקוויוואַלענט פאַרהעלטעניש.
פאַרהעלטעניש איז דער "גרונטיקער אינגרעדיענט", פּראָפּאָרציע איז די "גלייכקייט באַציִונג" צווישן צוויי פאַרגלייַכן.
מיסאַלניאַ:
– די פּראָפּאָרציע 2 : 3 איז די פּראָפּאָרציע.
– ווען מיר זאָגן 2 : 3 = 4 : 6, דאַן ווערט עס אַ פּראָפּאָרציע.
ווי אזוי צו קאָנטראָלירן צי אַ פּראָפּאָרציע איז ריכטיק
צו קאָנטראָלירן צי a/b = c/d איז אַ ריכטיקע פּראָפּאָרציע, קענען מיר נוצן קראָס-מוּלִיקָטִיפּ:
– a × d = b × c
קאָנטעקסט:
– 2/3 = 4/6
טשעק:
– 2 × 6 = 12
– 3 × 4 = 12
זינט זיי זענען די זעלבע, איז די פּראָפּאָרציע ריכטיק.
אויב די רעזולטאַטן זענען נישט די זעלבע, מיינט עס אַז די צוויי פּראָפּאָרציעס זענען נישט פאַרגלייַכלעך און זענען נישט די ריכטיקע פּראָפּאָרציע.
געוויינטלעכע טעותים אין פארשטיין פּראָפּאָרציעס און פּראָפּאָרציעס
1. אננעמען אז אלע אויטאמאטישע פראפארציעס זענען פראפארציעס.
די נייע פּראָפּאָרציע ווערט אַ פּראָפּאָרציע ווען מען פאַרגלייכט עס מיט אַנדערע עקוויוואַלענטע פּראָפּאָרציעס.
2. נישט פארפּשוטערן דעם פּראָפּאָרציע ערשט.
די פּראָפּאָרציעס 12 : 18 און 2 : 3 זענען טאַקע די זעלבע, אָבער אויב נישט סימפּליפֿיצירט, קענען זיי זיין פֿאַרווירענדיק.
3. פאַלש שטעלן די קוואַנטיטעט.
אין פּראָפּאָרציעס, איז סדר קריטיש. אויב די סדר איז פאַלש, וועלן די רעכענונג רעזולטאַטן אויך זיין פאַלש.
קעסימפּולאַן
פאַרהעלטעניש און פּראָפּאָרציע דיסקוטירן ביידע פאַרגלייַכן, אָבער אַנדערש אין סטרוקטור און פונקציע. א פאַרהעלטעניש איז אַ פאַרגלייַך צווישן צוויי קוואַנטיטעטן, בשעת פּראָפּאָרציע איז אַ דערקלערונג אַז צוויי קוואַנטיטעטן זענען גלייך. פאַרהעלטענישן ווערן אָפטער געניצט צו באַשרייַבן קאָמפּאָזיציע אָדער דירעקטע פאַרגלייַכן, בשעת פּראָפּאָרציעס ווערן געניצט צו סאָלווען פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט פּראָפּאָרציאָנאַליטעט און געפֿינען אומבאַקאַנטע ווערטן.
פֿאַרשטיין דעם חילוק צווישן די צוויי וועט זיין נוצלעך אין פילע סיטואַציעס, פֿון שול־מאַטעמאַטיק און מאַפּע־לייענען ביז רעכענען רעצעפּטן און שאַפֿן קאָסטן־ און וואָג־פּלענער. מיט די ריכטיקע קאָנצעפּטן קענען מיר נוצן פּראָפּאָרציעס און פּראָפּאָרציעס גענוי און עפֿעקטיוו.
