גרונטלעכע יסודות פון גרופע טעאריע
גרופע טעאריע איז א צווייג פון מאטעמאטיק וואס שטודירט אלגעברעאישע סטרוקטורן באקאנט אלס גרופעס. גרופעס זענען א יסודות'דיגער באגריף אין מאטעמאטיק, וואס ערשיינט אין פארשידענע פעלדער ווי אלגעברע, געאמעטריע, נומער טעאריע, און פיזיק. דער ארטיקל האט ציל צו געבן א גרונטלעכן איבערבליק פון גרופע טעאריע, דיסקוטירנדיג די דעפיניציע, ביישפילן, און אנווענדונגען פון דעם גרופע באגריף.
גרופע דעפֿיניציע
א גרופע איז א סכום \(G\) אויסגעשטאט מיט א בינארע אפעראציע \( \) וואס באפרידיקט די פאלגנדע פיר גרונט אייגנשאפטן:
1. פארמאכונג: פאר יעדן \(a, b \אין G\), איז דער רעזולטאט פון דער אפעראציע \(ab\) אויך אין \(G\).
2. אסאסיאטיביטעט: פאר יעדן \(a, b, c \אין G\), גילט עס \(ab) c = a(bc)\).
3. אידענטיטעט עלעמענט: עס איז דא אן עלעמענט \(e \in G\) אזוי אז פאר יעדן \(a \in G\), גילט \(ea = a\).
4. אומגעקערט עלעמענט: פֿאַר יעדן _a \in G\), איז דאָ אַן עלעמענט _(b \in G\) אַזוי אַז _(ab = ba = e\), וואו _(e\) איז דער אידענטיטעט עלעמענט.
אויב אַ סכום \(G\) און די אָפּעראַציע \( \) פאָלגן די פיר אייגנשאַפטן, דאַן זאָגט מען \((G, )\) צו זיין אַ גרופּע.
גרופע ביישפילן
גאַנצע צאָלן מיט אַדיציע
די סכום פון גאַנצע צאָלן \(\mathbb{Z}\) מיט דער אַדיציע אָפּעראַציע (\(+\)) פאָרמירט אַ גרופּע.
– פארמאכט: צולייגן גאנצע צאלן פראדוצירט א גאנצע צאל.
– אַססאָסיאַטיוו: \((a + b) + c = a + (b + c)\) פֿאַר אַלע \(a, b, c \in \mathbb{Z}\).
– אידענטיטעט עלעמענט: דער אידענטיטעט עלעמענט איז 0, ווייל \(a + 0 = 0 + a = a\) פֿאַר אַלע \(a \in \mathbb{Z}\).
– אומגעקערט עלעמענט: יעדע גאַנצע צאָל \(a\) האט אַן אומגעקערטן, נעמלעך \(-a\) ווייל \(a + (-a) = -a + a = 0\).
גאַנצע צאָלן מאָדולאָ n
די סכום \(\mathbb{Z}_n\) וואָס באַשטייט פֿון די נומערן \( \{0, 1, …, n-1\} \) מיט אַדיציע מאָדולאָ \(n\) פֿאָרמירט אויך אַ גרופּע.
– געשלאָסן: די סומע מאָדולאָ \(n\) פֿון צוויי עלעמענטן אין \(\mathbb{Z}_n\) איז אַן עלעמענט אין \(\mathbb{Z}_n\).
– אסאסיאטייוו: אדיציע מאדולא \(n\) באפרידיקט די אסאסיאטיווע אייגנשאפט.
– אידענטיטעט עלעמענט: דער אידענטיטעט עלעמענט איז 0.
– אומגעקערט עלעמענט: פֿאַר יעדן עלעמענט \(a \in \mathbb{Z}_n\), איז זײַן אומגעקערטער \(na\).
מאַטריץ מיט מאַטריץ מולטיפּליקאַציע
די סכום פון אַלע קוואַדראַטישע מאַטריצעס (2 מאָל 2) וואָס זענען ינווערטאַבאַל דורך דער מאַטריץ מאַלטיפּליקאַציע אָפּעראַציע פאָרמירט אויך אַ גרופּע, גערופן די אַלגעמיינע לינעאַרע גרופּע (GL(2, R)).
– פארמאכט: מאַלטיפּליקאַציע פון צוויי ינווערטאַבאַל מאַטריצעס פּראָדוצירט אַ מאַטריץ וואָס איז אויך ינווערטאַבאַל.
– אַססאָסיאַטיוו: מאַטריץ מאַלטיפּליקאַציע איז אַססאָסיאַטיוו.
– אידענטיטעט עלעמענט: דער אידענטיטעט עלעמענט איז די אידענטיטעט מאַטריץ, נעמליך \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
– אומגעקערטע עלעמענט: יעדע אומקערבאַרע מאַטריץ האט אַן אומקערטע, נעמלעך אַ מאַטריץ וואָס באַפרידיקט (A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I).
טיפן פון גרופּעס
אַבעליאַן גרופע
אן אבלישע גרופע, אדער קאמוטאטיווע גרופע, איז א גרופע אין וועלכער די בינארישע אפעראציע באפרידיקט אויך די קאמוטאטיווע אייגנשאפט, דאס הייסט, \(ab = ba\) פאר יעדן \(a, b \in G\). ביישפילן פון אבלישע גרופעס זענען \((\mathbb{Z}, +)\) און \((\mathbb{R}, +)\).
ציקלישע גרופע
ציקלישע גרופעס זענען גרופעס וואָס קענען גענערירט ווערן דורך אַן איינציקן עלעמענט. דאָס הייסט, עס איז דאָ אַן עלעמענט \(a \אין \G\) אַזוי אַז יעדער עלעמענט אין \(G\) קען געשריבן ווערן אין דער פֿאָרעם \(a^n\) פֿאַר אַ גאַנצע צאָל \(n\). אַ בייַשפּיל פֿון אַ ציקלישע גרופּע איז \((\mathbb{Z}_n, +)\).
אייגנשאפטן פון גרופעס
סובגרופע
א סובגרופע איז א טייל פון א גרופע וואס איז אויך א גרופע מיט דער זעלבער אפעראציע. למשל, די גרופע פון גראדע נומערן איז א סובגרופע פון דער גרופע פון גאנצע צאלן.
גרופע סדר און עלעמענט סדר
די סדר פון אַ גרופּע איז די צאָל עלעמענטן אין דער גרופּע. די סדר פון אַן עלעמענט \(a \in G\) איז די קלענסטע פּאָזיטיווע גאַנצע צאָל \(n\) אַזוי אַז \(a^n = e\).
אַפּליקאַציעס פון גרופע טעאָריע
גרופע טעאריע האט אסאך אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער:
קריפּטאָגראַפי
גרופע טעאריע ווערט גענוצט אין קריפּטאָגראַפֿישע אַלגעריטמען ווי RSA און Diffie-Hellman, וועלכע זענען אָפּהענגיק פֿון דער גרופע סטרוקטור פֿון מאָדולאָ נומערן.
סימעטריע טעאָריע
אין פיזיק און כעמיע, ווערט גרופע טעאריע גענוצט צו שטודירן די סימעטריע פון מאלעקולן און קריסטאלן. סימעטריע גרופעס העלפן באשטימען די פיזישע און כעמישע אייגנשאפטן פון מאלעקולן.
גאַלאָאַ טעאָריע
גרופע טעאריע ווערט גענוצט אין גאלאה טעאריע צו שטודירן די לייזונגען פון פאלינאמיאלע גלייכונגען און די באציאונגען צווישן די ווארצלען פון די גלייכונגען.
סיגנאַל פּראַסעסינג
גרופע טעאריע ווערט גענוצט אין פוריע אנאליז און סיגנאל פראצעסירונג, וואו פונקציעס ווערן באהאנדלט ווי עלעמענטן פון פונקציאנעלע גרופעס.
קעסימפּולאַן
גרופע טעאריע איז א יסודות'דיגע צווייג פון מאטעמאטיק מיט ברייטע אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער. פארשטיין די דעפיניציע פון א גרופע, אירע טיפן, אירע אייגנשאפטן, און אירע אנווענדונגען גיט א שטארקע יסוד פאר ווייטערדיגע אויספארשונג אין מאטעמאטיק און אנדערע וויסנשאפטן. מיט קאנצעפטן ווי גאנצע צאלן און צוגאב, מאטריצעס און פארמערן, און סימעטריע אין מאלעקולן, גיט גרופע טעאריע די נויטיגע כלים פארן לייזן א ברייטע רייע פון טעארעטישע און פראקטישע פראבלעמען.
