גרונטלעכע אינפֿאָרמאַציע וועגן די אומגעקערטע פֿונקציע
אין מאטעמאטיק, איז א פונקציע א כלל וואס מאַפּט יעדן עלעמענט פון איין סכום (דער דאָמעין) צו פּונקט איין עלעמענט פון אן אנדער סכום (דער קאָדאָמעין). צווישן די פארשידענע וויכטיקע קאָנצעפּטן אין פונקציעס, האַלט די אומגעקערטע פונקציע א פונדאַמענטאַלע פּאָזיציע ווייל זי העלפט אונדז "אומקערן" דעם מאַפּינג פּראָצעס. אויב א פונקציע טראַנספאָרמירט אן אינפוט אין אן אויסגאַנג, דאַן צילט די אומגעקערטע פונקציע - אויב זי עקזיסטירט - צו צוריקברענגען יענעם אויסגאַנג צום אָריגינעלן אינפוט. דער אַרטיקל דיסקוטירט איר דעפיניציע, באַדינגונגען פֿאַר עקזיסטענץ, ווי אַזוי זי צו דעפינירן, ווי אויך ביישפילן און אַפּליקאַציעס.
1. פֿאַרשטיין אינווערסע פֿונקציעס
לאָמיר זאָגן אַז עס איז דאָ אַ פֿונקציע \(f \) וואָס מאַפּט \(x \) צו \(f(x) \). די אומגעקערטע פֿונקציע פֿון \(f \), געשריבן \(f^{-1} \), איז אַ פֿונקציע וואָס באַפֿרידיקט:
\[
f^{-1}(f(x)) = x
\]
פֿאַר יעדן \(x \) אין דעם דאָמען פֿון דער פֿונקציע \(f \), און אויך
\[
f(f^{-1}(y)) = y
\]
פֿאַר יעדן \(y \) אין דעם ראַם פֿון דער פֿונקציע \(f \).
מיט אנדערע ווערטער, די אינווערסע פונקציע בטל מאַכן די אַרבעט פון דער אָריגינעלער פונקציע. אויב \(f \) ווערט באַטראַכט ווי אַ "פּראָצעס," דעמאָלט איז \(f^{-1} \) איר אינווערסער פּראָצעס. אָבער, עס איז וויכטיק צו באַטאָנען: די נאָטאַציע \(f^{-1} \) מיינט נישט \( \frac{1}{f} \). דאָס ווערט אָפט מיספאַרשטאַנען דורך סטודענטן. די נאָטאַציע באַצייכנט די אינווערסע, נישט די רעציפּראָקאַלע אין דעם פראַקשאַנאַלן זין.
2. דאָמעין, קאָדאָמעין, און קייט פון אינווערסע פונקציעס
כּדי דער באַגריף פֿון אינווערס זאָל זײַן קלאָר, דאַרפֿן מיר פֿאַרשטיין די באַציִונג צווישן סעטן אין פֿונקציעס.
– דאָמעין: די סכום פון אַלע איינגאַבעס וואָס קענען אַרייַן די פונקציע \(f\).
– קאָדאָמעין: די סכום פון ציל רעזולטאַטן לויט דער פונקציע דעפיניציע.
– ראַנגע (רעזולטאַט געגנט): די סכום פון רעזולטאַטן וואָס ווערן טאַקע גענערירט פֿון דעם דאָמעין.
פֿאַר דער אומגעקערטער פֿונקציע, איז דאָ אַ ראָלע-אומקערונג:
– דער דאָמען פֿון \(f^{-1} \) איז דער ראַנגע פֿון \(f \).
– דער ראַנג פֿון \(f^{-1} \) איז דער דאָמעין פֿון \(f \).
דאָס איז די סיבה פאַרוואָס נישט אַלע פונקציעס האָבן אַן אינווערס: אויב די פונקציע'ס רעזולטאַט איז נישט "אייגנאַרטיק" אין באַצוג צו די אַרייַנגאַנג, דאַן קען זי נישט זיין איינציק אינווערס באַשטימט.
3. באדינגונגען פאר א פונקציע צו האבן אן אינווערס
אַ פֿונקציע \(f \) האָט אַן אומגעקערטע פֿונקציע (וואָס איז אויך אַ פֿונקציע) אויב \(f \) איז ביעקטיוו, דאָס הייסט:
1. אינדזשעקטיוו (איינס-צו-איינס): יעדער אנדערער אינפוט פראדוצירט אן אנדערן אויספוט.
פֿאָרמעל, אויב ∫f(a)=f(b)∫ דעמאָלט ∫a=b∫.
2. סוריעקטיוו (אויף): יעדער עלעמענט פון דעם קאָדאָמעין ווערט געמאַפּט דורך דעם דאָמעין.
דאָס מיינט אַז די ראַנגע איז די זעלבע ווי די קאָדאָמעין.
אין שול קאנטעקסטן, איז דער טראָפּ אָפט אויף דער אינדזשעקטיווער אייגנשאַפט פון אינווערסעס ווי פונקציעס. אויב אַ פונקציע איז נישט אינדזשעקטיוו, קען אַן איינציקער רעזולטאַט קומען פון צוויי פאַרשידענע אינפוטס, אַזוי די "אינווערסיע" פּראָדוצירט נישט קיין איינציקאַרטיקן ווערט.
האָריזאָנטאַלע ליניע טעסט
פֿאַר פונקציעס וועמענס גראַפֿן קענען געצייכנט ווערן, איז דאָ אַ פּראַקטישער וועג צו קאָנטראָלירן פֿאַר אינדזשעקטיוויטי: דער האָריזאָנטאַלער ליניע טעסט.
אויב יעדע האָריזאָנטאַלע ליניע שניידן דעם גראַף אין העכסטן איין פונקט, דאַן איז די פונקציע איינס-צו-איינס און האט אַ וואַרשיינלעכקייט צו האָבן אַן אינווערס.
4. ווי אזוי צו באַשטימען די אומגעקערטע פונקציע
בכלל, די טריט פארן געפינען די אינווערסע פון אן אלגעבראישער פונקציע זענען:
1. שרייב \(y = f(x) \).
2. טוישט די ראָלעס פֿון _(x)_ און _(y)_: מאַכט _(x)_ אַ פֿונקציע פֿון _(y)_.
3. לייזט די גלייכונג צו באַקומען \(y \).
4. דער ענדגילטיקער רעזולטאַט איז \(y = f^{-1}(x) \).
לאָמיר קוקן אויף אַ בייַשפּיל.
בייַשפּיל 1: לינעאַרע פֿונקציע
למשל \(f(x)=2x+3 \).
שריט:
1. \(y = 2x+3 \)
2. אויסטוישן: \( x = 2y+3 \)
3. לייזט אויס: \( x-3 = 2y \Rightarrow y = \frac{x-3}{2} \)
4. אַזוי \( f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \)
מיר קענען קאָנטראָלירן:
\[
f(f^{-1}(x)) = 2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3 = x-3+3=x
\]
דאָס מיינט אַז ס'איז אמת.
בייַשפּיל 2: קוואַדראַטישע פֿונקציע (דאָמען באַגרענעצונג פארלאנגט)
למשל, \( f(x)=x^2 \). האט עס אן אינווערס?
די פראבלעם איז, \(f(2)=4 \) און \(f(-2)=4 \). ממילא איז עס נישט אינדזשעקטיוו אריבער אלע רעאלע נומערן. כדי צו האבן אן אינווערס, מוז דער דאמעין זיין באגרענעצט, למשל \(x ≤ 0 \).
אויב דער דאָמעין איז \( [0, \infty) \), דעמאָלט איז די אומגעקערטע:
\[
f^{-1}(x) = ∫[x]
\]
אויב דער דאָמעין איז \( (-\infty,0] \), דעמאָלט איז די אומגעקערטע:
\[
f^{-1}(x) = -\sqrt{x}
\]
דאָס ווײַזט די וויכטיקייט פֿון דאָמעין אין אומגעקערטע פונקציעס.
בייַשפּיל 3: פּשוטע ראַציאָנעלע פֿונקציעס
למשל \(f(x)=\frac{x-1}{x+2} \) מיט דער באדינגונג \(x \ne-2 \).
1. \( y = \frac{x-1}{x+2} \)
2. אויסטוישן: \( x = \frac{y-1}{y+2} \)
3. לייז אויס פאר \(y \):
(x(y+2)=y-1 רעכטער אַרראָו xy+2x=y-1 רעכטער אַרראָו xy-y = -1-2x רעכטער אַרראָו y(x-1)=-(1+2x) רעכטער אַרראָו y=\frac{-(1+2x)}{x-1} )
4. אַזוי:
\[
פֿ^{-1}(x)=\frac{-(1+2x)}{x-1}
\]
באַמערק אַז _(x \ne 1 \) (ווײַל דאָס איז דער פּונקט וואָס מאַכט דעם נענער נול אויף דער אומגעקערטער).
5. באַציִונג צווישן פֿונקציע גראַפֿן און אינווערסן
געאמעטריש, די גראפן פון \(y=f(x) \) און \(y=f^{-1}(x) \) זענען שפיגל בילדער פון יעדן אנדערן אין באצוג צו דער ליניע \(y=x \). דאס איז ווייל אין דער אומגעקערטער ריכטונג, ווערט די געארדענטע פּאָר \((x,y)\) \((y,x)\).
למשל, אויב דער פונקט \((1,5)\) איז אויפן גראַף \( y=f(x) \), דעמאָלט איז דער פונקט \((5,1)\) אויפן גראַף \( y=f^{-1}(x) \).
דאס פארשטאנד מאכט עס גרינגער פאר אונז צו וויזועל קאנטראלירן די אומגעקערטע רעזולטאטן, ספעציעל פאר פשוטע פונקציעס.
6. צוזאמענשטעלונג פון פונקציע און אידענטיטעט
אינווערסן זענען ענג פארבונדן מיט פונקציע צוזאמענשטעלונג. אויב \(f \) האט אן אינווערס, דעמאלט:
\[
(f^{-1})(x) = x און (f^{-1})(x) = x
\]
וואס מיינט אז די צוזאמענשטעלונג פון די צוויי פראדוצירט די אידענטיטעט פונקציע, נעמליך א פונקציע וואס גיט צוריק דעם אינפוט ווי עס איז.
אבער, באַמערקט אַז די דאָמעינען מוזן פּאַסן. למשל, \(f^{-1}(f(x)) \) האַלט זיך פֿאַר \(x \) אין דער דאָמעין פֿון \(f \), בשעת \(f(f^{-1}(x)) \) האַלט זיך פֿאַר \(x \) אין דער דאָמעין פֿון \(f^{-1} \) (ד.ה., דער ראַנגע פֿון \(f \)).
7. אנווענדונג פון אינווערסע פונקציעס
די אינווערסע פונקציע איז נישט נאר אן אבסטראקטער באגריף, נאר ווערט ברייט גענוצט אין פארשידענע פעלדער:
1. לייזן גלייכונגען: אויב מיר האָבן _(y=f(x)_) און מיר ווילן געפֿינען _(x_) פֿון דעם ווערט פֿון _(y_), ניצן מיר די אינווערסע.
2. קאנווערטאציע פון איינסן און סקאלעס: למשל, קאנווערטירן צעלזיוס טעמפעראטור צו פארענהייט און פארקערט איז א פאר אינווערסע פונקציעס.
3. פּשוטע קריפּטאָגראַפֿיע: די ענקריפּשאַן און דעקריפּטיאָן פּראָצעסן זענען אָפֿט אָפּעראַציעס וואָס זענען ריווערסט (אינווערס געדאַנק).
4. וויסנשאפט מאָדעל: פילע פיזיק פֿאָרמולעס קענען ווערן אויסגעדרייט, למשל פֿון s=vt באַקומען מיר v=s/t) אָדער t=s/v) אונטער געוויסע באַדינגונגען.
8. געוויינטלעכע טעותים צו פארמיידן
עטלעכע געוויינטלעכע טעותים זענען:
– אַננעמענדיג אַז \( f^{-1}(x) \) איז די זעלבע ווי \( \frac{1}{f(x)} \).
– פארגעסן צו שרייבן אדער קאנטראלירן דעם דאמען און באדינגן אז דער נענער איז נישט נול.
– איגנארירן אז א פונקציע מוז זיין איינס-צו-איינס כּדי איר אינווערסע זאָל אויך זיין אַ פונקציע.
– באַשטעטיקט נישט דאָס רעזולטאַט מיט דער קאָמפּאָזיציע \( f(f^{-1}(x)) \) אָדער \( f^{-1}(f(x)) \).
קלאָוזינג
אן אינווערסע פונקציע איז א באגריף וואס דערקלערט ווי אזוי א מאַפּינג קען ווערן אויסגעדרייט אזוי אז דער רעזולטאַט קערט זיך צוריק צו זיין אָריגינעלן אַרייַנגאַנג. אָבער, נישט אַלע פונקציעס האָבן אַן אינווערס; די הויפּט פאָדערונג איז אז די פונקציע מוז זיין בייעקטיוו (אָדער לפּחות אינדזשעקטיוו איבער אַ ספּעציפֿישן דאָמען). דורך פֿאַרשטיין ווי אזוי צו געפֿינען אינווערסעס, דאָמען-קייט באַציִונגען, קאָמפּאָזיציע אייגנשאַפֿטן, און אינטערפּרעטירן זייערע גראַפֿן, וועלן מיר זיין בעסער צוגעגרייט פֿאַר פֿאַרשידענע אַלגעברישע פּראָבלעמען און רעאַלע-וועלט אַפּליקאַציעס. באַהערשן די באַסיקס פון אינווערסע פונקציעס גיט אויך וויכטיקע צוגרייטונג פֿאַר מער אַוואַנסירטע מאַטעמאַטישע טעמעס, אַזאַ ווי לאָגאַריטמען (דער אינווערס פון עקספּאָנענטן), אינווערסע טריגאָנאָמעטריע, און קאַלקולוס.
