ווי אזוי צו סאָלווען קוואַדראַטישע גלייכונגען

# ווי אזוי צו לייזן קוואַדראַטישע גלייכונגען

קוואַדראַטישע גלייכונגען זענען איינע פון ​​די מערסט באַזישע און אָפט באַגעגנטע טיפּן אַלגעברעישע גלייכונגען אין מאַטעמאַטיק. די גלייכונג האט די אַלגעמיינע פאָרעם _(ax^2 + bx + c = 0 _), וואו _(a _), _(b _), און _(c _) זענען קאָנסטאַנטן, און _(x _) איז די וועריאַבל וועמענס ווערט מוז געפֿונען ווערן. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן פֿאַרשידענע וועגן צו סאָלווען קוואַדראַטישע גלייכונגען, אַרייַנגערעכנט פאַקטאָרינג מעטאָדן, ניצן די קוואַדראַטישע פֿאָרמולע, קאַמפּליטינג דעם קוואַדראַט, און גראַפֿישע מעטאָדן.

## 1. פאַקטאָרינג מעטאָד

איינער פון די פשוטסטע וועגן צו לייזן א קוואַדראַטישע גלייכונג איז צו פאַקטאָרירן עס. אָבער, די מעטאָדע אַרבעט נאָר אויב די קוואַדראַטישע גלייכונג קען לייכט פאַקטאָרירט ווערן.

### טריט:

1. מאַכט זיכער אַז די גלייכונג איז אין סטאַנדאַרט פאָרעם:
די קוואַדראַטישע גלייכונג מוז זיין אין דער פֿאָרעם \( ax^2 + bx + c = 0 \).

2. געפינט צוויי נומערן וואָס ווען מען מאַלטיפּליצירט זיי געבן _(ac \) (דער פּראָדוקט פון _(a \) און _(c \)) און ווען מען לייגט זיי צו געבן _(b \):
למשל, אויב די גלייכונג איז \(x^2 + 5x + 6 = 0 \), זוכן מיר צוויי נומערן וואָס ווען מען טאפלט זיי מאַכן זיי 6 און ווען מען לייגט זיי צו מאַכן זיי 5. יענע נומערן זענען 2 און 3.

3. פאַקטאָרירן די פּאָר נומערן אין צוויי בינאָמיאַלן:
די אויבנדערמאנטע גלייכונג קען ווערן אריינגערעכנט אין \( (x + 2 )(x + 3) = 0 \).

4. ניצט דעם נול פּראָדוקט פּרינציפּ:
אויב (x + 2)(x + 3) = 0), דעמאָלט מוז איינער אָדער ביידע פאַקטאָרן זיין נול. אַזוי, (x + 2 = 0) אָדער (x + 3 = 0), וואָס גיט (x = -2) און (x = -3).

קאָנטעקסט:
– לאָמיר זאָגן מיר האָבן די גלייכונג \( x^2 + 6x + 9 = 0 \).
– מיר זוכן צוויי נומערן וואָס ווען מען טאפלט זיי רעזולטירן אין 9 און ווען מען לייגט זיי צו רעזולטירן אין 6. די נומערן זענען 3 און 3.
– אַזוי, די גלייכונג קען ווערן פאַקטאָרירט אין \( (x + 3)^2 = 0 \),
– אַזוי, מיר באַקומען \(x = -3 \).

## 2. ניצן די קוואַדראַטישע פאָרמולע

אויב אַ קוואַדראַטישע גלייכונג קען נישט לייכט ווערן פאַקטאָריזירט, קענען מיר נוצן די קוואַדראַטישע פאָרמולע. די קוואַדראַטישע פאָרמולע איז אַן אַלגעמיינע מעטאָדע וואָס גילט פֿאַר אַלע קוואַדראַטישע גלייכונגען.

### פֿאָרמולע:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

### טריט:

1. אידענטיפיצירט די ווערטן פון \(a \), \(b \), און \(c \):
פֿון דער גלייכונג \(ax^2 + bx + c = 0 \), אידענטיפֿיצירט די ווערטן פֿון \(a \), \(b \), און \(c \).

2. שטעל אריין די ווערטן אין דער קוואדראטישער פארמל:
ניצט די פֿאָרמל (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}) צו געפֿינען דעם ווערט פֿון (x).

3. רעכנט אויס דעם דיסקרימינאַנט ווערט (\( \Delta \)):
דער דיסקרימינאַנט איז ∫(b² – 4ac).
– אויב (Δ > 0), דעמאָלט זענען דאָ צוויי פֿאַרשידענע לייזונגען.
– אויב (Δ = 0), דעמאָלט איז דאָ איין לייזונג (צווילינג וואָרצל).
– אויב (Δ < 0), דעמאָלט איז נישטאָ קיין רעאַלע לייזונג.

בייַשפּיל: - לאָמיר זאָגן מיר האָבן די גלייכונג (2x^2 + 4x - 6 = 0). - אַזוי, (a = 2), (b = 4), און (c = -6). - שטעלט אַרײַן די ווערטן אין דער פֿאָרמולע: (x = \frac{-4 pm \sqrt{16 + 48}}{4}). - איר וועט באַקומען צוויי לייזונגען פֿאַר (x). ## 3. פֿאַרענדיקן די קוואַדראַטישע מעטאָדע פֿאַרענדיקן די קוואַדראַטישע מעטאָדע איז אויך אַ געוויינטלעכע מעטאָדע געניצט צו סאָלווען קוואַדראַטישע גלייכונגען, ספּעציעל ווען מיר ווילן פֿאַרשטיין דעם באַגריף פֿון פּערפֿעקטע קוואַדראַטן טיפֿער. ### טריט: 1. זיכער מאַכן אַז (a = 1): אויב (a ≤ 1), טיילן אַלע קאָעפֿיציענטן דורך (a). 2. באַוועגן די קאָנסטאַנטע צו דער רעכטער זײַט פֿון דער גלייכונג: לאָמיר זאָגן אַז די אָריגינעלע גלייכונג איז (ax^2 + bx + c = 0). נאכן טיילן מיט (a), ווערט עס (x^2 + b}{a)x = -c}{a). 3. צולייגן און אפרעכענען (b}{2a)^2) אויף דער לינקער זייט: דאס מאכט די לינקע זייט א גאנץ קוואדראט. 4. שרייבט די גלייכונג אלס א גאנץ קוואדראט און לייזט אויס: פארמירט די גלייכונג אלס (x + b}{2a)^2 = d). דערנאך, (x + b}{2a) = d), און צום סוף לייזט אויס פאר (x). ביישפיל: - די גלייכונג וואס מיר ווילן לייזן איז (x^2 + 6x + 5 = 0). - מיר באוועגן די קאנסטאנטע צו דער רעכטער זייט: (x^2 + 6x = -5). - צולייגן און אַראָפּרעכענען (9) (דער ווערט פֿון (\frac{6}{2})^2)) אויף דער לינקער זײַט: (x^2 + 6x + 9 = 4), - אַזוי ווערט די גלייכונג איצט ((x + 3)^2 = 4). - אַזוי (x + 3 = ±2), - דעריבער, (x = -1) אדער (x = -5). ## 4. גראַפֿישע מעטאָדע די גראַפֿישע מעטאָדע באַשטייט פֿון גראַפֿירן די קוואַדראַטישע פֿונקציע און זען וווּ זי שניידט די x-אַקס. ### טריט: 1. פֿאָרמירן די קוואַדראַטישע פֿונקציע (y = ax^2 + bx + c): ענדערן די קוואַדראַטישע גלייכונג צו דער פֿונקציע (y) דורך פֿאַרבײַטן 0 מיט (y). 2. גראַפֿירן די פֿונקציע: ניצן עטלעכע ווערטן פֿאַר (x) צו גראַפֿירן די פּאַראַבאָלע. 3. זוכן די x-אינטערסעפּטן: די פּונקטן וווּ דער גראַף שניידט די x-אַקס זענען די לייזונגען צו דער קוואַדראַטישער גלייכונג. בײַשפּיל: - נעמען (x^2 - 3x + 2 = 0). - ענדערן עס צו (y = x^2 - 3x + 2). - גראַפֿירן די פֿונקציע. איר וועט זען אַז דער גראַף שניידט די x-אַקס בײַ די פּונקטן (x = 1) און (x = 2). ## מסקנא לייזן קוואַדראַטישע גלייכונגען קען מען טאָן מיט פֿאַרשידענע מעטאָדן, ווי פֿאַקטאָרירן, די קוואַדראַטישע פֿאָרמולע, פֿאַרענדיקן דעם קוואַדראַט, און גראַפֿישע מעטאָדן. דורך פֿאַרשטיין און פּרובירן יעדן מעטאָד, קענען מיר אויסקלײַבן דעם מעטאָד וואָס פּאַסט בעסטן צו דער סיטואַציע אָדער טיפּ גלייכונג וואָס מיר האָבן. האָפֿנטלעך העלפֿט דער אַרטיקל אײַך בעסער פֿאַרשטיין און לייזן קוואַדראַטישע גלייכונגען.