ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן

ראַציאָנעלע און אירראַציאָנעלע נומערן: אַ גרונטלעכע פארשטאנד פון מאַטעמאַטיק

מאטעמאטיק איז א וויסנשאפט פול מיט קאנצעפטן און טעאריעס וואס פארמען די באזע פון ​​אונזער פארשטאנד פון דער וועלט. איינער פון די יסודות'דיגע קאנצעפטן אין מאטעמאטיק איז נומער, וואס איז צעטיילט אין פארשידענע קאטעגאריעס. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן צוויי וויכטיגע קאטעגאריעס פון נומערן: ראציאנעלע נומערן און איראציאנאלע נומערן.

ראַציאָנעלע נומערן: דעפֿיניציע און ביישפילן

א ראַציאָנעלע נומער איז אַ נומער וואָס קען אויסגעדריקט ווערן ווי אַ פאַרהעלטעניש פון צוויי גאַנצע צאָלן. מיט אַנדערע ווערטער, אַ ראַציאָנעלע נומער איז אַ נומער וואָס קען געשריבן ווערן ווי אַ בראָכצאָל \(\frac{a}{b}\), וואו \(a\) און \(b\) זענען גאַנצע צאָלן, און \(b\) איז נישט גלייך צו נול. די פאָרעם ערלויבט ראַציאָנעלע נומערן צו ווערן לייכט גענוצט אין פֿאַרשידענע מאַטעמאַטישע אָפּעראַציעס.

למשל, _(\frac{1}{2}\), _(\frac{5}{3}\), און _(-\frac{4}{7}\) זענען אלע ראציאנעלע נומערן. אפילו גאנצע צאלן ווי 3 אדער -5 זענען ביישפילן פון ראציאנעלע נומערן ווייל זיי קענען געשריבן ווערן אלס _(\frac{3}{1}\) אדער _(\frac{-5}{1}\).

אייגנשאפטן פון ראַציאָנעלע נומערן

1. געדיכטקייט: ראַציאָנעלע נומערן זענען זייער געדיכט, דאָס הייסט אַז צווישן יעדע צוויי ראַציאָנעלע נומערן איז שטענדיק דאָ נאָך אַ ראַציאָנעלע נומער. למשל, צווישן 0 און 1, קענען מיר געפֿינען \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), און אַזוי ווייטער. דאָס ווײַזט אַז ראַציאָנעלע נומערן האָבן נישט קיין 'לעכער' אָדער נישט-דעפינירטע דיסטאַנסן צווישן זיי.
2. מאַטעמאַטישע אָפּעראַציעס: ראַציאָנעלע נומערן זענען פֿאַרמאַכט אונטער אַדיציע, סובטראַקציע, טאפליקאַציע און דיוויזיע (אחוץ דיוויזיע מיט נול). למשל, אויב \(a\) און \(b\) זענען ראַציאָנעלע נומערן, דעמאָלט וועלן \(a + b\), \(a – b\), \(a ≈ b\), און \(\frac{a}{b}\) אויך זיין ראַציאָנעלע נומערן (סייַדן \(b ≈ 0\) פֿאַר דיוויזיע).
3. דעצימאַלע עקספּאַנשאַן: ראַציאָנעלע נומערן קענען אויסגעדריקט ווערן ווי אַ איבערחזרנדיקע אָדער אַ ענדיקנדיקע דעצימאַל. למשל, \(\frac{1}{2} = 0.5\) (ענדיקנדיקע דעצימאַלע עקספּאַנשאַן) און \(\frac{1}{3} = 0.333…\) (ענדיקנדיקע דעצימאַלע עקספּאַנשאַן).

אירראציאָנעלע נומערן: דערקלערונג און ביישפילן

אנדערש ווי ראציאנעלע נומערן, זענען איראציאנעלע נומערן נומערן וואָס קענען נישט אויסגעדריקט ווערן ווי אַ פאַרהעלטעניש פון צוויי גאַנצע צאָלן. איראציאנעלע נומערן קענען נישט געשריבן ווערן ווי אַ בראָכצאָל \(\frac{a}{b}\) וואו \(a\) און \(b\) זענען גאַנצע צאָלן און \(b \neq 0\). אַנשטאָט, האָבן זיי דעצימאַלע עקספּאַנשאַנז וואָס ענדיקן זיך קיינמאָל נישט און איבערחזרן זיך קיינמאָל נישט פּעריִאָדיש.

באַרימטע ביישפילן פון איראַציאָנעלע נומערן זענען π (π) און π² (די קוואַדראַט וואָרצל פון 2). דער ווערט פון π איז אַפּראָקסימאַטיוו 3.14159…, און זיינע דעצימאַלן גייען ווייטער אָן אַ איבערחזרנדיק מוסטער. ענלעך, π² איז אַפּראָקסימאַטיוו 1.41421…, און זיינע דעצימאַלן גייען אויך ווייטער אָן אַ איבערחזרנדיק מוסטער.

אייגנשאפטן פון אירראציאנעלע נומערן

1. אומענדלעכע דעצימאַלע עקספּאַנשאַן: איראַציאָנעלע נומערן האָבן אומענדלעכע דעצימאַלע עקספּאַנשאַנז וואָס ענדיגן זיך קיינמאָל נישט און איבערחזרן זיך קיינמאָל נישט. למשל, די נומער πρχα האט אומענדלעכע דעצימאַלע עקספּאַנשאַנז אָן קיין איבערחזרנדיק מוסטער.
2. קען נישט געשריבן ווערן ווי אַ בראָכצאָל: עס איז נישטאָ קיין וועג צו שרייבן אַן איראַציאָנעלע נומער ווי אַ בראָכצאָל \(\frac{a}{b}\), וואו \(a\) און \(b\) זענען גאַנצע צאָלן, און \(b \neq 0\). דאָס איז די כאַראַקטעריסטיק וואָס אונטערשיידט איראַציאָנעלע נומערן פון ראַציאָנעלע נומערן.
3. געדיכטקייט: ווי ראַציאָנעלע נומערן, זענען איראַציאָנעלע נומערן אויך זייער געדיכט. צווישן יעדע צוויי איראַציאָנעלע נומערן איז דאָ נאָך אַן איראַציאָנעלע נומער.

די באַציִונג צווישן ראַציאָנעלע און אירראַציאָנעלע נומערן

כאָטש ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן זענען צוויי באַזונדערע גרופּעס, צוזאַמען פאָרמען זיי די גאַנצע רעאַלע נומער ליניע. יעדער פּונקט אויף דער רעאַלע נומער ליניע איז אָדער אַ ראַציאָנעלע אָדער אַן איראַציאָנעלע נומער. דאָס מאַכט די רעאַלע נומערן (די קאָמבינאַציע פון ​​ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן) זייער געדיכט און קאָנטינויִערלעך.

אינטערעסאנט, כאָטש ראַציאָנעלע נומערן זענען אומענדלעך, זענען זיי אין פאַקט זעלטענער ווי איראַציאָנעלע נומערן. אין טערמינען פון סעט טעאָריע, האָבן איראַציאָנעלע נומערן אַ גרעסערע קאַרדינאַליטעט (מער נומערן) ווי ראַציאָנעלע נומערן.

באַדייטונג אין מאַטעמאַטיק און וויסנשאַפֿט

ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן שפּילן אַ וויכטיקע ראָלע אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון מאַטעמאַטיק און וויסנשאַפֿט. ראַציאָנעלע נומערן ווערן אָפֿט גענוצט אין טעגלעכע חשבונות און אין אַפּליקאַציעס ווי סטאַטיסטיק, עקאָנאָמיק און אינזשעניריע. זיי העלפֿן אונדז דורכפֿירן חשבונות וואָס אַנטהאַלטן בראָכציילן און פּראָצענטן.

אויף דער אנדערער האַנט, האָבן איראַציאָנעלע נומערן אַ ספּעציעלע ראָלע אין געאָמעטריע, טריגאָנאָמעטריע און אַנאַליז. למשל, די קאָנסטאַנט π איז אַן איראַציאָנעלע נומער וואָס דערשיינט אין פילע געאָמעטרישע חשבונות וואָס האָבן צו טאָן מיט קרייזן. ענלעך, די קאָנסטאַנט π (בעער 2.718), וואָס איז אויך איראַציאָנעל, שפּילט אַ וויכטיקע ראָלע אין קאַלקולוס און דער טעאָריע פון ​​עקספּאָנענציעלן וואוקס.

קעסימפּולאַן

פֿאַרשטיין ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן איז אַ וויכטיקע יסוד אין מאַטעמאַטיק. ראַציאָנעלע נומערן קענען אויסגעדריקט ווערן ווי בראָכציילן און האָבן ענדיגנדיקע אָדער איבערחזרנדיקע דעצימאַלע עקספּאַנשאַנז, בשעת איראַציאָנעלע נומערן קענען נישט געשריבן ווערן ווי בראָכציילן און האָבן נישט-ענדיגנדיקע און נישט-איבערחזרנדיקע דעצימאַלע עקספּאַנשאַנז.

די צוויי טיפן נומערן, כאָטש באַזונדער, צוזאַמען שאַפֿן אַ קאָנטינויִערלעכע און קאָמפּאַקטע רעאַלע נומערן ליניע. זיי שפּילן אַ וויכטיקע ראָלע אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון מאַטעמאַטיק און וויסנשאַפֿט, און שאַפֿן די באַזע פֿון פֿיל מער קאָמפּליצירטע קאָנצעפּטן און טעאָריעס.

מיט אַ גוטן פארשטאנד פון ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן, קענען מיר גיין ווייטער אין דער אויספאָרשן די וועלט פון מאַטעמאַטיק און הנאה האָבן פון דער שיינקייט און קאָמפּלעקסיטעט פון דעם אוניווערס וואָס די וויסנשאַפֿט האט צו פאָרשלאָגן.